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【备战2014】北京中国人民大学附中高考数学 综合能力题选讲 第15讲 立体几何中的有关证明(含详解)


立体几何中的有关证明
题型预测 立体几何中的证明往往与计算结合在一起考查。 三垂线定理及其逆定理是重点考查的内 容。 范例选讲 例 1. 已知斜三棱柱 ABC-A’B’C’的底面是直角 三角形,∠C=90°,侧棱与底面所成的角为α (0°< α <90°),B’在底面上的射影 D 落在 BC 上。 (1)求证:AC⊥面 BB’C’C。 (2)当α 为何值时,AB’⊥BC’,且使得 D 恰为 BC 的中点。

C' B'

A'

C 讲解:(1)∵ B’D⊥面 ABC,AC ? 面 ABC, ∴ B’D⊥AC, D B 又 AC⊥BC,BC∩B’D=D, ∴ AC⊥面 BB’C’C。 (2) 由三垂线定理知道: 要使 AB’⊥BC’, 需且只需 AB’在面 BB’C’C 内的射影 B’C ⊥BC’。即四边形 BB’C’C 为菱形。此时,BC=BB’。 因为 B’D⊥面 ABC,所以, ?B' BD 就是侧棱 B’B 与底面 ABC 所成的角。 由 D 恰好落在 BC 上,且为 BC 的中点,所以,此时 ?B' BD = 60? 。 即当α = 60? 时,AB’⊥BC’,且使得 D 恰为 BC 的中点。

A

例 2. 如图:已知四棱锥 P ? ABCD 中,底 面四边形为正方形,侧面 PDC 为正三角形,且平 面 PDC⊥底面 ABCD,E 为 PC 中点。 (1)求证:平面 EDB⊥平面 PBC; (2)求二面角 B ? DE ? C 的平面角的正切 值。

P

E

D 讲解:(1)要证两个平面互相垂直,常规的 想法是:证明其中一个平面过另一个平面的一条 B A 垂线。 首先观察图中已有的直线,不难发现,由于侧面 PDC 为正三角形,所以, DE ? PC ,

C

那么我们自然想到:是否有 DE ? 面PBC ?这样的想法一经产生,证明它并不是一件困难 的事情。 ∵ 面 PDC⊥底面 ABCD,交线为 DC,

1

∴ DE 在平面 ABCD 内的射影就是 DC。 在正方形 ABCD 中,DC⊥CB, ∴ DE⊥CB。 又 PC ? BC ? C , PC, BC ? 面PBC , ∴ DE⊥ 面PBC 。 又 DE ? 面 EDB, ∴ 平面 EDB⊥平面 PBC。 (2)由(1)的证明可知:DE⊥ 面PBC 。所以, ?BEC 就是二面角 B ? DE ? C 的平 面角。 ∵ 面 PDC⊥底面 ABCD,交线为 DC, 又平面 ABCD 内的直线 CB⊥ DC。 ∴ CB⊥面 PDC。 又 PC ? 面 PDC, ∴ CB⊥PC。 在 Rt ?ECB 中, tan ?BEC ?

BC ? 2。 CE

点评:求二面角的平面角,实际上是找到棱的一个垂面,事实上,这个垂面同时垂直于 二面角的两个半平面。

例 3.如图:在四棱锥 S ? ABCD 中, SA ⊥平 面

S

ABCD





BAD ? ?A

D? C 2

?



AB ? AD ? 2a , CD ? a , E 为 SB 的中点。 (1)求证: CE // 平面 SAD ; (2)当点 E 到平面 SCD 的距离为多少时,平 面 SBC 与平面 SAD 所成的二面角为 45? ?

E

A D

讲解: 题目中涉及到平面 SBC 与平面 SAD 所成 的二面角,所以,应作出这两个平面的交线(即二面 角的棱)。另一方面,要证 CE // 平面 SAD ,应该设 B 法证明 CE 平行于面 SAD 内的一条直线, 充分利用中 点(中位线)的性质,不难发现,刚刚做出的二面角的棱正好符合要求。 (1)延长 BC、AD 交于点 F。 在 ?FAB 中,∠ BAD ? ?ADC ?

C

?
2



S H

所以,AB、CD 都与 AF 垂直,所以,CD//AB, 所 以 , ?C DF ∽ ?BAF 。 又 AB ? 2a , CD ? a ,所以,点 D、C 分别为线段 AF、BF 的中点。

E

A C B

D
2

F

又因为 E 为 SB 的中点,所以,EC 为 ?SBC 的中位线,所以,EC//SF。 又 EC ? 面SAD , SF ? 面SAD ,所以, CE // 平面 SAD 。 (2)因为: SA ⊥平面 ABCD,AB ? 平面 ABCD,所以,AB ? SA 。又 AB ? AF, AF ? SA ? A ,所以,AB ? 面 SAF 。 过 A 作 AH ? SF 于 H,连 BH,则 BH ? SF,所以, ?BHA 就是平面 SBC 与平面 SAD 所 成的二面角的平面角。 在 Rt ?BHA 中,要使 ?BHA = 45? ,需且只需 AH=AB= 2a 。 此时,在 ? SAF 中, SA ?

SF ? AH ? AF

SA2 ? ?4a ? ? 2a 4 3 ,所以, SA ? a。 4a 3
2

在三棱锥 S-ACD 中,设点 A 到面 SCD 的距离为 h,则

AD ? DC ? SA S ?ACD ? SA AD ? SA 2 h= ? ? ? SD ? CD S ?SCD SD 2

AD ? SA SA2 ? AD 2

?

14 a 4

因为 AB//DC,所以,AB//面 SCD。所以,点 A、B 到面 SCD 的距离相等。又因为 E 为 SB 中点,所以,点 E 到平面 SCD 的距离就等于点 B 到面 SCD 距离的一半,即

h 14 ? 。 2 8

点评:探索性的问题,有些采用先猜后证的方法,有些则是将问题进行等价转化,在转 化的过程中不断探求结论。

3


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