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高中(北师大版)数学必修4(45分钟课时作业与单元测试卷):24两角和与差的正切函数 Word版含解析

24 两角和与差的正切函数 时间:45 分钟 满分:80 分 班级________ 姓名________ 分数________ 一、选择题:(每小题 5 分,共 5×6=30 分) 1 1 1.设 tanα=2,tanβ=3,且 α、β 角为锐角,则 α+β 的值是( ) 3π π 3π A. 4 B.4或 4 π 5π C.4 D. 4 答案:C 1 1 + 2 3 tanα+tanβ 1 1 解析:由 tanα= ,tanβ= ,得 tan(α+β)= = =1.又 α、β 均是 2 3 1 1 1-tanαtanβ 1-2×3 锐角, π ∴α+β=4. 1+tan75° 2. 的值是( ) 1-tan75° A. 3 B.- 3 3 3 C. 3 D.- 3 答案:B 1+tan75° tan45° +tan75° 解析: = =tan(45° +75° )=tan120° =-tan60° =- 3. 1-tan75° 1-tan45° tan75° π 1 π 2 3.已知 tan(α+β)=5,tan?β-4?=4,那么 tan?α+4?=( ) ? ? ? ? 13 13 A.18 B.22 3 5 C.22 D.18 答案:C π π π π 解 析 : 因 为 α + 4 = (α + β) - ?β-4? , 所 以 tan ?α+4? = tan ??α+β?-?β-4?? = ? ? ? ? ? ? ?? π tan?α+β?-tan?β-4? ? ? 3 =22,故选 C. π 1+tan?α+β?tan?β-4? ? ? π tan?4+α?-1 ? ? 1 4.已知 tanα= ,则 的值是( ) 2 π ? ? 1+tan 4+α ? ? 1 A.2 B.2 C.-1 D.-3 答案:B

π 1 解析:解法一:因为 tanα=2,所以 tan?4+α?= ? ? π tan?4+α?-1 3-1 ? ? 1 = = .故选 B. π 2 1 + 3 1+tan?4+α?

π tan +tanα 4 1+tanα = =3,所以 π 1-tanα 1-tan4· tanα

?

?

π π ?π ? tan?4+α?-1 tan?4+α?-tan4 ? ? ??π+α?-π?=tanα=1.故选 B. 解法二: = = tan π π 2 ??4 ? 4 ? π 1+tan?4+α? 1+tan?4+α?· tan ? ? ? ? 4 5.在△ABC 中,若 tanAtanB>1,则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 答案:A 解析:由 tanAtanB>1 得角 A,B 均为锐角,然后切化弦,得 sinAsinB>cosAcosB,即 cos(A+B)<0,∴cos(π-C)<0,∴-cosC<0,∴cosC>0,∴角 C 为锐角,∴△ABC 是锐 角三角形,故选 A. 6.设 tanα 和 tanβ 是方程 mx2+(2m-3)x+(m-2)=0 的两根,则 tan(α+β)的最小 值是( ) 15 3 A. 4 B.4 3 C.- D.不确定 4 答案:C 解析:∵tanα 和 tanβ 是 mx2+(2m-3)x+(m-2)=0 的两根,

? ? m-2 tanβ= m , ∴?tanα· m≠0, ? ?Δ=?2m-3? -4m?m-2?≥0.
2m-3 tanα+tanβ=- m ,
2

tanα+tanβ 9 ∴m≤4,且 m≠0.tan(α+β)= = 1-tanαtanβ 9 3 ∴当 m=4时,tan(α+β)的最小值为-4.

2m-3 - m -2m+3 3 = =- m + 2 2. m-2 1- m

二、填空题:(每小题 5 分,共 5×3=15 分) 3 π 7.已知 α 为第三象限的角,cos2α=-5,则 tan(4+2α)=________. 1 答案:-7 3π 解析:∵α 为第三象限的角,则 2kπ+π≤α≤2kπ+ 2 ,∴4kπ+2π≤2α≤4kπ+3π(k 3 ∈Z),又 cos2α=-5,

1+tan2α 4 4 π 1 ∴sin2α=5,tan2α=-3,∴tan(4+2α)= =-7. 1-tan2α π 2π π 2π 8.tan9+tan 9 + 3tan9· tan 9 的值为________. 答案: 3 π 2π π 2π 解析:tan9+tan 9 + 3tan9· tan 9 π 2π π 2π π 2π tan 9 ?+ 3tan · =tan?9+ 9 ??1-tan9· tan 9 9 ? ?? ? π 2π π 2π tan ?+ 3tan · = 3?1-tan9· 9? 9 tan 9 = 3. ? π π asin5+bcos5 8π b 9.若 a,b 是非零实数,且 π π=tan15,则a=________. acos -bsin 5 5 答案: 3 π π π b π π asin5+bcos5 tan5+a tan5+tan3 8π π π b π 解析: ∵ = = tan = tan( + ) = , ∴ = tan π π b π 15 5 3 π π a 3= 3. acos -bsin 1- tan 1-tan · tan 5 5 a 5 5 3 三、解答题:(共 35 分,11+12+12) 10.在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 为始边作两个锐角 α,β,它们的终边分别与 1 2 5 单位圆相交于 A,B 两点,已知点 A,B 的横坐标分别为 , . 3 5 (1)求 tan(α+β)的值; tan?α+β?-tanα (2)求 的值. 2+2tan?α+β?· tanα 1 2 5 解析:(1)由题意,得 cosα= ,cosβ= . 3 5 2 2 5 因为 α,β 为锐角,所以 sinα= 3 ,sinβ= 5 , 1 因为 tanα=2 2,tanβ=2. 1 2 2+2 tanα+tanβ 9+5 2 所以 tan(α+β)= = =- 1 2 . 1-tanαtanβ 1-2 2×2 tan?α+β?-tanα (2) 2+2tan?α+β?· tanα 1 tan?α+β?-tanα =2× 1+tan?α+β?· tanα 1 =2×tan[(α+β)-α] 1 =2×tanβ 1 1 =2×2 1 =4. 11.已知 tan(α+β)=2,tan(α-β)=3,求 tan(3π+2α)+tan(4π+2β)的值.

解析:因为 tan(α+β)=2,tan(α-β)=3, tan?α+β?+tan?α-β? 2+3 所以 tan2α=tan[(α+β)+(α-β)]= = =-1, 1-tan?α+β?tan?α-β? 1-2×3 tan?α+β?-tan?α-β?? 2-3 1 tan2β=tan[(α+β)-(α-β)]= = =-7, 1+tan?α+β?tan?α-β? 1+2×3 1 8 所以 tan(3π+2α)+tan(4π+2β)=tan2α+tan2β=-1-7=-7. π 12.已知向量 a=(sinθ,2),b=(cosθ,1)),且 a,b 共线,其中 θ∈?0,2?. ? ? π (1)求 tan?θ+4?的值; ? ? π (2)若 5cos(θ-φ)=3 5cosφ,0<φ< ,求 φ 的值. 2 解析:(1)∵a,b 共线,∴sinθ-2cosθ=0,即 tanθ=2. π 1+tanθ 1+2 ∴tan?θ+4?= ? ? 1-tanθ=1-2=-3. π 2 5 5 (2)由(1),知 tanθ=2,又 θ∈?0,2?,∴sinθ= ,cosθ= . 5 5 ? ? ∵5cos(θ-φ)=3 5cosφ, ∴5(cosθcosφ+sinθsinφ)=3 5cosφ,即 5cosφ+2 5sinφ=3 5cosφ, ∴cosφ=sinφ. π π 又 0<φ<2,∴tanφ=1,∴φ=4.


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