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2.3函数的单调性


第三节

函数的单调性
)

强化训练 1.若函数 f ( x) ? x 2 ? |x-a|+b 在区间 (??? 0] 上为减函数,则实数 a 的取值范围是( A. a ? 0 B. a ? 1 C. a ? 0 D. a ? 1 答案:C
2 ? x ? x ? a ? b? x ? a? f(x)= x 2 ? |x-a|+b 在区间 (??? 0] 上为减函数,则应有 a ? 0 . 2.若函数 h( x) ? 2 x ? k ? k 在 (1? ??) 上是增函数,则实数 k 的取值范围是( x 3 A. [?2? ??) B. [2? ??) C. (??? ?2] D. (??? 2]

解析:因为 f ( x) ? x 2 ? |x-a|+b= ?

? x 2 ? x ? a ? b? x ? a?

由其图象知,若函数

)

答案:A

x 3 x 2 2 x ? (1? ??) 恒成立,即 k ? ?2 x 对于 x ? (1? ??) 恒成立,而函数 u= ?2 x ( x ? [1? ??)) 的最大 值为-2,实数 k 的取值范围是 [?2? ??) . 3.下列四个函数中,在区间 (0? 1 ) 上为减函数的是( ) 4 1 1 A. y ? x( ) x B. y ? ?( ) x 2 2 1 3 C.y=xlog 2 x D. y ? x
答案:C 解析:显然 y ? ?( ) x 在 (0? 1 ) 上是增函数 ? y ? x 3 在 (0? 1 ) 上也是增函数,
1

解析:若函数 h( x) ? 2 x ? k ? k 在 (1? ??) 上是增函数,则 h′ ( x) ? 2 ? k2 ? 0 对于

1 2

4

4

1 1 1 1 4 2 2 2 2 1 所以 y ? x( ) x 在区间 (0? 1 ) 上为增函数,从而应选 C. 4 2 2 4.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 4 ( x ? 0) . x (1)若 f(x)为奇函数,求 a 的值; (2)若 f(x)在 [3? ??) 上恒大于 0,求 a 的取值范围. 解:(1)f(x)的定义域关于原点对称, 2 (? x) 2 ? a(? x) ? 4 ? ? x ? ax ? 4 ? ∴a=0. 若 f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x),即 ?x x (2)f′ ( x) ? 1 ? 42 ? x ∴在 [3? ??) 上 f′(x)>0. ∴f(x)在 [3? ??) 上单调递增. 故 f(x)在 [3? ??) 上恒大于 0 只要 f(3)>0 即可. 即 3a+13>0,解得 a ? ? 13 . 3

而对 y ? x( ) x 求导得 y′ ? ( ) x ? x( ) x ln2= ( ) x (1 ? x ln2),对 x ? (0? 1 )? y ′>0,

∴若 f(x)在 [3? ??) 上恒大于 0,a 的取值范围为 a ? ? 13 .

3

见课后作业 B 题组一 单调性的判定 1.下列函数 f(x)中,满足”对任意 x1 ? x2 ? (0? ??)? 当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ”的是 ( ) A. f ( x) ? 1 B. f ( x) ? ( x ? 1) 2

x

C.f(x)=e x D.f(x)=ln(x+1) 答案:A 2.函数 y ? x 2 ? bx ? c( x ? [0,+ ?)) 是单调函数的充要条件是( A. b ? 0 B. b ? 0 C.b>0 D.b<0 答案:A 解析:∵函数 y ? x 2 ? bx ? c 在[0,+ ?) 上为单调函数, ∴ x ? ? b ? 0? 即 b ? 0 .

)

2

题组二 求单调区间及单调性的应用 3.设 a=log 5 4? b ? ( log 5 3) 2 ? c ? log 4 5? 则(

)

A.a<c<b B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c 答案:D 解析:因为 0<log 5 3 ? log 5 4 ? 1 ? log 4 5? 所以 b<a<c. 4.如果函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x+2 在区间 (??? 4] 上是减函数,则实数 a 的取值范围是 ( ) A. [-3,+ ?) B. (??? ?3] C. (??? 5] D.[3,+ ?) 答案:B 解析: f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x+2 的对称轴为 x=1-a, ∴f(x)在 (???1 ? a ] 上是减函数,要使 f ( x) 在区间(- ?? 4] 上是减函数,则只需 1-a ? 4? 即 a ? -3. 5.已知函数 f(x)=log 1 (2 x 2 ? x)? 则 f(x)的单调递增区间为
3

.

答案: (??? ? ) 解析:由 2 x 2 ? x ? 0? 得 x>0 或 x ? ? ? 令 h( x) ? 2 x 2 ? x? 则 h(x)的单调递减区间为 (??? ? 1 ) .?

1 2

1 2

4

1 又∵ x ? ? ? 2
∴f(x)的单调递增区间为 (??? ? ) . 6.已知函数 f ( x) ?

1 2

3 ? ax (a ? 1) . a ?1

(1)若 a>0,求 f(x)的定义域; (2)若 f(x)在区间(0,1]上是减函数,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 a>0 且 a ? 1 时,由 3 ? ax ? 0 得 x ? 3 ? 即此时函数 f(x)的定义域是 (??? 3 ] ; (2)当 a-1>0,即 a>1 时,要使 f(x)在(0,1]上是减函数,则需 3-a ?1 ? 0? 此时1 ? a ? 3 . 当 a-1<0,即 a<1 时,要使 f(x)在(0,1]上是减函数,则需 ? a ? 0? 此时 a<0. 综上所述,所求实数 a 的取值范围是 (??? 0) ? (1,3]. 题组三 抽象函数的单调性 7.已知 f(x)是定义在 (??? ??) 上的偶函数,且在 (??? 0] 上是增函数,设

a

a

a ? f (log 4 7)? b ? f ( log 1 3)? c=f(0. 20?6 )? 则 a,b,c 的大小关系是(
2

)

A.c<b<a C.c>a>b 答案:C 解析:由题意 f(x)=f(|x|).
2

B.b<c<a D.a<b<c

∵log 4 7 ? log 2 7 ? 1? |log 1 3 |=log 2 3 ? log 2 7 ? 1? 0<0. 20?6 ? 1? ∴|log 1 3 |>|log 4 7 |>|0. 2
2

0?6

??

又∵f(x)在 (??? 0] 上是增函数且为偶函数, ∴f(x)在[0,+ ?) 上是减函数.∴c>a>b. 8.已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有

xf(x+1)=(1+x)f(x),则 f ( 5 ) 的值是( 2
A.0 C.1 答案:A

)

1 2 5 D. 2
B.

解析:令 x ? ? 1 ? ∴ ? 1 f ( 1 ) ? 1 f (? 1 ) ? 1 f ( 1 ) .

2 2 2 2 2 2 2 1 ) ? f ( 1 )? ∴ f ( 1 ) ? 0 . ∵ f (? 2 2 2 3 ) ? 3 f ( 1 )? ∴ f ( 3 ) ? 0 . 令x ? 1?∴1 f ( 2 2 2 2 2 2 3 ? ∴ 3 f (5) ? 5 f (3) . 令x? 2 2 2 2 2 ∴ f (5) ? 0 . 2 ? ? log 2x? x ? 0? 9.若函数 f(x)= ? 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是( ? 2 (? x)? x ? 0? ?log 1 A. (?1? 0) ? (0?1) B. (??? ?1) ? (1? ??) C. (?1? 0) ? (1? ??) D. (??? ?1) ? (0?1)
答案:C 解析:由分段函数的表达式知,需要对 a 的正负进行分类讨论.

)

?a ? 0 ?a ? 0 a?0 a?0 ? ? ? ? ? ? 或? 或 ?1 ?? f (a) ? f (?a) ? ? 1 ?log 2a ? log 1a ?log 1 (?a ) ? log 2(? a) ?a ? a ?a ? a ? 2 ? 2 ? ? ? a ? 1 或-1<a<0. 10.若函数 f(x)=a|x-b|+2 在 [0? ??) 上为增函数,则实数 a,b 的取值范围为 . 答案: b ? 0? a ? 0 解析:由 f(x)=a|x-b|+2 知其图象关于 x=b 对称,且在 [0? ??) 上为增函数,所以 b ? 0? a ? 0 .
11.已知 t 为常数,函数 y=| x 2 ? 2 x ? t |在区间 ? 0? 3? 上的最大值为 2,则 t= 答案:1 解析:显然函数 y=| x 2 ? 2 x ? t |的最大值只能在 x=1 或 x=3 时取到, 若在 x=1 时取到,则|1-2-t|=2,得 t=1 或 t=-3. t=1,x=3 时,y=2;t=-3,x=3 时,y=6(舍去); 若在 x=3 时取到,则|9-6-t|=2,得 t=1 或 t=5. t=1,x=1 时,y=2;t=5,x=1 时,y=6(舍去),所以 t=1. .

2x 12.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? ?x ?1 ? b 是奇函数. 2 ?a
(1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t ? R,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.
x 解:(1)∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0,即 b ? 1 ? 0 ? b ? 1 .∴ f ( x) ? 1 ? 2x ?1 .

a?2 1 1? 2 ? a=2. 又由 f(1)=-f(-1),知 1 ? 2 ? ? a?4 a ?1 x (2)由(1)知 f ( x) ? 1 ? 2x ?1 ? ? 1 ? x1 ? 易知 f(x)在 (??? ??) 上为减函数. 2 2 ?1 2?2 又因 f(x)是奇函数, 从而不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k)<0 等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f(k- 2t 2 )? 因 f(x)为减函数,由上式推得: 2 t ? 2t ? k ? 2t 2 ? 即对一切 t ? R 有 3t 2 ? 2t ? k ? 0 . 从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? 1 .? 3

a?2


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