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2015-2016高中数学 2.2.2第2课时 对数函数及其性质的应用课时作业 新人教A版必修1

活页作业(二十一)
知识点及角度

对数函数及其性质的应用
难易度及题号 基础 中档 5 9 10 11 4 12 稍难

比较大小问题 对数不等式 最值问题 综合问题

1、3、6 6、7 2 8

1.下列不等式成立的是( A.log32<log23<log25 C.log23<log32<log25

) B.log32<log25<log23 D.log23<log25<log32

解析:由于 log31<log32<log33,log22<log23<log25,即 0<log32<1,1<log23< log25,所以 log32<log23<log25,故选 A. 答案:A 2.若函数 f(x)=loga x(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的 3 倍,则 a 的值为 ( ) A. 2 4 B. 2 2

1 C. 4 解析:∵0<a<1,∴f(x)是单调减函数, ∴在[a,2a]上,f(x)max=loga a=1,

1 D. 2

f(x)min=loga(2a)=1+loga2.
由题意得 3(1+loga2)=1,解得 a= 答案:A 3.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,设 a=f(- 3),b 1? ? ?4? =f?log3 ?,c=f? ?,则 a、b、c 的大小关系是( 2? ? ?3? A.a<c<b C.b<c<a ) 2 . 4

B.b<a<c D.c<b<a

1? ? 解析:a=f(- 3)=f( 3),b=f?log3 ? 2? ? =f(log32),
1

c=f? ?.∵0<log32<1,1< < 3,∴ 3> >log32. 3
∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴a>c>b,故选 C. 答案:C 4.函数 f(x)(x∈R)的图象如图所示,则 g(x)=f(logax)(0<a<1)的单调递减区间为 ( )

?4? ? ?

4 3

4 3

? 1? A.?0, ? ? 2? ?1 ? B.(-∞,0)∪? ,+∞? ?2 ?
C.[ a,1] D.[ a, a+1] 解析:函数 y=g(x)由下列函数复合而成,u=logax,y=f(u). 由 0<a<1 知,u=logax 在(0,+∞)上递减,由复合函数单调性“同增异减”规律知, 欲求 y=f(logax)的递减区间,应求 y=f(u)的递增区间.

? 1? 由图象可知 y=f(u)的递增区间为 u∈?0, ?, ? 2?
1 ∴0≤logax≤ ,解得 a≤x≤1. 2 答案:C 1? ? ?? ?2?x,x≥4, 5.已知函数 f(x)=?? ? ? ?f?x+1?,x<4, 解析:因为 3=log28<log212<log216=4. 所以 log212+1>4, 所以 f(log212)=f(log212+1)=f(log224)

则 f(log212)=______.

?1?log 24 -log 24 log 1 1 =? ? 2 =2 2 =2 224= . 24 ?2?
答案: 1 24

6.已知 f(x)=log3x 的值域是[-1,1],那么它的反函数的值域为________. 解析:∵-1≤log3x≤1,
2

1 ∴log3 ≤log3x≤log33, 3 1 ∴ ≤x≤3. 3

?1 ? ∴f(x)=log3x 的定义域是? ,3?, ?3 ? ?1 ? ∴f(x)=log3x 的反函数的值域是? ,3? ?3 ? ?1 ? 答案:? ,3? ?3 ?
7.解不等式 log0.3(x+5)>log0.3(7-x). 解:因为 f(x)=log0.3x 在(0,+∞)上是减函数,

x+5>0, ? ? 所以原不等式可化为?7-x>0, ? ?x+5<7-x.
解得-5<x<1. 所以原不等式的解集为{x|-5<x<1}.

8.已知函数 f(x)=loga(x +2x-3),若 f(2)>0,则此函数的单调递增区间是( A.(-∞,-3) C.(-∞,-1) 解析:∵f(2)=loga5>0=loga1, ∴a>1, 由 x +2x-3>0, 得函数 f(x)的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞). 设 u=x +2x-3,则 u 在(1,+∞)上为增函数. 又 y=logau(a>1)在(0,+∞)上也为增函数, ∴函数 f(x)的单调递增区间是(1,+∞).故选 D. 答案:D
2 2

2

)

B.(-∞,-3)∪(1,+∞) D.(1,+∞)

? 1? 9.已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上是单调减函数,若 f(1)>f?lg ?, ? x?
则 x 的取值范围为______. 解析:因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数且在区间[0,+∞)上是单调减函数,所以 f(x) 1 1 ? 1? ? 1? 在区间(-∞, 0)上是增函数, 所以不等式 f(1)>f?lg ?可化为?lg ?>1 即 lg >1 或 lg <

? x?

? x?

x

x

-1,
3

1 1 1 所以 lg >lg 10 或 lg <lg , x x 10 1 1 1 所以 >10 或 0< < , x x 10 1 所以 0<x< 或 x>10. 10 1 答案:0<x< 或 x>10 10 10.解不等式 2loga(x-4)>loga(x-2). 解:原不等式等价于
?loga?x-4? >loga?x-2?, ? ? ? ?x-4>0. ? ??x-4? >x-2, (1)当 a>1 时,又等价于? ?x-4>0, ?
2 2

解得 x>6. (2)当 0<a<1 时,又等价于
? ??x-4? <x-2, ? ?x-4>0, ?
2

解得 4<x<6.

综上所述,当 a>1 时,原不等式的解集为(6,+∞); 当 0<a<1 时,原不等式的解集为(4,6). 11.已知 f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求函数 y=[f(x)] +f(x )的最大值及 y 取得最 大值时的 x 的值. 解:由 f(x)=2+log3x,x∈[1,9]得 f(x )=2+log3x ,x ∈[1,9], 得函数 y=[f(x)] +f(x )的定义域为[1,3],
2 2 2 2 2 2 2

y=(2+log3x)2+2+log3x2,
即 y=(log3x) +6log3x+6=(log3x+3) -3, 令 log3x=t,0≤t≤1,y=(t+3) -3, 当 t=log3x=1, 即 x=3 时,ymax=13.
2 2 2

12.已知函数 f(x)=loga(3+2x),g(x)=loga(3-2x)(a>0,且 a≠1). (1)求函数 f(x)-g(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)-g(x)的奇偶性,并予以证明; (3)求使 f(x)-g(x)>0 的 x 的取值范围.

4

?3+2x>0, ? 解:(1)使函数 f(x)-g(x)有意义,必须有? ?3-2x>0, ? ? ? ? 3 所以函数 f(x)-g(x)的定义域是?x?- ? ? ? 2 ? 3? < x< ? . 2? ?

3 3 解得- <x< . 2 2

(2)由(1)知函数 f(x)-g(x)的定义域关于原点对称.

f( - x) - g( - x) = loga(3 - 2x) - loga(3 + 2x) =- [loga(3 + 2x) - loga(3 - 2x)] =-
[f(x)-g(x)], ∴函数 f(x)-g(x)是奇函数. (3)f(x)-g(x)>0,即 loga(3+2x)>loga(3-2x). 3+2x>3-2x, ? ? 当 a>1 时,有?3+2x>0, ? ?3-2x>0,

? 3? 解得 x 的取值范围是?0, ?. ? 2?
3+2x<3-2x, ? ? 当 0<a<1 时,有?3+2x>0, ? ?3-2x>0,

? 3 ? 解得 x 的取值范围是?- ,0?, ? 2 ? ? 3? 综上所述:当 a>1 时 x 的取值范围是?0, ? ? 2? ? 3 ? 当 0<a<1 时 x 的取值范围是?- ,0?. ? 2 ?

1.比较两个对数式大小的方法有以下几种: (1)单调法:比较同底数(是具体的数值)的对数大小,构造对数函数,利用对数函数的 单调性比较大小. 要注意:明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值;明确对数函数的底数与 1 的大小关系;最后根据对数函数的单调性判断大小. (2)中间量法:比较不同底数对数的大小,常借助于中间值 0 进行比较. 利用口诀:“同大异小”,判断对数的符号.对于对数 logax,a 和 x 均与 1 比较大小, 当 a 和 x 都同大于(小于)1 时,logax 大于 0,否则 logax 小于 0. (3)分类讨论:比较同底数(不是具体的数值)的对数大小,构造对数函数,利用对数函
5

数的单调性比较大小. 要注意: 明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值; 分类讨论对数函数的底数与 1 的大小;最后根据对数函数的单调性判断大小. 2.两类对数不等式的解法: (1)形如 logaf(x)<logag(x)的不等式. ①当 0<a<1 时,可转化为 f(x)>g(x)>0; ②当 a>1 时,可转化为 0<f(x)<g(x). (2)形如 logaf(x)<b 的不等式可变形为 logaf(x)<b=logaa . ①当 0<a<1 时,可转化为 f(x)>a ; ②当 a>1 时,可转化为 0<f(x)<a . 3.求函数 y=logaf(x)值域的步骤: (1)换元:先令 u=f(x),再求出 f(x)的值域. (2)求新元的范围:结合 u>0,求出 u 的取值范围,不妨设为[m,n](m>0). (3)结合单调性求值域: ①若 a>1,则函数 y=logaf(x)的值域为[logam,logan]; ②若 0<a<1,则函数 y=logaf(x)的值域为[logan,logam].
b b b

6


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