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【2014威海市一模】山东省威海市2014届高三3月模拟考试 数学(理)试题 Word版含解析


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第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知集合 A ? {1, 2}, B ? {1, a, b} ,则“ a ? 2 ”是“ A ? B ”的( (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 )

2. i ? z ? 1 ? i ( i 为虚数单位) ,则 z ? ( (A) 1 ? i (B) 1 ? i

) (D) ?1 ? i

(C) ?1 ? i

3.若 a ? b ,则下列不等式成立的是( (A) ln a ? ln b (C) a ? b 【答案】 D 【解析】
1 2 1 2

)

(B) 0.3a ? 0.3b (D) 3 a ? 3 b

试题分析:因为 a ? b ,而对数函数要求真数为正数,所以 ln a ? ln b 不成立;

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因为 y ? 0.3x 是减函数,又 a ? b ,则 0.3a ? 0.3b ,故 B 错; 因为 y ? x 2 在 (0, ??) 是增函数,又 a ? b ,则 a 2 ? b 2 ,故 C 错;
1
1 1

y ? x 3 在 (??, ??) 是增函数,又 a ? b ,则 a 3 ? b 3 即 3 a ? 3 b 成立,选 D .
考点:指数函数、对数函数、幂函数的性质.

1

1

1

4.根据给出的算法框图,计算 f (?1) ? f (2) ? (
开始 输入 x 是

)

x?0



f ( x) ? 4 x

f ( x) ? 2x

输出

f ( x)
结束

第 4 题图 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4

5.某班级统计一次数学测试后的成绩,并制成了如下的频率分布表,根据该表估计该班级的数学测试平均 分为( 分组 人数 频率 )

?60,70? ?70,80? ?80,90? ?90,100?
5 0.1 15 0.3 (B) 81 20 0.4 (C) 82 10 0.2 (D) 83
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(A) 80

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【答案】 C 【解析】 试题分析:∵ 要 估 计 两 个 班 的 平 均 分 , ∴ 可 以 认 为 分 数 是 均 匀 分 布 的 . ∴ 65 ? 0.1 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.4 ? 95 ? 0.2 ? 82 , 故选 C . 考点:频率分布表

6.已知 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,且 l ∥ ? ,则下列命题正确的是( (A)若 l ∥ m ,则 m ∥ ? (C)若 l ? m ,则 m ? ? (B)若 m ∥ ? ,则 l ∥ m (D)若 m ? ? ,则 l ? m

)

7.已知函数 f ( x) ? sin 2 x 向左平移 ( ) (A)图象关于点 ( ? (C)在区间 [? 【答案】 C 【解析】

?
6

个单位后,得到函数 y ? g ( x) ,下列关于 y ? g ( x) 的说法正确的是

?
3

, 0) 中心对称

(B)图象关于 x ? ? (D)在 [ ?

?
6

轴对称

5? ? , ? ] 单调递增 12 6

? ?

, ] 单调递减 6 3

试题分析: 函数 f ( x) ? sin 2 x 向左平移 令x??

?
6

个单位后, 得到函数 f ( x) ? sin 2( x ?

?
6

), 即 f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

),

?
3

,得 f (?

?
3

) ? ? sin

?
3

? 0 , A 不正确;

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令x?? 由?

?
6

,得 f (?

?
6

) ? sin 0 ? 0 ? ?1 , B 不正确;
?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
3

?
2

? 2k? , k ? Z ,得 ?

5? ? ? k? ? x ? ? k ? , k ? Z , 12 12

即函数的增区间为 [? 故选 C .

5? ? ? 7? ? k? , ? k? ], k ? Z , 减区间为 [ ? k? , ? k? ], k ? Z , 12 12 12 12

考点:三角函数图象的平移,三角函数的图象和性质.

8.任取三个整数,至少有一个数为偶数的概率为( (A) 0.125 (B) 0.25 (C) 0.5

)

(D) 0.875

9.二项式 ( x ? (A) 10

3

1 n ) 的展开式中第 4 项为常数项,则常数项为( x
(B) ?10 (C) 20 (D) ?20

)

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10..函数 f ( x) ? ( x ? 2)( ax ? b) 为偶函数,且在 (0, ??) 单调递增,则 f (2 ? x) ? 0 的解集为( (A) {x | x ? 2或x ? ?2} (C) {x | x ? 0或x ? 4} (B) {x | ?2 ? x ? 2} (D) {x | 0 ? x ? 4}

)

11.双曲线 y 2 ? 的面积为( (A) 3 )

x2 ? 1的离心率 e ? 2 ,则以双曲线的两条渐近线与抛物线 y 2 ? mx 的交点为顶点的三角形 m

(B) 9 3

(C) 27 3

(D) 36 3

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故选 C . 考点:双曲线的几何性质,直线与抛物线的位置关系,三角形面积公式.

12. 已知 a ? 1 ,设函数 f ( x) ? a x ? x ? 4 的零点为 m , g ( x) ? loga x ? x ? 4 的零点为 n ,则 mn 的最大 值为( (A) 8 ) (B) 4 (C) 2 (D) 1

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第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题(每题 4 分,满分 16 分,将答案填在答题纸上)
13. 若函数 y ? cos 2x ? 3 sin 2x ? a 在 ? 0, _________________. 【答案】 (?2,- 1] 【解析】

? ?? 上有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围为 ? 2? ?

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14.已知圆O 过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的两焦点且关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆O 的方程为__________. 6 2

?x ? 2 y ? 2 ? 15. 设 x, y 满足约束条件 ?e x ? y ? 0 ,则 M ( x, y ) 所在平面区域的面积为___________. ?0 ? x ? 2 ?
【答案】 e ? 2
2

【解析】

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?x ? 2 y ? 2 ? 试题分析:画出 ?e x ? y ? 0 对应的平面区域,如图所示. ?0 ? x ? 2 ?

2 1 2 ? ? 2 ?1 ? e2 ? e0 ? 1 ? e 2 ? 2 . M ( x, y) 所在平面区域的面积为 ? e x dx ? S ?AOB ? e x |0 0 2

考点:不等式组表示的平面区域,定积分的应用.

16. 函数 y ? f ( x) 的定义域为 (??, ?1) 四个命题: ①函数 y ? f ( x) 一定是偶函数;

(1, ??) ,其图象上任一点 P( x, y) 满足 x2 ? y 2 ? 1,则给出以下

②函数 y ? f ( x) 可能是奇函数;

③函数 y ? f ( x) 在 (1, ??) 单调递增; ④若 y ? f ( x) 是偶函数,其值域为 (0, ??) 其中正确的序号为_______________.(把所有正确的序号都填上)

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从以上情况可以看出:①④表示偶函数,②③表示奇函数,②对;由图②④可知函数 y ? f ( x) 在 (1, ??) 单 调递减,故③错;由图④可知函数是偶函数时,其值域也为 (0, ??) ,故④错. 综上知正确的序号为②. 考点:函数的定义,函数的奇偶性、单调性,双曲线.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
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17. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (1+cos? , ? sin ? ) . (Ⅰ)若 ? ?

?
3

, ? ? (0, ? ) ,且 a ? b ,求 ? ;

(Ⅱ)若 ? =? ,求 a ? b 的取值范围.

(Ⅱ) a ? b ? cos ? ? cos 令 t ? cos ? , t ???1,1?

2

? ? sin 2 ? ? cos ? ? 2cos2 ? ?1

--------------8 分 ------------------9 分

1 9 a ? b ? 2t 2 ? t ? 1 ? 2(t ? ) 2 ? 4 8 1 时, a ? b 4
min

∴当 t ? 1 时, a ? bmax ? 2 ,当 t ? ? ∴ a ? b 的取值范围为 [? , 2] .

??

9 -----------------11 分 8
----------------------12 分

9 8

考点: ,平面向量垂直的充要条件,平面向量的数量积,和差倍半的三角函数,二次函数的图象和性质.

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18. (本小题满分 12 分)一个袋子中装有 7 个小球,其中红球 4 个,编号分别为 1,2,3,4,黄球 3 个,编 号分别为 2,4,6,从袋子中任取 4 个小球(假设取到任一小球的可能性相等). (Ⅰ)求取出的小球中有相同编号的概率; (Ⅱ)记取出的小球的最大编号为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 【答案】(Ⅰ)

19 ; 35

(Ⅱ)随机变量 X 的分布列为:

X
P

3

4

6

1 35 179 随机变量 X 的数学期望 . 35

2 5

4 7

(Ⅱ) 随机变量 X 的可能取值为:3,4,6

--------------------6 分 ----------------------7 分

P( X ? 3) ?

1 1 , ? 4 C7 35
1 3 2 C2 C4 ? C4 2 ? , 4 C7 5 3 C6 4 ? 4 C7 7

P( X ? 4) ? P( X ? 6) ?

----------------------8 分

----------------------9 分

所以随机变量 X 的分布列为:

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X
P
----------------10 分

3

4

6

1 35

2 5

4 7

所以随机变量 X 的数学期望 EX ? 3 ?

1 2 4 179 ? 4? ? 6? ? .--- ----------12 分 35 5 7 35

考点:古 典 概 型 , 互 斥 事 件 , 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 及 数 学 期 望 .

19. (本小题满分 12 分) 如图,矩形 ABCD 所在的平面和平面 ABEF 互相垂直,等腰梯形 ABEF 中,

AB ∥ EF , AB =2, AD ? AF ? 1 , ?BAF ? 60 , O , P 分别为 AB , CB 的中点, M 为底面 ?OBF 的
重心. (Ⅰ)求证: PM ∥平面 AFC ; (Ⅱ)求直线 AC 与平面 CBF 所成角的正弦值. C

P
D O A B M F E

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试题解析: (Ⅰ)连结 OM 延长交 BF 于 H ,则 H 为 BF 的中点,又 P 为 CB 的中点, ∴ PH ∥ CF ,又∵ AF ? 平面 AFC ,∴ PH ∥平面 AFC 连结 PO ,则 PO ∥ AC , AC ? 平面 AFC , PO ∥平面 AFC -------------------2 分 -----------------4 分

PO PO1 ? P ∴平面 POO1 ∥平面 AFC ,
PM ? 平面 AFC , PM / /平面 AFC

----------------5 分 ----------------------6 分

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法二:以 O 为原点建立如图所示空间直角坐标系,
1 3 A(1, 0, 0), B(?1, 0, 0), C ( ?1, 0, 1), F ( , , 0), 2 2

-----------------7 分

设平面 CBF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,
3 3 FC ? (? , ? , 1), CB ? ? 0, 0, ? 1? , 2 2

-------------------8 分

? ? ? z ? 0, ?n ? CB ? 0, 由? 所以 ? ? ? ? 3x ? y ? 0, ?n ? FC ? 0,

?x ? 1 ? 令 x ? 1 ,则 ? y ? ? 3 ,所以 n ? (1, ? 3, 0) ,-----------------10 分 ?z ? 0 ?
AC ? ? ?2, 0, 1?

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∴ cos ? n, AC ??

?2 5 ?? 5 5? 4

---------------------11 分

∴直线 AC 与平面 CBF 所成角的正弦值为

5 -------------------12 分 5

考点:平行关系,空间的角,空间向量的应用.

20. (本小题满分 12 分) 已知正项数列{an } ,其前 n 项和 Sn 满足 8Sn ? an 2 ? 4an ? 3, 且 a2 是 a1 和 a7 的等比中项. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 符号 [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数,记 bn ? [log 2 (

an ? 3 )] ,求 b1 ? b2 ? b3 ? 4

b2n .

试题解析:(Ⅰ) 由 8Sn ? an ? 4an ? 3 ①
2

知 8Sn?1 ? an?1 ? 4an?1 ? 3 (n ? 2, n ? N ) ②
2

----------------------1 分

由①-②得 8an ? (an ? an?1 )(an ? an?1 ) ? 4an ? 4an?1

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整理得 (an ? an?1 ? 4)(an ? an?1 ) ? 0 (n ? 2, n ? N ) ----------------------2 分 ∵{an } 为正项数列∴ an ? an?1 ? 0, ,∴ an ? an?1 ? 4 (n ? 2, n ? N ) ---------3 分 所以 {an } 为公差为 4 的等差数列,由 8a1 ? a12 ? 4a1 ? 3, 得 a1 ? 3 或 a1 ? 1 ----------4 分 当 a1 ? 3 时, a2 ? 7, a7 ? 27 ,不满足 a2 是 a1 和 a7 的等比中项. 当 a1 ? 1 时, a2 ? 5, a7 ? 25 ,满足 a2 是 a1 和 a7 的等比中项. 所以 an ? 1 ? (n ?1)4 ? 4n ? 3 . ----------------------6 分

21. (本小题满分 13 分)过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左顶点 A 作斜率为 2 的直线,与椭圆的另一个 a 2 b2
6 BC . 13

交点为 B ,与 y 轴的交点为 C ,已知 AB ? (Ⅰ)求椭圆的离心率;

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(Ⅱ)设动直线 y ? kx ? m 与椭圆有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相交于点 Q ,若 x 轴上存在 一定点 M (1,0) ,使得 PM ? QM ,求椭圆的方程. 【答案】 (Ⅰ) e ?

1 x2 y 2 ? ? 1. ; (Ⅱ) 2 4 3

试题解析: (Ⅰ)∵ A (?a, 0) ,设直线方程为 y ? 2( x ? a) , B( x1 , y1 ) 令 x ? 0 ,则 y ? 2a ,∴ C (0, 2a) , ∴ AB ? ( x1 ? a, y1 ), BC ? (?x1,2a ? y1 ) ----------------------2 分 ----------------------3 分

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6 6 6 BC ,∴ x1 ? a = (? x1 ), y1 ? (2a ? y1 ) , 13 13 13 13 12 a --------------------4 分 整理得 x1 ? ? a, y1 ? 19 19
∵ AB ? ∵ B 点在椭圆上,∴ (

13 2 12 2 a 2 b2 3 ) ? ( ) ? 2 ? 1 ,∴ 2 ? , 19 19 b a 4

----------------------5 分



3 1 a2 ? c2 3 ? , 即 1 ? e 2 ? ,∴ e ? 2 4 2 a 4

----------------------6 分

考点:椭圆的几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系,共线向量,平面向量垂直的充要条件.
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22.(本小题满分 13 分)
2 设函数 f ( x) ? ae x ( x ? 1) (其中 e ? 2.71828.... ) , gx () x ? b x ? ?2

,已知它们在 x ? 0 处有相同的切

线. (Ⅰ)求函数 f ( x ) , g ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 [t , t ? 1] (t ? ?3) 上的最小值; (Ⅲ)若对 ?x ? ?2, kf ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 k 的取值范围. 【答案】(Ⅰ) f ( x) ? 2ex ( x ? 1), g ( x) ? x2 ? 4x ? 2 .
?2 ? ??2e (?3 ? t ? ?2) (Ⅱ) f ( x) ? ? t ; ? ?2e (t ? 1) (t ? ?2)

(Ⅲ)满足题意的 k 的取值范围为 [1, e 2 ] .

x 试题解析:(Ⅰ) f ?( x) ? ae (x ? 2) , g ?( x) ? 2 x ? b

----------------------1 分

由题意,两函数在 x ? 0 处有相同的切线.

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? f ?(0) ? 2a, g ?(0) ? b,? 2a ? b, f (0) ? a ? g (0) ? 2,? a ? 2, b ? 4 ,

? f ( x) ? 2ex ( x ? 1), g ( x) ? x2 ? 4x ? 2 .

----------------------3 分

(Ⅲ)令 F ( x) ? kf ( x) ? g ( x) ? 2kex ( x ? 1) ? x2 ? 4 x ? 2 , 由题意当 x ? ?2, F ( x)min ? 0 ----------------------7 分

∵ ?x ? ?2, kf ( x) ? g ( x) 恒成立,? F (0) ? 2k ? 2 ? 0,? k ? 1 ----------------------8 分

F ?( x) ? 2kex ( x ? 1) ? 2kex ? 2x ? 4 ? 2( x ? 2)(kex ?1) ,
x ? ?2 ,由 F ?( x) ? 0 得 e x ?

----------------------9 分

1 1 1 ,? x ? ln ;由 F ?( x) ? 0 得 x ? ln k k k 1 1 ∴ F ( x) 在 ( ??, ln ] 单调递减,在 [ln , ?? ) 单调递增 ----------------------10 分 k k 1 2 ①当 ln ? ?2 ,即 k ? e 时, F ( x) 在 [?2, ??) 单调递增, k 2 F ( x) min ? F (?2) ? ?2ke ?2 ? 2 ? 2 (e 2 ? k ) ? 0 ,不满足 F ( x)min ? 0 . ----------------11 分 e 1 2 2 2 ② 当 ln ? ?2 ,即 k ? e 时,由①知, F ( x) min ? F (?2) ? 2 (e ? k ) ? 0 ,满足 k e

F ( x)min ? 0 .
③当 ln

---------------12 分

1 1 1 ? ?2 ,即 1 ? k ? e2 时, F ( x) 在 [?2, ln ] 单调递减,在 [ln , ??) 单调递增 k k k

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1 F ( x) min ? F (ln ) ? ln k (2 ? ln k ) ? 0 ,满足 F ( x)min ? 0 . k
综上所述,满足题意的 k 的取值范围为 [1, e 2 ] . ----------------------13 分

考点:应用导数研究函数的单调性、最值、证明不等式,转化与划归思想.

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