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高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第二部分 洞察高考39题《专题二 90分解答题大冲关与评分细则》第29题


专题二 90分解答题大冲关
与评分细则

看似复杂,实则简单,带你融会贯通应用题

【例 1】 (2012· ? 南京高三调研)经销商用一辆 J 型卡车将某种水 果从果园运送(满载)到相距 400 km 的水果批发市场.据测 算,J 型卡车满载行驶时,每 100 km 所消耗的燃油量 u(单 位: L)与速度 v(单位:km/h),的关系近似地满足 u= ?100 ? v +23,0<v≤50, ? 2 ? v +20,v>50. ?500

除燃油费外,人工工资、车损等

其他费用平均每小时 300 元. 已知燃油价格为每升(L)7.5 元.
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(1)设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用),将y表示成
速度v的函数关系式; (2)卡车该以怎样的速度行驶,才能使运送这车水果的费用最少? 解题突破 由u是关于v的分段函数,得y也是关于v的分段函数,

求出各段函数的最小值,再比较大小,而求函数最值的方法可

以有函数图象法、单调性法、导数法等,其中导数法是求函数
最值的一种相当重要的方法.

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400 400 (1)由题意,当 0<v≤50 时,y=7.5· u+300· v = 100

?100 ? 400 123 000 ? ? 30· v +23?+300·v = v +690, ? ? ? ? v2 ? 400 400 400 ? ? 当 v>50 时,y=7.5· u+300·v =30· +20?+300·v = ?500 100 ? ?

3v2 120 000 50 + v +600, ?123 000 ? v +690,0<v≤50, 所以 y=? 2 ?3v +120 000+600,v>50. v ? 50

(8 分)

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123 000 (2)当 0<v≤50 时,y= v +690 是单调减函数, 123 000 故 v=50 时,y 取得最小值 ymin= 50 +690=3 150; 3v2 120 000 当 v>50 时,y= + v +600(v>50) 50 3v 120 000 3?v3-106? 由 y′= - = =0,得 v=100 25 v2 25v2 3v2 120 000 当 50<v<100 时,y′<0,函数 y= 50 + v +600 单调递 减.
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3×1002 120 000 所以当 v=100 时,y 取得最小值 ymin= + +600 50 100 =2 400 由于 3 150>2 400,所以当 v=100 时,y 取得最小值. 答当卡车以 100 km/h 的速度驶时,运送这车水果的费用最 少.(16 分)

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评分细则 ?1?第一问,有一段求解错误的,扣4分; ?2?第二问,有一段函数最值求解错误的,扣2分;没有将两个 最小值比较的,扣2分,不写答案的,扣1分.

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【例2】? (2012·南通市数学学科基地密卷(一),18)如图所示:
一吊灯的下圆环直径为4 m,圆心为O,通过细绳悬挂在天 花板上,圆环呈水平状态,并且与天花板的距离(即OB)为2 m,在圆环上设置三个等分点A1 ,A2 ,A3.点C为OB上一点 (不包含端点O、B),同时点C与点A1,A2,A3,B均用细绳

相连接,且细绳CA1 ,CA2 ,CA3 的长度相等。设细绳的总
长为y. (1)设∠CA1O=θ(rad), 将y表示成θ的函数关系式; (2)请你设计θ,当角θ正弦值的大小

是多少时,细绳总长y最小,并指明此时BC应为多长.
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2 解 (1)在 Rt△COA1 中,CA1=cos θ,CO=2tan θ,(2 分) 2?3-sin θ? ? π? 2 y=3CA1+CB=3· +2-2tan θ= +2?0<θ<4?.(7 cos θ cos θ ? ? 分) -cos2θ-?3-sin θ??-sin θ? 3sin θ-1 (2)y′=2 =2 cos2θ , cos2θ 1 令 y′=0,则 sin θ=3,(12 分)

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? π? 1 1 当 sin θ>3时, y′>0; θ<3时, sin y′<0, ∵y=sin θ 在?0,4? ? ?

上是增函数 1 ∴当角 θ 满足 sin θ=3时,y 最小,最小为 4 2+2;此时 BC=
? ? ?2- ?

2? ? m.(16 分) 2? ?

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【突破训练】 (2012·启东中学一模)如图,某单位准备修建一 个面积为600平方米的矩形场地(图中的ABCD)的围墙,且要 求中间用围墙EF隔开,使得图中ABEF为矩形,EFDC为正 方形,设AB=x米,已知围墙(包括EF)的修建费用均为800

元/米.设围墙(包括EF)的修建总费用为y元.
(1)求出y关于x的函数解析式; (2)当x为何值时,围墙(包括EF)的修建 总费用y最小?并且求出y的最小值.

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600 解 (1)设 AD=t 米, 则由题意得 xt=600, t>x, t= x > 且 故 x,可得 0<x<10 6,(4 分) 则
? 600? y=800(3x+2t)=800?3x+2× x ?=2 ? ? ? 400? 400?x+ x ?, ? ?

所以 y 关于 x 的函数解析式为 y=2 分) (2)y=2
? 400? 400?x+ x ?≥2 ? ?

? 400? 400?x+ x ?(0<x<10 ? ?

6). (8

400×2

400 x·x =96 000,

400 当且仅当 x= ,即 x=20 时等号成立. x 故当 x 为 20 米时,y 最小.y 的最小值为 96 000 元.(14 分)
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【抢分秘诀】
1.常见的应用题:(1)函数与导数模型;(2)三角函数模型;(3) 函数与不等式模型;(4)数列模型. 2.解决实际问题的一般步骤:(1)阅读题目,理解题意;(2)设 置变量,建立函数关系;(3)应用函数知识或数学方法解决

问题;(4)检验,作答.

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