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2007-2013三角函数广东文科高考题汇编-教师版


三角函数
一.高考考纲说明: 八.基本初等函数 II(三角函数) (1)任意角的概念、弧度制 ① 了解任意角的概念。 ② 了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化。 (2)三角函数 ① 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。 ②能利用单位圆中的三角函数线推导出

y ? sin x,y ? cos x,y ? tan x 的图像,了解三角函数的周期性。
解正切函数在区间( ?

π ? α ,π ? α 的 正 弦 、 余 弦 、 正 切 的 诱 导 公 式 , 能 画 出 2

③理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π ]的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴交点等) ,理

π π , )的单调性。 2 2

④理解同角三角函数的基本关系式:

sin x sin 2 x ? cos 2 x ? 1, ? tan x cos x
⑤了解函数 y=Asin(ω x+?)的物理意义;能画出 y=Asin(ω x+?)的图像,了解参数 A、ω 、?对函数图 象变化的影响。 ⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题。 十.三角恒等变换 (1)和与差的三角函数公式 ① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。 ② 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。 ③ 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式, 了解它们的内在联系。 (2)简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求 记忆) 十一.解三角形 (1)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题。 (2)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

-1-

二.高考回顾: 7.三角函数与解三角形 2007 17 分 2008 17 分 2009 22 分 2010 19 分 2011 12 分 2012 17 分 2013 17 分

(2013 年高考广东卷第 4 小题)4.已知 sin( A. ?

2 5

B. ?

1 5

C.

1 5

5? 1 ? ? ) ? ,那么 cos? ? 2 5 2 D. 5

【解析】 :考查三角函数诱导公式, sin(

5? ? 1 ?? ? ? ? ) ? sin(2? + ? ? ) ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ,选 C. 2 2 5 ?2 ?

(2013 年高考广东卷第 16 小题) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

? ? ? ?? ? 2 cos ? x ? ? , x ? R .(1) 求 f ? ? 的值; ? 12 ? ?3?
?? ? f ?? ? ? . 6? ?

(2) 若 cos ? ?

3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

【解析】(1) f ?

?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? ? ? 1 ?3? ? 3 12 ? ?4?
4 3 ? 3? ? , ? ? ? , 2? ? , sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? , 5 5 ? 2 ?

(2)? cos ? ?

?? ?? ? ?? 1 ? ? ? ? f ? ? ? ? = 2 cos ? ? ? ? ? 2 ? cos ? cos ? sin ? sin ? ? ? . 6? 4? 4 4? 5 ? ? ?
(2012 年高考广东卷第 6 小题)6.在 ?ABC 中,若 ?A ? 60 , ?B ? 45 , BC ? 3 2 ,则 AC
° °

A. 4 3

B. 2 3

C.

3

D.

3 2

B

(2012 年高考广东卷第 16 小题)16. (本小题满分 12 分) 已知函数

f ( x) ? A cos(

. (1)求 A 的值; x ? x ? R ,且 ? ? ), f( )? 2 4 6 3

(2)设 ? , ? ? [0,

?
2

], f (4? ?

4? 30 2? 8 ) ? ? , f (4? ? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 3 17 3 5

年高考数学广东卷首发于数学驿站:www.maths168.com)

? 1 ? ? f ( ) ? A cos( ? ? )????????????????1分 3 4 3 6 ? 2 ? 2 ????????????????3分 解: ? A cos ? A ? 4 2 ? A ? 2??????????????????????? 4分
-2-

4 f ( 4? ? ? ) 3 1 4 ? ? 2 cos[ ( 4? ? ? ) ? ] 4 3 6 ? 2 cos(? ?

?

2

) ???????????????5分 30 ??????????????? 6分 17

? ?2 sin ? ? ? ? sin ? ?

15 ??????????????? 7分 17

2 f (4? ? ? ) 3 1 2 ? ? 2 cos[ ( 4 ? ? ? ) ? ] 4 3 6 8 ? 2 cos ? ? 5 4 ? cos ? ? ???????????????????????8分 5 由于?,? ? [0,

?

2

], 15 2 8 ) ? ???????????????9分 17 17

cos? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? (
(2) :

4 3 sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ? ( ) 2 ? ???????????????10分 5 5 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ???????????????11分 8 4 15 3 ? ? ? ? 17 5 17 5 13 ? ? ???????????????????????????12分 85
已知函数 f ( x) ? 2sin( x ?

(2011 年高考广东卷第 16 小题) (1) (2) 求 f (0) 的值; 设 ? , ? ? [0,

1 3

?
6

), x ? R

?

? 10 6 ], f (3? ? ) ? , f (3? ? 2? ) ? , 求 sin(? ? ? )的值. 2 2 13 5
? ? ?? ? ? ?2sin 6 ? ?1 ; ? 6?

16. (本小题满分 12 分) 解: (1) f (0) ? 2sin ? ?

(2)?

10 ?? ?1 ? ?? ?? ? ? f ? 3? ? ? ? 2sin ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 2sin ? , 13 2? 2? 6? ? ?3 ?

6 ?? ?? ?1 ? ? f (3? ? 2? ) ? 2sin ? ? (3? ? 2? ) ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2cos ? , 5 6? 2? ?3 ?
? sin ? ? 5 3 , cos ? ? , 13 5

-3-

12 ?5? ? cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? , 13 ? 13 ?
2

2

4 ?3? sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? , 5 ?5?
2

2

故 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? (2010 年高考广东卷第 13 小题)

5 3 12 4 63 ? ? ? ? . 13 5 13 5 65 1 2

.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B, 所对的边, a=1,b= 3 , C 若 A+C=2B,则 sinA= (2010 年高考广东卷第 16 小题) 设函数 f ? x ? ? 3sin ? ? x ?

.

? ?

??

? ? , ?>0 , x? ? ??, ??? ,且以 2 为最小正周期. 6?
?? ? ? 9 ? ? ? ,求 sin ? 的值.w_w*w ? 4 12 ? 5

(1) 求 f ? 0 ? ;w(2)求 f ? x ? 的解析式; (3)已知 f ? 16.解: (1)由已知可得: f (0) ? 3 sin (2)∵ f (x) 的周期为

?

? ? ? ? ,即 ∴? ? 4 故 f ( x) ? 3 sin( 4 x ? ) ? 2 6 2 a ? a ? ? ? (3)∵ f ( ? ) ? 3 sin[ 4 ? ( ? ) ? ] ? 3 sin( a ? ) ? 3 cos a 4 12 4 12 6 2 9 3 ∴由已知得: 3 cos a ? 即 cos a ? 5 5
∴ sin a ? ? 1 ? cos a ? ? 1 ? ( ) ? ?
2 2

6 2?

?

3 2

3 5

4 4 4 故 sin a 的值为 或 ? 5 5 5

(2009 年高考广东卷第 7 小题)已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a,b,c 若 a=c= 6 ? 2 且

?A ? 75o ,则 b= A.2

B.4+ 2 3
0 0

C.4— 2 3
0 0

D. 6 ? 2
0 0 0

【答案】A 【解析】 sin A ? sin 75 ? sin(30 ? 45 ) ? sin 30 cos 45 ? sin 45 cos30 ? 由 a=c= 6 ? 2 可知, ?C ? 75 ,所以 ?B ? 30 , sin B ?
0 0

2? 6 4

1 2

由正弦定理得 b ?

a ? sin B ? sin A

2? 6 1 ? ? 2 ,故选 A 2? 6 2 4
2

(2009 年高考广东卷第 8 小题)函数 y ? 2 cos ( x ? A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为

?
4

) ? 1是

B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2

-4-

【答案】A 【解析】因为 y ? 2cos 2 ( x ? (2009 年高考广东卷第 16 小题)

?

2? ?? ? ? ? ,所以选 A. ) ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x 为奇函数, T ? 2 4 2? ?

已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值 (2)若 5 cos(? ? ? ) ? 3 5 cos? , 0 ? ? ?

?
2

)

? ,求 cos ? 的值 2

【解析】 (1) Q a ? b ,? a g ? sin ? ? 2cos ? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? b 又∵ sin ? ? cos ? ? 1 ,
2 2 2 ∴ 4cos ? ? cos ? ? 1,即 cos ?
2

v

v

v v

1 4 2 ,∴ sin ? ? 5 5



? 2 5 5 , cos ? ? ? ? (0, ) ? sin ? ?
2 5 5

(2) ∵ 5cos(? ? ? ) ? 5(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos ?

?cos ? ? sin ? ,?cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? ,即 cos 2 ? ?
又 0 ?? ?

1 2

? 2 , ∴ cos ? ? w 2 2

2 (2008 年高考广东卷第 5 小题)已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin x , x ? R ,则 f ( x ) 是( D )

A. 最小正周期为π 的奇函数 C. 最小正周期为π 的偶函数

B. 最小正周期为π /2 的奇函数 D. 最小正周期为π /2 的偶函数

(2008 年高考广东卷第 16 小题)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? ? ) , x ? R 的最大值是 1,其图像

) 3 经过点 M (π /3, 1/2) 。 求 f ( x ) 的解析式; 已知 ? 、? ? (0, ? / 2) , f (? ?/5 (1) (2) 且
求 f (? ? ? ) 的值。 16.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )(a ? 0,0 ? ? ? ? ), x ? R 的最大值是 1,其图像经过点 M ( (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 ? , ? ? (0,

,f ( ? ) ? 12 /13 ,

? 1

3 12 ) ,且 f (? ) ? , f ( ? ) ? , 求 f (? ? ? ) 的值。 2 5 13 ? 1 ? 1 【解析】 (1)依题意有 A ? 1 ,则 f ( x) ? sin( x ? ? ) ,将点 M ( , ) 代入得 sin( ? ? ) ? ,而 0 ? ? ? ? , 3 2 3 2 ? 5 ? ? ? ? ? ? ? ,?? ? ,故 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x ; 3 6 2 2 32 4 12 2 5 3 12 ? (2)依题意有 cos ? ? , cos ? ? ,而 ? , ? ? (0, ) ,?sin ? ? 1 ? ( ) ? ,sin ? ? 1 ? ( ) ? , 5 13 2 5 5 13 13 3 12 4 5 56 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 。 5 13 5 13 65
-5-

?

, )。 3 2

(2007 年高考广东卷第 9 小题)已知简谐运动 f ( x) ? 2sin ? 动的最小正周期 T 和初相 ? 分别为( A ) A. T ? 6 , ? ?

π? ?π ?? 1) 则该简谐运 x ? ? ?? ? ? ? 的图象经过点 (0, , 2? ?3 ??

π 6 π 6

B. T ? 6 , ? ?

π 3 π 3

C. T ? 6π , ? ?

D. T ? 6π , ? ?

(2007 年高考广东卷第 16 小题)已知 △ ABC 三个顶点的直角坐标分别为 A(3, , B(0, , C (c, . 4) 0) 0) (1) 若 AB ? AC ? 0 ,求 c 的值; (2)若 c ? 5 ,求 sin ?A 的值. 16.解: (1)

??? ??? ? ?

? ?

??? ? ??? ? AB ? (?3, ?4) , AC ? (c ? 3, ?4) ? ? ?? ? ? ?? 25 A B? A C ? ( c 3 ) ? 1 6? 2 5 c ? 得 c ? ? 3 ? ? 3 0 3 ??? ???? ? ??? ? ??? ? A B? A C ?6 ? 1 6 ? ? AB ? (?3, ?4) AC ? (2, ?4) ? c o s A ? ??? ???? ? ? A B? A C 5 2 0
1 ? cos 2 ?A ? 2 5 5

(2)

?

1 5

?sin ?A ?
广州一模:

2012 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)
16. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? tan ? 3x ?

? ?

?? ?. 4?
(2)若 f ?

(1)求 f ?

??? ? 的值; ?9?

?? ?? ? ? ? 2 ,求 cos 2? 的值. ? 3 4?

3 4 ? 3 ? 1 ? ?2 ? 3 ; 16、 (1) f ( ) ? tan( ? ) ? 9 3 4 1 ? tan ? tan ? 1 ? 3 3 4 ? ? ? (2)因为 f ( ? ) ? 2 ,又 f ( x) ? tan(3 x ? ) ,所以 tan(? ? ? ) ? 2 即 tan ? ? 2 ,所以 3 4 4
sin ? ? ?
8 3 2 ,所以 cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ? ? 1 ? ? ? 5 5 5

?

?

?

tan

?

? tan

?

2011 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)
12. △ ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对边的 长分别为 a 、 b 、 c ,已知 c ? 3, C ?

?
3

, a ? 2b , 则 b 的值为

.

-6-

16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2sin x cos x ? cos 2x ( x ?R). (1) 求 f ? x ? 的最小正周期和最大值; (2) 若 ? 为锐角,且 f ? ? ? 12.

? ?

??

2 ,求 tan 2? 的值. ?? 8? 3

3
考查化归与转化的数学思想

16. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 方法和运算求解能力) (1) 解: f ? x ? ? 2sin x cos x ? cos 2x

? sin 2 x ? cos 2 x

?? 2 分 ?? 3 分

? 2 ? 2 ? 2? ? 2 sin 2 x ? 2 cos 2 x ? ? ? ?

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? . 4? ?
∴ f ? x ? 的最小正周期为 (2) 解:∵ f ? ? ?

?? 4 分

2? ? ? , 最大值为 2 . 2
∴ 2 sin ? 2? ?

?? 6 分

? ?

??

2 , ?? 8? 3
1 . 3

? ?

??

2 . ?? 2? 3

?? 7 分

∴ cos 2? ?

?? 8 分

∵ ? 为锐角,即 0 ? ? ?

?
2

,

∴ 0 ? 2? ? ? .

∴ sin 2? ? 1 ? cos 2? ?
2

2 2 . 3

?? 10 分

∴ tan 2? ?

sin 2? ?2 2. cos 2?

?? 12 分

2010 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)
4.已知 sin ? ? A. ?

3 ,则 cos 2? 的值为 5
D.

24 7 7 B. ? C. 25 25 25 ABC 中,三边 a 、 b 、 c 所对的角分别为 A 、 B 、 C , 13.在△
若 a ? b ? c ? 2ab ? 0 ,则角 C 的大小为
2 2 2

24 25



-7-

16. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? sin x cos ? ? cos x sin ? (其中 x ? R , 0 ? ? ? ? ) . (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)若点 ? 4.C 13.

?? ? ?? 1? , ? 在函数 y ? f ? 2 x ? ? 的图像上,求 ? 的值. 6? ? ? 6 2?

3? (或 135? ) 4

16. (本小题满分12分) (本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求 解能力) (1)解:∵ f ( x) ? sin ? x ? ? ? , ∴函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? . (2)解:∵函数 y ? f ? 2 x ?

? ?

??

? ? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? , 6? 6 ? ?

又点 ?

?? ? ?? 1? , ? 在函数 y ? f ? 2 x ? ? 的图像上, 6? ? ? 6 2?
? ?

∴ sin ? 2 ? 即 cos ? ?

?
6

?

?

? 1 ?? ? ? . 6 ? 2

1 . 2

∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? ?

?
3



2009 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)
1.函数 f ?x ? ? sin x cos x 的最小正周期为 A.

17. (本小题满分14分) 已知△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a ? 2, cos B ? (1) 若 b ? 4 , 求 sin A 的值; (2) 若△ ABC 的面积 S ?ABC ? 4, 求 b, c 的值. 1. B 17. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识,考查运算求解能力) 解: (1)∵ cos B ?

? 2

B. ?

C. 2?

D. 4?

3 . 5

3 ? 0, 且0 ? B ? ? , 5 4 2 ∴ sin B ? 1 ? cos B ? . 5
-8-

a b ? , sin A sin B 4 2? a sin B 5 ?2. ∴ sin A ? ? b 4 5 1 (2)∵ S ?ABC ? ac sin B ? 4, 2 1 4 ∴ ? 2? c ? ? 4. 2 5 ∴ c ? 5.
由正弦定理得 由余弦定理得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , ∴ b?

a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 2 2 ? 5 2 ? 2 ? 2 ? 5 ?

3 ? 17 . 5

2008 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)
2.已知 cos ? ? A. ?

24 25

3 ,则 cos 2? 的值为 5 7 B. ? 25

C.

7 25

D.

24 25

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x 的图象经过点 ? (1)求实数 a 和 b 的值; (2)当 x 为何值时, f ( x ) 取得最大值. 2. B 17. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查特殊角的三角函数、三角函数的性质等基础知识,考查运算求解能力) 解: (1)∵函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x 的图象经过点 ?

?? ? ?? ? , 0 ? 和 ? ,1? . ?3 ? ?2 ?

?? ? ?? ? , 0 ? 和 ? ,1? , ?3 ? ?2 ?

? ? ? ?a sin 3 ? b cos 3 ? 0, ? 3 a ? 1 b ? 0, ? ? ∴? 即? 2 2 ?a sin ? ? b cos ? ? 1. ?a ? 1. ? ? ? 2 2
解得 ?

? a ? 1, ? ?b ? ? 3. ?

(2)由(1)得 f ( x) ? sin x ? 3 cos x

?1 ? 3 ? 2 ? sin x ? cos x ? ?2 ? 2 ? ?

-9-

?? ? ? 2sin ? x ? ? . 3? ?
∴当 sin ? x ? 即 x ? 2 k? ?

? ?

??

? ? ? ? 1 ,即 x ? 3 ? 2k? ? 2 , 3?

5? (k ?Z) 时, f ( x) 取得最大值 2. 6

2007 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)
3. 函数 f ? x ? ? sin x ? cos x ? x ?R? 的最小正周期是 A.

? 2

B.

?

C. 2?

D. 3?

16.(本小题满分 12 分) 已知 sin ? ? 3. C 16. 本小题主要考查三角函数的诱导公式及和(差)角公式等基础知识,考查运算能力.满分 12 分. 解:

3 ? ?? , ? ? ? 0, ? ,求 tan ? 和 cos 2? 的值 5 ? 2?

? sin ? ?

3 ? ?? 且 ? ? ? 0, ? , 5 ? 2?
2 2

4 ?3? ? cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? . 5 ?5?
? tan ? ? sin ? 3 ? , cos ? 4
2

??4 分

??8 分

7 ?3? cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? . ? 5 ? 25

??12 分

广东省 10 大市 2013 届高三数学(文)一模试题分类汇编
一、选择、填空题 1、 (广州市 2013 届高三 3 月毕业班综合测试试题(一) )已知函数 f

? x?

?

2 sin 2 x ,为了得到函数

g ? x ? ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象,
只要将 y ? f

? x ? 的图象
B.向左平移

A.向右平移

? 个单位长度 4 ? 个单位长度 8

? 个单位长度 4 ? 个单位长度 8

C.向右平移 答案:D

D.向左平移

- 10 -

2、 (揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟)计算: log 1 sin15o ? log 1 cos15o =
2 2

答案:2 3、 (梅州市 2013 届高三 3 月总复习质检)函数 y ? sin( x ? 不变) ,右平移

?

? 个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为 3 ? ? A、 x ? ? B、 x ? ? 4 2 ? ? C、 x ? D、 x ? 8 4

1 ) 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标 6 2

答案:B 在Δ 内角 A, C 的对边分别是 a, c,若 B, b, 4、 (汕头市 2013 届高三 3 月教学质量测评) ABC 中, b
2

sin C ?2, sin A

-a

2

=

A.

1 2

3 ac,则 cosB=( ) 2 1 1 1 B. C. D. 3 4 5

答案:C

5、 (深圳市 2013 届高三 2 月第一次调研)下列函数中,最小正周期为
A. y = tan 答案:D

? 的是 2

x B. y = sin2x 2

C . y = cos

x 4

D. y = cos 4 x

6、 (肇庆市 2013 届高三 3 月第一次模拟)△ABC 中, AB ? 3, BC ? 13, AC ? 4 ,则△ABC 的面积是

A.

3 2

B.

3 3 2

C. 3

D. 3 3

答案:D 7、 (佛山市 2013 届高三教学质量检测(一) )函数 y ? sin x ? sin ? x ? 是 .

? ?

??

? 的最小正周期为 3?

,最大值

答案: 2? (2 分) 3 (3 分) ,

? ? ?tan x, x ? 2010 8、茂名市 2013 届高三第一次高考模拟) ( 已知函数 f ( x) ? ? , f ? f2 则 (0 0 1 ) 3 ? x ? 2010, x ? 2010 ?
答案:0 9、 (湛江市 2013 届高三高考测试(一) )在△ABC 中,∠A= 的长为 A、1 答案:A
- 11 -

??



?
3

,AB=2,且△ABC 的面积为

3 ,则边 AC 2

B、 3

C、2

D、1

二、解答题 1、 (广州市 2013 届高三 3 月毕业班综合测试试题 (一) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? )

?
4

)(其中 x ? R ,A ? 0 ,

? ? 0 )的最大值为 2,最小正周期为 8 .
(1)求函数 f ( x) 的解析式;

(2)若函数 f ( x) 图象上的两点 P, Q 的横坐标依次为 2, 4 , O 为坐标原点,求 cos ? POQ 的值. (1)解:∵ f ( x) 的最大值为 2,且 A ? 0 , ∴ A? 2. ∵ f ( x) 的最小正周期为 8 , ∴T ? ?????1 分

2?

?

? 8 ,得 ? ?

?
4

.

?????3 分 ?????4 分

∴ f ( x) ? 2sin(

?

x? ). 4 4

?

(2)解法 1:∵ f (2) ? 2sin ?

? ?? ? ? ? ? ? 2 cos ? 2 , 4 ?2 4?

?????5 分

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 , 4? 4 ?
∴ P (2, 2), Q(4, ? 2) . ∴ OP ?

?????6 分

?????7 分 ?????10 分

6, PQ ? 2 3, OQ ? 3 2 .
OP ? OQ ? PQ
2 2 2

∴ cos ?POQ ?

2 OP OQ

?

? ? ?
2

6

? 3 2

? ?
2

? 2 3

?

2

2 6 ?3 2

?

3 .??12 分 3
?????5 分

解法 2:∵ f (2) ? 2sin ?

? ?? ? ? ? ? ? 2 cos ? 2 , 4 ?2 4?

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 , 4? 4 ?
∴ P (2, 2), Q(4, ? 2) . ∴ OP ? (2, 2), OQ ? (4, ? 2) .

?????6 分

?????8 分 ?????10 分

??? ?

????

??? ???? ? y ??? ???? ? OP ? OQ 6 3 ? ∴ cos ?POQ ? cos ? OP, OQ ?? ??? ???? ? . ?????12 分 ? 3 6 ?3 2 OP OQ
P

解法 3: ∵ f (2) ? 2sin ?

? ?? ? ? ? ? ? 2 cos ? 2 ,?????5 分 4 ?2 4?

Q1 O P1 Q x

- 12 -

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 ,?????6 分 4? 4 ?
∴ P (2, 2), Q(4, ? 2) . ?????7 分

作 PP ? x 轴, QQ1 ? x 轴,垂足分别为 P ,Q1 , 1 1 ∴ OP ?

6, OP ? 2, PP ? 2, OQ ? 3 2 , OQ1 ? 4, QQ1 ? 1 1

2 . ???8 分

设 ?POP ? ? ,?QOQ1 ? ? , 1 则 sin ? ?

3 6 1 2 2 ,cos ? ? ,sin ? ? ,cos ? ? . 3 3 3 3

?????10 分

∴ cos ?POQ ? cos

??

? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

3 .???12 分 3
2

2、 (江门市 2013 届高三 2 月高考模拟)已知函数 f ( x) ? 2 sin x ? cos x ? 2 cos x ? 1 , x ? R . ⑴求 f (x) 的最大值; ⑵若点 P(?3 , 4) 在角 ? 的终边上,求 f (? ? 解:⑴ f ( x) ? sin 2 x ? cos2 x ??2 分

?
8

) 的值

? 2 sin( 2 x ?

?
4

) ??5 分(其中, 2 ”1 分, “ “

? ”2 分) 4

所以 f (x) 的最大值为 2 ??6 分。 ⑵由⑴得 f (? ?

?
8

) ? 2 sin[ 2(? ?

?
8

)?

?
4

] ? 2 sin( 2? ?

?
2

) ??7 分

? 2 cos 2? ??8 分
3 P(?3 , 4) 在角 ? 的终边上, cos ? ? ? ??10 分(这 2 分与上面 2 分相互独立) 5
所以 f (? ?

?
8

) ? 2 2 cos 2 ? ? 2 ??11 分

??

7 2 ??12 分. 25

3、 (揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足

a c . ? sin A 3 cos C
(1)求角 C 的大小; (2)求 3 sin A ? cos B 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小 解: (1)由条件结合正弦定理得,

a c c ----2 分 ? ? sin A 3 cos C sin C

从而 sin C ? 3 cos C , tan C ? 3 ,-----------------------------------------------4 分
- 13 -

∵ 0 ? C ? ? ,∴ C ? (2)由(1)知 B ?

?
3

;--------------------------------------------------------------6 分

2? ? A -------------------------------------------------------------7 分 3 2? ∴ 3 sin A ? cos B ? 3 sin A ? cos( ? A) 3 2? 2? ? 3 sin A ? cos cos A ? sin sin A ------9 分 3 3
? 3 1 ? sin A ? cos A ? sin( A ? ) --------------10 分 2 2 6

∵0 ? A ? 当 A?

?
6

2? ? ? 5? ,∴ ? A ? ? 3 6 6 6

?

?

此时 A ?

?
3

2

时, 3 sin A ? sin( B ?

?
2

) 取得最大值,------------------------------11 分

,B ?

?
3

.-----------------------------------------------------------------------12 分

4、 (梅州市 2013 届高三 3 月总复习质检)已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,满足

3 sin C cos C ? cos 2 C ?
(1)求角 C

1 。 2
?

(2)若向量 m ? (1,sin A) 与 n ? (2,sin B) 共线,且 c=3,求 a、b 的值。

??

- 14 -

5、(汕头市 2013 届高三 3 月教学质量测评)已知函数.
f ( x) ? A sin(

?
3

x ? ? ), x ? R, A ? 0,0 ? ? ?

?
2

,y=f(x)的部分图像如图所示,点

是该图象上的一点, 和 第 一 个

P,Q 分别为该图像在 y 轴 右 侧 的 第 一 个 最 高 点
最 低 点 , 且 (1) (2)若 =1.

求 ?和 A的 值 ; , 求 的 値 .

( ) ( 6、 (深圳市 2013 届高三 2 月第一次调研)在平面直角坐标系 xOy 中, M sin 2 ? , 1 , N 1, ? 2cos2 ?) ? ? R ) ( ,

???? ???? ? 3 且 OM ? ON ? ? . 2
(1)求点 M , N 的坐标; (2)若角 ? , ? 的顶点都为坐标原点且始边都与 x 轴的非负半轴重合,终边分别经过点 M , N ,求 tan(? ? ? ) 的 值.

3 2 3 ? sin 2 ? ? 2 cos 2 ? ? ? , 2

解:(1) ? OM ? ON ? ? , ………………….2 分

???? ???? ?

3 ? sin 2 ? ? 2(1 ? sin 2 ? ) ? ? , 2 5 1 解得 sin 2 ? ? , cos 2 ? ? 6 6 5 1 所以 M ( ,1) , N (1, ? ) 3 6
- 15 -

………………….6 分

(2)由(1)可知 M ( ,1) , N (1, ? )

1 6

5 3

? tan ? ? 6 , tan ? ? ?
? tan(? ? ? ) ?

5 3

……………………………….10 分

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ?

?

6?

5 3

5 1 ? 6 ? (? ) 3

?

13 33

……………………………….12 分

7、 (肇庆市 2013 届高三 3 月第一次模拟)已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ? (1)求函数 f (x) 的最小正周期; (2)求函数 f (x) 在区间 [ ? 解: (1) f ( x) ? sin 2 x cos

?
3

) ? cos(2 x ?

?
6

) ? 2 cos 2 x ? 1 ,x∈R.

? ?

?

, ] 上的最大值和最小值. 4 4

3 ? sin 2 x ? cos 2 x

? cos 2 x sin

?

3

? cos 2 x cos

?

6

? sin 2 x sin

?
6

? cos 2 x (3 分)

(4 分) (5 分) (6 分)

? 2 sin( 2 x ?

?

4

) 2? ?? . 2

所以函数 f (x) 的最小正周期 T ? (2)因为 f (x) 在区间 [ ? 又 f (?

? ?

?

) ? ?1 , f ( ) ? 2 , f ( ) ? 1 , 4 8 4

?

, ] 上是增函数,在区间 [ , ] 上是减函数, (8 分) 4 8 8 4

? ?

?

(11 分)

故函数 f (x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最大值为 2 ,最小值为-1. (12 分) 4 4

8、 (佛山市 2013 届高三教学质量检测(一) )
? 如图,在△ ABC 中, ?C ? 45 , D 为 BC 中点, BC ? 2 .

A

记锐角 ?ADB ? ? .且满足 cos 2? ? ? (1)求 cos ? ; (2)求 BC 边上高的值. 解析: (1)∵ cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? ?
2

7 . 25

∵ ? ? (0,

?
2

7 9 C 2 ,∴ cos ? ? , D B 25 25 第 16 题图
-----------------5 分
2

) ,∴ cos ? ?

3 . 5

(2)方法一、由(1)得 sin ? ? 1 ? cos ? ? ∵ ?CAD ? ?ADB ? ?C ? ? ? 45 ,
?

4 , 5

∴ sin ?CAD ? sin(? ?

?
4

) ? sin ? cos

?
4

? cos ? sin

?
4

?

2 , 10

----------9 分

- 16 -

在 ?ACD 中,由正弦定理得:

CD AD ? , sin ?CAD sin ?C
A ----------11 分

CD ? sin ?C ? ∴ AD ? sin ?CAD

1?

2 2 ? 5, 2 10

4 ? 4. 5 方法二、如图,作 BC 边上的高为 AH
则高 h ? AD ? sin ?ADB ? 5 ? 在直角△ ADH 中,由(1)可得 cos ? ?

-----------------12 分 C D B
第 16 题图

H

DB 3 ? , AD 5

则不妨设 AD ? 5m, 则 DH ? 3m, AH ? 4m

---------8 分

? 注意到 ?C =45 ,则 ?AHC 为等腰直角三角形,所以 CD ? DH ? AH ,

则 1 ? 3m ? 4m 所以 m ? 1 ,即 AH ? 4 9、 (茂名市 2013 届高三第一次高考模拟) 如图所示,角 A 为钝角,且 cos A ?

----------10 分 ----------12 分

4 ,点 P 、 Q 分别在角 A 5

的两边上. (1)已知 AP =5,AQ =2,求 PQ 的长; (2) ?APQ ? ? , ?AQP ? ? , 且 cos ? ? 设

12 , 求n s i ( 13

2? ? ? ) 的值.

10、 (湛江市 2013 届高三高考测试(一) )已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 图所示。 (1)求函数 f(x)的表达式; (2)若 f (? ?

?
2

) 的部分图象如

1 ? ) ? (? ? (0, )) ,求 tan ? 的值。 12 3 2

?

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