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版高中数学第二章数列章末复习提升学案新人教A版必修5(数学教案)

第二章 数列 一、本章知识网络 二、知识要点归纳 1.数列的概念及表示方法 (1)定义:按照一定顺序排列的一列数. (2)表示方法:列表法、图象法、通项公式法和递推公式法. 1 (3)分类: 按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列; 按项与项之间的大小关系可分为递 增数列、递减数列、摆动数列和常数列. 2.求数列的通项 (1)数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系: ? ?S1,n=1, an=? ?Sn-Sn-1,n≥2. ? (2)当已知数列{an}中,满足 an+1-an=f(n),且 f(1)+f(2)+?+f(n)可求,则可用累加法 求数列的通项 an,常利用恒等式 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1)(n≥2). (3)当已知数列{an}中,满足 an+1 =f(n),且 f(1)·f(2)·?·f(n)可求,则可用累积法求数 an a2 a3 a1 a2 an (n≥2). an-1 列的通项 an,常利用恒等式 an=a1· · ·?· (4)作新数列法: 对由递推公式给出的数列, 经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项. (5)归纳、猜想、证明法. 3.等差、等比数列的性质 项目 等差数列 如果一个数列从第二项起, 第一项与它的前一项的差都 定义 等于同一个常数,那么这个 数列叫做等差数列,这个常 数叫做公差,常用字母 d 表 示 递推关系 等比数列 如果一个数列从第二项起,每 一项与它的前一项的比都等于 同一个常数,那么这个数列叫 做等比数列,这个常数叫做公 比,常用字母 q 表示 an+1-an=d an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d 若三个数 a,A,b 成等差数 an+1 =q an an=a1qn-1 an=amqn-m 若三个数 a,G,b 成等比数列, 这时 G 叫做 a 与 b 的等比中项, 且 G=± ab 通项公式 中项 列,这时 A 叫做 a 与 b 的等 差中项,且 A= a+b 2 n(a1+an) Sn= =na1+ 前 n 项和公式 2 q≠1 时, a1(1-qn) a1-anq Sn= = 1-q 1-q q=1 时,Sn=na1 n(n-1) d 2 2 定义法 中项法 判定方法 通项公式法 an+1-an 是同一个常数 an+an+2=2an+1 an=pn+q Sn 是不含常数项的二次函数 an+1 是同一个常数 an anan+2=a2 n+1 an=pqn Sn 中只有 qn 与常数项,且系数 互为相反数 Sn 的形式 下标性质 性质 m、n、p、q∈N*且 m+n=p+q am+an=ap+aq 成等差数列 am·an=ap·aq 成等比数列 Sm,S2m-Sm, S3m-S2m? 4.求数列的前 n 项和的基本方法 (1)公式法:利用等差数列或等比数列前 n 项和 Sn 公式; (2)分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列; (3)裂项(相消)法:有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项,只 剩有限项再求和; (4)错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和; (5)倒序相加:例如等差数列前 n 项和公式的推导; (6)并项求和法:适用于正负相间的数列. 三、题型探究 题型一 数列的实际应用 例 1 甲、乙两人连续 6 年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图所 示.甲调查表明:从第 1 年每个养鸡场出产 1 万只鸡上升到第 6 年平均每个鸡场出产 2 万只 鸡,乙调查表明:由第 1 年养鸡场个数 30 个减少到第 6 年 10 个. 请你根据提供的信息说明,求: (1)第 2 年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数; (2)到第 6 年这个县的养鸡业比第 1 年是扩大了还是缩小了?请说明理由; (3)哪一年的规模最大?请说明理由. 解 由题干图可知,从第 1 年到第 6 年平均每个养鸡场出产的鸡只数成等差数列,记为数列 3 {an},公差为 d1,且 a1=1,a6=2;从第 1 年到第 6 年的养鸡场个数也成等差数列,记为数 列{bn}, 公差为 d2, 且 b1=30, b6=10; 从第 1 年到第 6 年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}, 则 cn=anbn. (1)由 a1=1,a6=2,得? ?a1=1 ? ? ?a1=1, ?a1+5d1=2, ? ∴? ? ?d1=0.2 ? a2=1.2. ? ?b1=30, ?b1+5d2=10, ? 由 b1=30,b6=10,得? ?b1=30 ? ? ? b2=26. ? ?d2=-4 c2=a2b2=1.2×26=31.2. 所以第 2 年养鸡场的个数为 26 个,全县出产鸡的总只数是 31.2 万只. (2)c6=a6b6=2×10=20<c1=a1b1=30, 所以到第 6 年这个县的养鸡业比第 1 年缩小了. (3)∵an=1+(n-1)×0.2=0.2n+0.8, bn=30+(n-1)×(-4)=-4n+34(1≤n≤6), ∴cn=anbn=(0.2n+0.8)(-4n+34) =-0.8n +3.6n+27.2(1≤n≤6). 9 ∵对称轴为 n= ,所以当 n=2 时,cn 最大. 4 所以第 2 年的规模最大. 反思与感悟 解决与数列有关的应用题应注意以下几点: (1)题目中用到的数列是等差数列还是等比数列. (2)题目中要求的是数列的项还是和. (3)所用的数列的首项是哪个? (4)得出的结论是否符合实际. 跟踪训练 1 某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍,并且每年年底固定给 股东们分红 500 万元.该企业 2014 年年底分红后的资金为 1 000 万元. (1)求该企业 2018 年年底分红后的资金; (2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超

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