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高一数学必修一各章知识点总结(免费)


高 一 数 学 必 修
一、集合有关概念 1. 2. 集合的含义 集合的中元素的三个特性:

1 各 章 知 识 点 总 结

第一章 集合与函数概念

(1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1) 列举法:{a,b,c……} 2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn 图: 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 2 (3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x =-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意:

反之: 2. “相等”关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 2 实例:设 A={x|x -1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。AA

A B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,(2)A 与 B 是同一集合。 ; 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A / B 或 B / A

②真子集:如果 AB,且 A≠ B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A ③如果 AB, BC ,那么 AC ④ 如果 AB 同时 BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 有 n 个元素的集合,含有 2 个子集,2 个真子集 三、集合的运算 运算类 型 定 义 由所有属于 A 且属于 B 的元 素所组成的集合,叫做 A,B 的交集.记作 A ∩ B(读作 ‘ A 交 B ’ ,即 A ) 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集.记作:A ∪ B(读 作‘A 并 B’ ,即 A ) 交 集 并 集
n n-1

B(或 B

A)





设 S 是一个集合,A 是 S 的一个 子集, S 中所有不属于 A 的元 由 素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集) 记作 C S

∩ B=



B

{x|x ∈ A,且 x ∈ B} .

={x|x ∈ A,或 x ∈ B}).

A ,即

CSA=

{x | x ∈S, 且 A} x

第 1 页 共 9 页

韦 恩 图 示 性
A B

A

B

S A

图1
A ∩ A=A A ∩ Φ=Φ A ∩ B=B ∩ A A∩ BA A∩ BB

图2

A ∪ A=A A ∪ Φ=A A ∪ B=B ∪ A A∪ BA A∪ BB

(CuA)

∩ ∪

(CuB)

= Cu (A ∪ B) (CuA) (CuB)



= Cu(A ∩ B) A ∪ (CuA)=U A ∩ (CuA)= Φ.

例题: 1.下列四组对象,能构成集合的是 1.下列四组对象,能构成集合的是 下列四组对象





A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a,b,c }的真子集共有
2

个 .

3.若集合 M={y|y=x -2x+1,x ∈ R},N={x|x≥0},则 M 与 N 的关系是 4.设集合 A=

{x 1 < x < 2} ,B= {x x < a} ,若 A B,则 a 的取值范围是
人。 .

5.50 名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有 40 人,化学实验做得正确 得有 31 人, 两种实验都做错得有 4 人,则这两种实验都做对的有

6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合 M=
2 2 2 2

7.已知集合 A={x| x +2x-8=0}, B={x| x -5x+6=0}, C={x| x -mx+m -19=0}, 若 B∩C≠Φ,A ∩C=Φ,求 m 的值

二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中 的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做 函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数 的值域. 注意: 1.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有 意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关) ;②定义 域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法

第 2 页 共 9 页

(2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵 坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C 上每一点的坐标(x,y)均 反过来, 以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、 为坐标的点(x, , y y) 满足函数关系 y=f(x), 均在 C 上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示. 5.映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x, 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应, 那么就称对应 f: → B A 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f(对应关系) :A(原象) → B(象) ” 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1, x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x) 的单调增区间. 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么 就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严 格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下 降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 ○ 2 ○ 3 ○ 4 ○ 5 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 作差 f(x1)-f(x2); 变形(通常是因式分解和配方) ; 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) .

(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律: “同增异减” 注意: 函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成 其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质)

第 3 页 共 9 页

(1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函 数. (2) .奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇 函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1 ○首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 2 ○确定 f(-x)与 f(x)的关系; 3 ○作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数;若 f(- x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是 否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出 它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页) 1 ○ 2 ○ 3 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 利用图象求函数的最大(小)值 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:

如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); 例题: 1.求下列函数的定义域: ⑴

y=

x 2 2 x 15 x+3 3



y = 1 (

x 1 2 ) x +1
_

2.设函数 3.若函数

f ( x ) 的定义域为 [0,1] ,则函数 f ( x 2 ) 的定义域为_

f

( x + 1) 的定义域为 [ 2 , 3] ,则函数
,若

f

(2 x 1) 的定义域是

4.函数

x + 2( x ≤ 1) f ( x) = x 2 (1 < x < 2) 2 x( x ≥ 2)

f ( x ) = 3 ,则 x =

5.求下列函数的值域: ⑴ (3)

y = x2 + 2 x 3 ( x ∈ R)

⑵ (4)

y = x 2 + 2 x 3 x ∈ [1, 2]

y = x 1 2x

y = x2 + 4 x + 5

6.已知函数 7.已知函数

f ( x 1) = x 2 4 x ,求函数 f (x), f (2x+1) 的解析式

f (x)满足 2f (x) + f (x) =3x+4,则 f ( x) =



8.设 f (x 是 R 上的奇函数,且当 x ∈ [0, +∞ ) 时, )

f ( x) = x(1 + 3 x ) ,则当 x ∈ ( ∞, 0) 时

f (x) =

第 4 页 共 9 页

f (x)在 R 上的解析式为
9.求下列函数的单调区间: ⑴

y = x2 + 2x + 3



y = x2 + 2x + 3



y = x2 6 x 1

10.判断函数

y = x 3 + 1 的单调性并证明你的结论.
1+ x2 1 x2
判断它的奇偶性并且求证: f ( 1 ) = f ( x ) .

11.设函数

f ( x) =

x

第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果 ∈

x n = a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1,且 n

N

*



负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 当 n 是奇数时,
n

a n = a ,当 n 是偶数时, n

0 = 0。 a ( a ≥ 0) a n =| a |= a ( a < 0)
n

2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:

a
a

m n

= n a m (a > 0, m, n ∈ N * , n > 1)
= 1 a
r m n



m n

=

1
n

a

m

(a > 0, m, n ∈ N * , n > 1)

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1) a a
r s r

= a r+s
rs

(a > 0, r , s ∈ R) ; (a > 0, r , s ∈ R) ; (a > 0, r , s ∈ R) .

(2) (3)

(a ) = a

(ab) r = a r a s

(二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数

y = a x (a > 0, 且a ≠ 1) 叫做指数函数,其中 x

是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
6 6 5 5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递增 非奇非偶函数

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递减 非奇非偶函数

第 5 页 共 9 页

函数图象都过定点(0, 1)

函数图象都过定点(0, 1)

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: ( 1 ) 在 [a , b] 上 ,

f ( x ) = a x (a > 0且a ≠ 1)

值域是

[f (a ), f (b)]



[f (b), f (a )] ; (2)若 x ≠ 0 ,则 f ( x ) ≠ 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ∈ R ;
(3)对于指数函数 f ( x ) 二、对数函数 (一)对数 1. 对数的概念: 一般地, 如果 a 的对数,记作:
x

= a x (a > 0且a ≠ 1) ,总有 f (1) = a ; = N (a > 0, a ≠ 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N . ..
真数, log a

x = log a N ( a — 底数, N — 1 说明:○ 注意底数的限制 a > 0 ,且 a ≠ 1 ; x 2 ○ a = N log a N = x ;
3 ○ 1 ○ 2 ○ 注意对数的书写格式. 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; 自然对数:以无理数 e 两个重要对数:

N—

对数式)

log a N

= 2.71828 为底的对数的对数 ln N .

指数式与对数式的互化

幂值

真数

a b = N log a N =
底数 指数 (二)对数的运算性质 如果 a 对数

b

> 0 ,且 a ≠ 1 , M > 0 , N > 0 ,那么: 1 ○ log a ( M N ) = log a M + log a N ; M 2 = log a M - log a N ; ○ log a N n 3 ○ log a M = n log a M (n ∈ R ) .
注意:换底公式

log a b =

log c b log c a
bn =

(a

> 0 ,且 a ≠ 1 ; c > 0 ,且 c ≠ 1 ; b > 0 ) .

利用换底公式推导下面的结论 (1) log
m

a

1 n (2) log a b ; log a b = m log b a



(二)对数函数

第 6 页 共 9 页

1、对数函数的概念:函数

y = log a x(a > 0 ,且 a ≠ 1) 叫做对数函数,其中 x 是
= 2 log 2 x ,

自变量,函数的定义域是(0,+∞) . 都是形式定义, 注意辨别。 y 如: 注意: 1 对数函数的定义与指数函数类似, ○

y = log
2 ○

5

x 5

都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.

对数函数对底数的限制: ( a

> 0 ,且 a ≠ 1) .
0<a<1
3 2.5 2

2、对数函数的性质: a>1
3 2.5 2

1.5

1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

- 0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

- 1.5

-1.5

-2

-2

- 2.5

-2.5

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都过定点 (1,0) (三)幂函数 1、幂函数定义:一般地,形如

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点(1,0)

y = x α (a ∈ R ) 的函数称为幂函数,其中 α 为常数.

α > 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,+∞) 上是增函数.特别地, 当 α > 1 时,幂函数的图象下凸;当 0 < α < 1 时,幂函数的图象上凸; (3) α < 0 时,幂函数的图象在区间 (0, +∞ ) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从右 边趋向原点时, 图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴, x 趋于 + ∞ 时, 当 图象在 x 轴 上方无限地逼近 x 轴正半轴.
(2) 例题: 1. 已知 a>0,a 0,函数 y=a 与 y=loga(-x)的图象只能是
x

2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1) ;

(

)

2.计算: ①

log 3 2 = log 27 64
8

;② 2

4 + log 2 3

1

=

; 25 3

log 5 27 + 2 log 5 2

=

;

③ 0.064 1 ( 7 ) 0 + [(2) 3 ] 4 + 16 0.75 + 0.011 3 3 2

=

第 7 页 共 9 页

3.函数 y=log 1 (2x -3x+1)的递减区间为
2

2

4.若函数

f (x) = loga x(0 < a <1) 在区间 [a, 2a]上的最大值是最小值的 3 倍,则 a=

5.已知 f ( x) = log 1 + x (a > 0且a ≠ 1) , (1)求 a

1 x

f (x) 的定义域(2)求使

f (x) > 0 的

x 的取值范围

第三章 函数的应用

y = f ( x)( x ∈ D ) ,把使 f ( x) = 0 成立的实数 x 叫做函数 y = f ( x )( x ∈ D ) 的零点。 2、函数零点的意义:函数 y = f (x ) 的零点就是方程 f ( x ) = 0 实数根,亦即函数 y = f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。 即:方程 f ( x ) = 0 有实数根 函数 y = f (x ) 的图象与 x 轴有交点 函数 y = f (x) 有零点.
1、函数零点的概念:对于函数 3、函数零点的求法: 1 ○ (代数法)求方程 f ( x) = 0 的实数根; 2 对于不能用求根公式的方程, 可以将它与函数 y = f (x ) 的图象联系起来, ○ (几何法) 并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点:

一、方程的根与函数的零点

y = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) . 2 (1)△>0,方程 ax + bx + c = 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个
二次函数 交点,二次函数有两个零点. (2)△=0,方程 ax + bx + c = 0 有两相等实根,二次函数的图象与 交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
2

x 轴有一个

(3)△<0,方程 ax 函数无零点. 5.函数的模型

2

+ bx + c = 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次
收集数据

画散点图
不 符 合 实 际

选择函数模型

求函数模型

检验
第 8 页符合实际 共 9 页

用函数模型解释实际问题

第 9 页 共 9 页


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