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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆的标准方程课堂探究学案新人教B版选修2_1201711093110

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2.2.1 椭圆及其标准方程

课堂探究 探究一 利用椭圆的定义解题 椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),则点 M 的轨迹是椭圆; 反之,椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之和必为 2a.椭圆的定义能够对一些距离进行相互 转化,简化解题过程.因此,解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时,应首先 考虑是否能够利用椭圆的定义求解.
x2 y2 【典型例题 1】 设 F1,F2 为椭圆 9 + 4 =1 的两个焦点,P 为椭圆上的一点,PF1⊥PF2, 且|PF1|>|PF2|,求||PPFF12||的值. 思路分析:利用椭圆的定义,结合直角三角形的三边关系即可求出|PF1|,|PF2|的值. 解:因为 PF1⊥PF2,所以∠F1PF2 为直角,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2. 所以有???|PF1|2+|PF2|2=20,
??|PF1|+|PF2|=6, 解得|PF1|=4,|PF2|=2,所以||PPFF12||=2. 探究二 求椭圆的标准方程 解决求椭圆的标准方程问题主要是“定位”与“定量”:“定位”是要确定焦点位于哪 条坐标轴上,以判断方程的形式;“定量”是确定 a2,b2 的具体数值,常根据条件列方程(组) 求解. 【典型例题 2】 求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0); (2)焦点在 y 轴上,且经过点(0,2)和(1,0); (3)经过点 P(-2 3,1),Q( 3,-2). 思路分析:应用待定系数法求椭圆的标准方程,要注意“定位”与“定量”. 解:(1)因为椭圆的焦点在 x 轴上, 所以设它的标准方程为xa22+yb22=1(a>b>0). 所以 2a= (5+4)2+ (5-4)2=10.

1

所以 a=5,所以 a2=25.又 c=4, 所以 b2=a2-c2=25-16=9.
x2 y2 所以所求椭圆的标准方程为25+ 9 =1. (2)因为椭圆的焦点在 y 轴上,
y2 x2 所以设它的标准方程为a2+b2=1(a>b>0). 又椭圆经过点(0,2)和(1,0),

??4 0 a2+b2=1, 所以
?0 1 ??a2+b2=1

??a2=4, ? ???b2=1.

所以所求椭圆的标准方程为y42+x2=1. (3)设椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,且 m≠n), 因为点 P(-2 3,1),Q( 3,-2)在椭圆上, 所以?????13m2m++4nn= =11,.

??m=115, 解得???n=15.

x2 y2 所以所求椭圆的标准方程为15+ 5 =1. 点评:已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程时,把椭圆的方程设成 mx2+ny2=1(m>0, n>0,且 m≠n)的形式有两个优点:(1)列出的方程组中分母不含字母;(2)不用讨论焦点所 在的坐标轴. 探究三 求与椭圆有关的轨迹方程 求与椭圆有关的轨迹方程常用两种方法:(1)定义法,即依据条件确定动点满足的几何 等式,联想椭圆的定义来确定;(2)代入法,即当问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种 规律运动而形成的,可选用代入法求轨迹方程. 【典型例题 3】 如图,已知圆 A:(x+3)2+y2=100,圆 A 内一定点 B(3,0),圆 P 过点 B 且与圆 A 内切,求圆心 P 的轨迹方程.

2

思路分析:根据两圆内切的特点,得出|PA|+|PB|=10.由于点 A 的坐标为(-3,0),点

B 的坐标为(3,0),所以点 P 的轨迹方程是以 A,B 为焦点的椭圆的标准方程,这就把求点 P 的轨迹方程的问题转化成了求 a2,b2 的问题.

解:设|PB|=r.

因为圆 P 与圆 A 内切,圆 A 的半径为 10,

所以两圆的圆心距|PA|=10-r,

即|PA|+|PB|=10(大于|AB|).

所以点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆.

所以 2a=10,2c=|AB|=6,

所以 a=5,c=3.

所以 b2=a2-c2=25-9=16,

即点

P

x2 y2 的轨迹方程为25+16=1.

探究四 易错辨析

易错点 对椭圆的标准方程认识不清

x2

y2

【典型例题 4】 若方程5-k+k-3=1 表示椭圆,求 k 的取值范围.

错解:由?????5k- -k3> >00, , 得 3<k<5. 错因分析:错解中没有注意到椭圆方程中 a>b>0 这一条件,当 a=b 时,方程并不表 示椭圆. 正解:由题意,得

?? 5-k>0, ?k-3>0, ??5-k≠k-3

?? k<5, ??k>3,
??k≠4.

所以 k 的取值范围是 3<k<4 或 4<k<5.

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