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(导数,圆锥曲线,定积分练习)20131222高二理科数学练习

导数、定积分、圆锥曲线、立体几何 练习
20131222 一.选择题(每小题 5 分)
1.一质点受到平面上的三个力 F1 , F2 , F3(单位: 牛顿) 的作用而处于平衡状态. 已知 F1 ,F2 成 60 角,且 F1 , F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为( A. 6 B. 2 C. 2 5 D. 2 7
0



2.若 A ( x,5 ? x,2 x ? 1) ,B (1, x ? 2,2 ? x) ,当 A B 取最小值时, x 的值等于(

?



8 19 8 C. D. 7 14 7 ? ? ? ? 8 3.若向量 a ? (1, ? ,2), b ? (2,?1,2) ,且 a 与 b 的夹角余弦为 ,则 ? 等于( 9 2 2 A. 2 B. ? 2 C. ? 2 或 D. 2 或 ? 55 55 4.函数 y ? x ln x 的单调递减区间是( )
A. 19 B. ? A. e ,+∞) (
2 2



?1

B. (-∞, e )

?1

C. (0, e ) )

?1

D. e,+∞) (

5.过椭圆

x y ? ? 1 的焦点且垂直椭圆长轴的弦长为( 9 16 16 9 32 A. B. C. 3 2 3

D.9

6. 双曲线

x2 y2 6 ,则它的渐近线方程为( ? 2 ? 1 的离心率为 2 a b 2
B. y ? ?



A. y ? ?2 x

1 x 4

C. y ? ?

1 x 2

D. y ??

2 x 2

7、已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的 左 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , P 为 C 的 右 支 上 一 点 , 且 9 16
) C.48 D. 96

PF2 ? F1 F2 ,则 ?PF1 F2 的面积等于(
A. 24 B. 36
2

8、已知点 P 在抛物线 y ? 4 x 上移动,当 P 点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短时,P 的坐标为 ( ) B. ( ,1)

1 C. (2,2) D.(3,3) 2 9.命题“函数 y ? f ( x) ( x ? M ) 是偶函数”的否定是( )
A.(0,0)

A. ?x ? M , f (? x) ? f ( x) C. ?x ? M , f (? x) ? f ( x)

B. ?x ? M , D. ?x ? M ,

f ( ? x) ? f ( x) f ( ? x) ? f ( x)

10.如图, 正四面体 ABCD 的顶点 A ,B ,C 分别在两两垂直的三条射线 Ox ,Oy ,Oz 上, 则在下列命题中,错误的为( .. A. O ? ABC 是正三棱锥 B.直线 OB ∥平面 ACD C.直线 AD 与 OB 所成的角是 45 D.二面角 D ? OB ? A 为 45 二、填空题(每小题 5 分) 11、已知命题 p : ?x ? R , x ? 2ax ? a ? 0 .若命题 p 是假命题,则实
2
?
.



z

C D

?

O A

B y
x

数 a 的取值范围是
2

. (以区间表示)

12、 F1,F2 分别是双曲线 设

x y2 右焦点, 若双曲线上存在点 A , ?F1 AF2 ? 90? 使 ? 2 的左、 a2 b
?

且 AF1 ? 3 AF2 ,则双曲线的离心率为 13.过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线
2

段 AB 的长为 8,则 p ? ________________ 14.椭圆的焦点是 F1 ? ?3, 0 ? , F2 ? 3, 0 ? , P 为椭圆上一点,且 F1 F2 是 PF1 与 PF2 的等差中 项,则椭圆的方程为 15.已知 F1、F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点,P 为双曲线上的一点,若 4 b2

?F1PF2 ? 120? ,且 ?F1 PF2 的三边长成等差数列,则双曲线两条渐近线的斜率 ..
是 . 三、解答题(12 分*4+13 分+14 分) 16.在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,侧棱 PA ? 底面 ABCD , AB ? 3 ,

BC ? 1 , PA ? 2 , E 为 PD 的中点. (Ⅰ)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅱ)在侧面 PAB 内找一点 N ,使 NE ? 面 PAC ,并求出点 N 到 AB 和 AP 的距离.

17.圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与半径应怎样选取,才能使所用的材料最 省?

1 2 ax ? Inx . 2 (I)若函数 f ? x ? 的图像在点 ?1, f ?1? ? 处的切线与直线 x ? y ? 5 ? 0 平行,求实数 a 的值;
18.已知函数 f ? x ? ? (II)求函数 f ? x ? 的单调递增区间.

19. 已知椭圆 x +

y2 = 1(0 < b < 1) 的左焦点为 F (?c,0), c ? 0 , 右顶点分别为 A, C , 左、 b2 上顶点为 B ,过 F , B, C 作⊙P,其中圆心 P 的坐标为 (m, n) . y (Ⅰ) 分别用 b, c 表示 m、n ; B (Ⅱ) 当 m ? n ? 0 时,求椭圆离心率的范围; (Ⅲ)试探究:直线 AB 与⊙P 能否相切?证明你的结论.
2

C A F O P(m,n)

x

20.已知 f ( x) ? x 2 ? ax ? a (a ? 2, x ? R) , g ( x) ? e? x , ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 ? (x) 的单调区间; (Ⅱ)求 g ( x) 在点 (0,1) 处的切线与直线 x ? 1 及曲线 g ( x) 所围成的封闭图形的面积; (Ⅲ)是否存在实数 a ,使 ? (x) 的极大值为 3?若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明 理由.

0 21.在 Rt?ABC 中, ?ACB ? 90 , AC ? 2 3, BC ? 6 , P 是线段 AB 上的动点,将此

直角三角形沿 CP 折成直二面角 A - CP - B .如图. (Ⅰ)若翻折后直线 BP ? 平面 APC ,求 AP 的长; (Ⅱ)若 P 为 AB 中点,求翻折后直线 PA 与平面 ABC 所成角的正弦值; (Ⅲ)当 P 在线段 AB 上运动时,求翻折后 AB 的最短长度及此时点 P 的位置. A A P

?
B C

P

C

B

DCCCB (0,1)

参考答案 DCBBB(第 10 题利用补体思想较简便,即将正四面体放在正方体中考察)

10 2

2

x2 y 2 ? ?1 36 27

?

3 5 2

16.(1)

3 7 3 3 (2) N 点的坐标为 ( ,0,1) , N 点到 AB 和 AP 的距离分别为1, 14 6 6

17 解:设圆柱的高为 h,底半径为 R,则表面积 2 S=2π Rh+2π R 由 V=π R h,得 h ?
2



V ,则 ? R2 V 2 2V 2 S(R)= 2π R + 2π R = +2π R 2 ?R R 2V s?( R) ? ? 2 +4π R=0 R
V V ,从而 h= = 2? ? R2 4V V V =3 =2 3 ? ? V 2 ? (3 ) 2?

解得,R= 3

即 h=2R 因为 S(R)只有一个极值,所以它是最小值 答:当罐的高与底直径相等时,所用材料最省
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

18 解: (I) f ( x) ?

1 2 ax ? ln x( x ? 0) 2

f '( x) ? ax ?

1 ························································· x ··························································2 分

f '(1) ? a ? 1 依题意得 a ? 1 ? ?1, a ? ?2 ················································4 分 ···············································

1 ax 2 ? 1 (Ⅱ) f '( x) ? ax ? ? x x ····································· ? x ? 0,? f '( x) ? 0 等价于 ax 2 ? 1 ? 0 ····································· 6 分
①当 a ? 0 时 ax ? 1 ? 0 恒成立, ········································· ? f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ··········································8 分
2

②当 a ? 0 时,由 ax ? 1 ? 0 得
2

?a ?a ?x?? a a

? x ? 0,? 0 ? x ? ?

?a a

? f ( x) 的单调递增区间为 (0, ?

?a ] ·······································11 分 ······································ a 综上所述:当 a ? 0 时 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ;

当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间为 (0, ?

?a ···························· ] ·····························12 分 a

19.解:(1)设 F、B、C 的坐标分别为(-c, 0),(0, b),(1, 0),则 FC、BC 的中垂线分别为 1-c x= , 2

?x= 2 b 1 1 1-c y- = (x- ),联立方程组,解出 ? b -c 即 m= , n= 2 b 2 2 ?y= 2b
1-c
2

b2-c 2b

.

1-c b2-c (2) m+n= + >0,即 b-bc+b2-c>0,即 (1+b)(b-c)>0,∴b>c。 2 2b 从而 b2>c2,即有 a2>2c2,∴e2< 1 2 ,又 e>0,∴0<e< 。 2 2 b-

b2-c 2b b2+c (3)直线 AB 与⊙P 不能相切。由 kAB=b,kPB= = , 1-c b(c-1) 02 b2+c 如果直线 AB 与⊙P 相切,则 b· =-1,又 b2+c2=1, b(c-1) 解出 c=0 或 2,与 0<c<1 矛盾,所以直线 AB 与⊙P 不能相切。 20.解: (1)当 a ? 1时, ?( x) ? ( x2 ? x ? 1)e? x , ? '( x) ? e? x (? x 2 ? x) .…(1 分) ……(3 分) 当? '( x) ? 0时,0 ? x ? 1; 当? '( x) ? 0时, x ? 1或x ? 0. ∴ ?( x) 的单调递增区间为(0,1) ,单调递减区间为: (??,0) , (1, ??) . ……(4 分) (2)切线的斜率为 k ? g '(0) ? ?e? x |x ?0 ? ?1 , ∴ 切线方程为 y ? ? x ? 1 .……(6 分) 所求封闭图形面积为 1 1 1 1 1 S ? ? [e? x ? ( ? x ? 1)]dx ? ? (e? x ?x ? 1)dx ? (?e? x ? x 2 ? x) |1 ? ? . 0 0 0 2 2 e ……(8 分) (3) ? '( x) ? (2 x ? a)e? x ? e? x ( x 2 ? ax ? a) ? e? x [? x 2 ? (2 ? a) x] , ……(9 分) 令 ? '( x) ? 0, 得x ? 0或x ? 2 ? a . ……(10 分) ?( x) ? 0 ,则 ? (x) 在 R 上单调递减,不存在极大值,舍去; 若 a ? 2 ,? 若a ? 2 列表如下: x ? '( x) ? ( x) (-∞,0) - ↘ 0 0 极小 (0,2-a) + ↗ 2-a 0 极大 (2-a,+ ∞) - ↘ ……(12 分)

由表可知, ?( x)极大 ? ?(2 ? a) ? (4 ? a)ea ? 2 . 设 ? (a) ? (4 ? a)e

, ? '(a) ? (3 ? a)e ? 0 , ∴ ? (a)在(??,2) 上是增函数,……(13 分)
a ?2 a ?2

∴ ? (a) ? ? (2) ? 2 ? 3 ,即 (4 ? a)ea ?2 ? 3 ,

∴不存在实数 a,使 ?( x) 极大值为 3.

……(14 分)

21. (Ⅰ) 解: 由题设平面 ACP ^ 平面 BCP , 所以当 BP ^ CP 时, 就有 BP ^ 平面 APC , 即点 P 为斜边 AB 高线的垂足,此时 AP =

3;

(Ⅱ)当点 P 为 AB 中点时,可判定 D APC 为正三角形,如图,过 A 作 AE ^ CP 于 E 点, 则以 E 点为原点, EC 为 x 轴, EA 为 z 轴建立空间直角坐标系.

0 所 以 有 E( 0 , 0 , A ) , B(- 2 3,3, 0)

( 0 , 0 , 3 ) ,-P ( C

3 , 0 , 又 )由 相( 似 比 ,可 求 0 ) 3 0, 得 ; 0 ,

AB = (- 2 3,3, - 3) ,
n = ( x, y, z)
由 n ?AB

AC = ( 3,0, - 3) ,

设 平 面 ABC 的 法 向 量 为

0 , n ?AC

ì - 2 3x + 3 y - 3z = 0 ? 0得 ? í ? 3x + 0 y - 3z = 0 ? ?

令 z = 1 ,则得 n = ( 3,3,1)

设直线 PA 与平面 ABC 所成角为 a ,则 sin a = cos < PA, n > =

PA ×n 39 = PA n 13

(Ⅲ) .设 ? ACP

q ,则 ? BCP

900 - q ,所以 AE = 2 3 sin q, CE 2 = 2 3 cos q ,
2 2 2 0

BC 连结 BE ,在 D BEC 中, BE = CE + BC - 2CE 鬃 cos(90 - q)


AB 2 = AE 2 + EB 2 = 12sin 2 q + 12cos 2 q + 36 - 12 3 sin 2q = 48 - 12 3 sin 2q ,
0 当 sin 2q = 1 , q = 45 时,AB 的最小值为 48 - 12 3 , 即 此时点 P 为 AB 与 ?C 的

平分线的交点.


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