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2019-2020年高中数学竞赛辅导资料《二项式定理与多项式》

2019-2020 年高中数学竞赛辅导资料《二项式定理与多项式》

1.二项工定理

n

? (a ? b)n ?

C

k n

a

n

?k

b

k

(n

?

N*)

k ?0

2.二项展开式的通项

Tr ?1

?

C

r n

a

n?r

b

r

(0

?

r

?

n)

它是展开式的第

r+1

项.

3.二项式系数

4.二项式系数的性质 (1)

(2)

C

k n

?

C

k n?1

?

C

k ?1 n?1

(0

?

k

? n ?1).

n

(3)若 n 是偶数,有 Cn0

? Cn1

? ? ? Cn2

?

?

?

C n?1 n

? Cnn ,即中间一项的二项式系数最

大.

n?1

n?1

若 n 是奇数,有 Cn0 ? Cn1 ? ? ? Cn 2

? Cn 2

???

C n?1 n

?

Cnn

,即中项二项的二项式

系数相等且最大.

(4)

C

0 n

?

C

1 n

?

C

2 n

?

?

?

C

n n

?

2n.

(5)

C

0 n

?

C

2 n

?

C

4 n

??

?

C

1 n

?

C

3 n

? Cn5

???

2 n ?1.

(6) kCnk

? nCnk??11或Cnk

?

n k

C k ?1 n?1

.

(7)

C

k n

?

C

m k

?

C

m n

?

C k?m n?m

?

C C k ?m m

n

n?k ?m

(m

?

k

?

n).

(8)

C

n n

?

C

n n?1

?

?Cnn?2

?

?

?

C

n n?k

?

C

. n?1
n?k ?1

以上组合恒等式(是指组合数满足的恒等式)是证明一些较复杂的组合恒等式的基 本工具.(7)和(8)的证明将在后面给出. 5.证明组合恒等式的方法常用的有 (1)公式法,利用上述基本组合恒等式进行证明. (2)利用二项式定理,通过赋值法或构造法用二项式定理于解题中. (3)利用数学归纳法. (4)构造组合问题模型,将证明方法划归为组合应用问题的解决方法.

例题讲解
1.求的展开式中的常数项.

2.求的展开式里 x5 的系数.

3.已知数列满足 ai?1 ?ai?1? 2ai (i ? 1,2,3,?), 求证:对于任何自然数 n,

p(x)

?

a0

C

0 n

(1

?

x)n

?

a1C

1 n

x(1

?

x) n?1

?

a

2

C

2 n

x

2

(1

?

x) n?2

???

a

n?1C

n?1 n

x

n

?1

(1

?

x)

?

an

C

n n

x

n

是 x 的一次多项式或零次多项式.

4.已知

a,b

均为正整数,且 a

? b,sin?

?

2ab a2 ? b2

(其中0

??

?

? 2 ), An

?

(a 2

? b2)n

? sin n? ,

求证:对一切,An 均为整数.

5.已知为整数,P 为素数,求证: (x ? y)P ? x P ? y P (mod P) 6.若 ( 5 ? 2) 2r?1? m ? ? (r, m ? N*,0 ? ? ? 1) ,求证:

7.数列中,,求的末位数字是多少? 8.求 N=1988-1 的所有形如为自然数)的因子 d 之和.
9.设 x ? (15 ? 220 )19 ? (15 ? 220 )82 ,求数 x 的个位数字.
10.已知 a0 ? 0, a1 ? 1, an?1 ? 8an ? an?1 (n ? 1,2,?) 试问:在数列中是否有无穷多个能被
15 整除的项?证明你的结论.
课后练习

1.已知实数均不为 0,多项 f (x) ? ?x3 ? ?x2 ? ?x ? ? 的三根为,求
的值.

2.设 f (x) ? x4 ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ,其中为常数,如果 f (1) ? 1, f (2) ? 2, f (3) ? 3, 求的
值.
3.定义在实数集上的函数满足: f (x) ? xf (1? x) ? 1? x,求f (x).

4.证明:当

n=6m

时,

C

1 n

?

C

3 n

?

3

?

C

5 n

?3

?

C

5 n

?32

??

?

0.

5.设展开式为 a0 ? a1x ? a2 x 2 ? ? ? a2n x 2n ,求证:
6.求最小的正整数 n,使得的展开式经同类项合并后至少有 1996 项.
7.设,试求: (1)的展开式中所有项的系数和. (2)的展开式中奇次项的系数和.
8.证明:对任意的正整数 n,不等式 (2n ? 1)n ? (2n)n ? (2n ?1)n 成立.

例题答案:

1.解:由二项式定理得

(x ?1 ? 1 )7 ? [1 ? (x ? 1 )]7

x

x

?

C70

?

C71 (x

?

1) x

?

C72 (x

?

1)2 x

???

C7r

(x

?

1)r x

???

C77 (x

?

1)7 x



其中第项为 ②

在的展开式中,设第 k+1 项为常数项,记为

则 Tk ?1,

?

Crk

x

r?k

(

1 x

)k

? Crk x r?2k , (0 ? k

? r)



由③得 r-2k=0,即 r=2k,r 为偶数,再根据①、②知所求常数项为

C 70

?

C

2 7

C

1 7

?

C

4 7

C

2 7

? C76C63

?

393 .

评述:求某一项时用二项展开式的通项.

2. 解:因为 (1 ? 2x ? 3x 2 )6 ? (1 ? 3x)6 (1 ? x)6

?

[1

?

C

1 6

? 3x

?

C

2 6

? (3x)2

?

C63

? (3x)3

?

?

?

C

6 6

? (3x)6 ][1 ? C61 x

?

C

2 6

x

2

?

C

3 6

x

3

? C64 x 4

? C65 x5

? C66 x 6 ].

所以的展开式里

x5 的系数为1(?C65 )

?

3C

1 6

? C64

?

32 C62 (?C63 )

?

33

C

3 6

? C62

?

34

C 64

?

(?C

1 6

)

?

35

C65

?1

?

?168

.

评述:本题也可将化为用例 1 的作法可求得.

3. 分析:由是等差数列,则 ai ? ai?1 ? d ? a0 ? id (i ? 1,2,?), 从而可将表示成的表达式,

再化简即可.

解:因为 ai?1 ? ai?1 ? 2ai (i ? 1,2,3,?) 所以数列为等差数列,设其公差为 d

有 从而

P(x)

?

a0Cn0

(1 ?

x)n

?

(a0

?

d

)C

1 n

x(1

?

x) n?1

?

(a0

?

2d

)C

2 n

x

2

(1

?

x) n?2

???

(a0

?

nd

)C

n n

x

n

?

a

0

[C

0 n

(1

?

x) n

?

C

1 n

x(1

?

x) n?1

?

?

?

C

n n

x

n

]

?

d

[1?

C

1 n

x(1

?

x) n?1

?

2C

2 n

x

2

(1

?

x) n?2

???

nC

n n

x

n

],

由二项定理,知

C

0 n

(1

?

x)

n

? Cn1 x(1 ?

x) n?1

?

C

2 n

x

2

(1

?

x) n?2

? ? ? Cnn x n

? [(1 ?

x) ?

x]n

? 1,

又因为 kCnk

?

k ? n! k!(n ? k)!

?

n? (k

(n ?1)! ?1)![(n ?1) ? (k

? 1)]!

?

nCnk??11 ,

从而

C

1 n

x(1

?

x) n?1

?

2C

2 n

x

2

(1

?

x) n?2

???

nCnn x n

?

nx[(1 ?

x) n?1

?

C

1 n?1

x(1

?

x) n?2

?? ?

x n?1 ]

所以

当的一次多项式,当零次多项式.

4. 分析:由联想到复数棣莫佛定理,复数需要,然后分析 An 与复数的关系.

证明:因为 sin? ? 2ab ,且0 ? ? ? ? , a ? b,所以cos? ? 1 ? sin 2 ? ? a 2 ? b2 .

a2 ? b2

2

a2 ? b2

显然的虚部,由于

?

a2 (a2

? b2 ? b2

?

2ab a2 ? b2

i)n

?

(a 2

1 ? b2)n

(a 2

? b2

?

2abi)

?

(a 2

1 ? b2)n

(a

? bi)2n .

所 以 (a 2 ? b2 )n (c o sn? ? i s inn? ) ? (a ? bi)2n . 从 而 An ? (a 2 ? b2 )n sin n?为(a ? bi)2n 的 虚

部. 因为 a、b 为整数,根据二项式定理,的虚部当然也为整数,所以对一切,An 为整数.
评述:把 An 为与复数联系在一起是本题的关键.

5.

证明: (x ? y) P

?

xP

?

C

1 P

x

P?1

y

?

C

2 P

x

P?2

y

2

???

C

p ?1 P

xy

P

?1

?

yP

由于

C

r P

?

p( p ?1)?( p ? r ?1) (r r!

? 1,2,?, P ?1) 为整数,可从分子中约去

r!,又因为

P



素数,且,所以分子中的 P 不会红去,因此有所以

评述:将展开就与有联系,只要证明其余的数能被 P 整除是本题的关键. 6. 分析:由已知 m ? ? ? ( 5 ? 2) 2r?1 和(m ? ? )? ? 1 猜想,因此需要求出,即只需要证明
为正整数即可. 证明:首先证明,对固定为 r,满足条件的是惟一的.否则,设
? m2 ? ? 2[m1, m2 ? N*,?1,? 2 ?(0,1), m1 ? m2 ,?1 ? ? 2 ]

则 m1 ? m2 ? ?1 ??2 ? 0,而m1 ? m2 ? Z,?1 ??2 ? (?1,0) ? (0,1) 矛盾.所以满足条件的 m 和

是惟一的. 下面求.

因为 (

5 ? 2) 2r?1 ? (

5

?

2) 2r?1

?

C

0 2r

?1

(

5) 2r?1

?

C

1 2r

?1

(

5)2r

?2

?

C

2 2r

?1

(

5) 2r?1 ? 22 ? ? ? 22r?1

? [C20r?1 (

5) 2r?1

?

C

1 2r

?1

(

5)2r

?2

?

C

2 2r

?1

(

5) 2r?1 ? 22 ? ? ? 22r?1 ]

?

2[C

1 2r

?1

(

5)2r ? 2 ? C23r?1 (

5)2r?2 ? 23 ? ? ? 22r?1 ]

?

2[C

1 2r

?1

5

r

?2

?

C3 2r ?1

? 5r?1

?

23

???

C 5 2r?1 2r?1 2r ?1

?

22r?1 ] ?

N*

又因为 5 ? 2 ? (0,1), 从而( 5 ? 2)2r?1 ? (0,1)

所以 m

?

2(C

1 2r

?1

? 5r

? 2 ? C23r?1

? 5r?1

? 23

?

?

?

C 2r?1 2r ?1

? 5r

? 22r?1

?

22r?1 )

故 ( 5 ? 2)2r?1 ? (5 ? 4)2r?1 ? 1.

评述:猜想? ? ( 5 ? 2)2r?1, ( 5 ? 2)2r?1与( 5 ? 2)2r?1 进行运算是关键.
7. 分析:利用 n 取 1,2,3,…猜想的末位数字.
解:当 n=1 时,a1=3, a2 ? 3a1 ? 33 ? 27 ? 4? 6 ? 3

a3 ? 3a2 ? 327 ? 34?6?3 ? (34 )6 ? 33 ? (81)6 ? 33 ? (81)6 ? 27 ,因此的末位数字都是 7,
猜想, 现假设 n=k 时,
当 n=k+1 时, ak?1 ? 3ak ? 34m?3 ? (4 ? 1) 4m?3

?

C 4 0

4m?3

4m?3

? (?1)0

?

C1 4m?3

? 44m?2

? (?1)1

?

?

?

C

4m?2 4m?3

? 41

? (?1) 4m?2

?

C

4m?3 4m?3

? 40

? (?1) 4m?3

从而
于是 an?1 ? 3an ? 34m?3 ? (81)m ? 27. 故的末位数字是 7.
评述:猜想是关键. 8. 分析:寻求 N 中含 2 和 3 的最高幂次数,为此将 19 变为 20-1 和 18+1,然后用二项式 定理展开. 解:因为 N=1988-1=(20-1)88-1=(1-4×5)88-1
=- C818 ? 4 ? 5 ? C828 ? 42 ? 52 ? C838 ? 43 ? 53 ? ? ? C8887 ? 487 ? 587 ? C8888 ? 488 ? 588
? ?25 ? 55 ? 26 ? M ? 25 (2M ? 55) 其中 M 是整数.
上式表明,N 的素因数中 2 的最高次幂是 5. 又因为 N=(1+2×9)88-1
? C818 ? 2 ? 9 ? C828 ? 22 ? 92 ? ? ? C8888 ? 288 ? 988
=32×2×88+34·P=32×(2×88+9P)其中 P 为整数. 上式表明,N 的素因数中 3 的最高次幂是 2. 综上所述,可知,其中 Q 是正整数,不含因数 2 和 3. 因此,N 中所有形如的因数的和为(2+22+23+24+25)(3+32)=744. 9. 分析:直接求 x 的个位数字很困难,需将与 x 相关数联系,转化成研究其相关数.
解:令 y ? (15 ? 220 )19 ? (15 ? 220 )82 ,则x ? y ? [(15 ? 220 )19 ? (15 ? 220 )82 ]

? [(15 ? 220 )19 ? (15 ? 220 )82 ],由二项式定理知,对任意正整数 n.

(15 ? 220)n ? (15 ? 220)n ? 2(15n ? Cn2 ?15n?2 ? 220 ??) 为整数,且个位数字为零.

因此,x+y 是个位数字为零的整数.再对 y 估值,

因为 0 ? 15 ? 220 ?

5

? 5 ? 0.2 , 且 (15 ? 220 )88 ? (15 ? 220 )19 ,

15 ? 220 25

所以 0 ? y ? 2(15 ? 220 )19 ? 2 ? 0.219 ? 0.4. 故 x 的个位数字为 9.

评述:转化的思想很重要,当研究的问题遇到困难时,将其转化为可研究的问题. 10. 分析:先求出,再将表示成与 15 有关的表达式,便知是否有无穷多项能被 15 整除. 证明:在数列中有无穷多个能被 15 整除的项,下面证明之.

数列的特征方程为它的两个根为 x1 ? 4 ? 15 , x2 ? 4 ? 15 ,

所以 an ? A(4 ? 15)n ? B(4 ? 15)n (n=0,1,2,…)

由 a0

?

0, a1

? 1得A

?

2

1 15

,B

?

?

2

1 15

,

取,由二项式定理得

则 an

?

2

1 15

[(4 ?

15 )n ? (4 ?

15 )n ],

an

?

2

1 15

[2C

1 n

? 4n?1 ?

15

?

2C

3 n

?

4 n?3

?(

15 )3

???

2C

n?1 n

?

4

?(

15 )n?1 ]

n?2

?

C

1 n

? 4n?1

? Cn3

? 4n?3

?15

?

?

?

C

n n

? 4 ?15

2

?

C

1 2k

? 42k ?1

?

C

3 2k

? 42k?3

?

15

?

?

?

C 2k 2k

? 4 ?15k?1

?

C

1 2k

? 42k ?1

?

15(C

3 2k

? 42k?3

?

?

?

C

2k 2k

?1

? 4 ?15k?2 )

? 2k ? 42k?1 ? 15T (其中T为整数),

由上式知当 15|k,即 30|n 时,15|an,因此数列中有无穷多个能被 15 整除的项. 评述:在二项式定理中,经常在一起结合使用.

2019-2020 年高中数学竞赛辅导资料《函数方程》
许多函数方程的解决仅以初等数学为工具,解法富于技巧,对人类的智慧具有明显的挑 战 意味,因此,函数方程是数学竞赛中一种常见的题型。 1、确定函数的形式 尚无一般解法,需因题而异,其解是多样的:有无限多解的,有有限个解的,有可能无 解(如:方程无解)。 2、确定函数的性质 3、确定函数值 三、求函数的解析式 1、换元法 2、赋值法 四、研究函数的性质
例题讲解
1.设函数满足条件 3 f (x ?1) ? 2 f (1? x) ? 2x ,求。

2.设函数定义于实数集,且满足条件,求。 3.函数在处没有定义,但对所有非零实数有:,求。

4.求满足条件 x2 f (x) ? f (1 ? x) ? 2x ? x4 的。
5.设函数定义于实数集上,且,若对于任意实数、,都有:
f (m ? n) ? f (m) ? n(2m ? n ?1) ,求。

6.设函数定义于自然数集上,且,若对于任意自然数、,都有:f (x ? y) ? f (x) ? f ( y) ? xy ,
求。

7.设函数定义于上,且函数不恒为零,,若对于任意实数、,恒有:

f (x) ? f (y) ? 2 f ( x ? y) ? f ( x ? y ) 。

2

2

① 求证:

② 求证:

③ 求证:

8.对常数和任意,等式都成立,求证:函数是周期函数。

9.设函数定义于实数集上,函数不恒为零,且对于任意实数、,都有:
f (2x1) ? f (2x2 ) ? f (x1 ? x2 ) ? f (x1 ? x2 ) ,求证:。


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