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2009届深圳市第二实验学校高三模拟考试四


绝密★启用前

届高三数学模拟试卷四( 深圳市第二实验学校 2009 届高三数学模拟试卷四(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。用 2B 铅笔将考试科目、试卷类型填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域的 相应位置上, 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液。 4.考试结束后,监考人员将本试卷和答题卡一并收回。 参考公式: 参考公式: 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) .

如果事件 A 、 B 相互独立,那么 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) .

选择题( 第一部分 选择题(共 40 分)
在每小题给出的四个选项中,只有 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中 只有 选择题:本大题共8小题,每小题5 满分40分 在每小题给出的四个选项中 40 一项是符合题目要求的. 一项是符合题目要求的. 1.计算: A.2 2. 设函数

(2 + i )(1 i ) 2 =( 1 2i
B.-2

) C.2 i D.-2 i ) i=2, 开始

2 f ( x) = (1 2 x)10 , 则导函数 f ′(x ) 的展开式中 x 项的系数为 (

A.1440

B.-1440

C.-2880

D.2880 sum=0 ) sum=sum+i

3.“ a = 2 ”是“函数 f ( x) = x a 在区间 [2, +∞ ) 上为增函数”的( A.充分条件不必要 C.充要条件 4. ABC 中, ∠A = A. B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 , BC = 3 , AB =

π
3

i=i+2

6 ,则 ∠C = (
D.



π
6

B.

π
4

C.

3π 4


π
4



3π 4

i≥100?




5. 给出右面的程序框图,那么输出的数是( A.2450 B. 2550 C. 5050 D. 4900

输出 sum

结束

6. 函数 f ( x ) = ln x A. 0 个

1 的零点的个数是 ( x 1
C.2 个

) D.3 个

B. 1 个

7. 已知函数 f (x) 的定义域为 [2,+∞) 且 f ( 4) = f ( 2) = 1 ,

f ′( x)为f ( x) 的导函数,函数 y = f ′(x) 的图象如图所示. 则

a≥0 平面区域 b≥0 所围成的面积是 ( f ( 2a + b) < 1
A.2 B.4 C.5



D.8 第 7 题图

8. 在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数 f ( x ) 的图象恰 好通过 n( n ∈ N + ) 个整点,则称函数 f ( x) 为 n 阶整点函数。有下列函数: ① f ( x) = sin 2 x ; ② g ( x) = x 3 其中是一阶整点函数的是 ( A.①②③④ B.①③④ ) C.①④ D.④ ③ h( x) = ( ) ;
x

1 3

④ φ ( x) = ln x ,

非选择题( 第二部分 非选择题(共 110 分)
题是必做题, 13~ 题是选做题. 二、填空题:(本大题共 7 小题,其中 9~12 题是必做题, 13~15 题是选做题. 考生只能 填空题:(本大题共 小题, :( 从中选做两题,三题全做,计算前两题得分. 从中选做两题,三题全做,计算前两题得分.每小题 5 分,共 30 分。) 9.由曲线 y =

1 , x = 1, x = 2, y = 0 所围成的封闭图形的面积为 x

.

10.在平面直角坐标系 xOy 中已知△ABC 的顶点 A(-6,0) 和 C(6,0),顶点 B 在双曲线

x2 y2 sin A sin C = 1 的左支上,则 = 25 11 sin B

.

11. 如图, 将一个边长为 1 的正三角形的每条边三等分, 以中间一段为边向形外作正三角形, 并擦去中间一段,得图(2),如此继续下去,得图(3)……

试用 n 表示出第 n 个图形的边数 an = ____________ .

12.三位同学在研究函数 f (x) =

x (x∈R) 时,分别给出下面三个结论: 1+|x|

① 函数 f (x) 的值域为 (-1,1); ② 若 x1≠x2,则一定有 f (x1)≠f (x2); ③ 若规定 f1(x) = f (x),fn+1(x) = f [ fn(x)],则 fn(x) = 你认为上述三个结论中正确的个数有 ▲选做题:在下面三道题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分。 13.如图,圆 O 的割线 PBA 过圆心 O,弦 CD 交 PA 于点 F, 且△COF∽△PDF,PB = OA = 2,则 PF = . 14.极坐标系中,点 P (2 , 是 . C F O D B x * 对任意 n ∈ N 恒成立. 1+n|x|

π
6

) 到直线: l : ρ sin(θ ) = 1 的距离 6

π

A

P

15.不等式 | x + 1| | x 3| ≥ 2 的解集是

.

小题, 解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.) 解答题: 16.(本题满分 12 分) 在 ΔABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、b、c,且 cos A = (Ⅰ)求 sin
2

B+C + cos 2 A 的值;(Ⅱ)若 a = 3 ,求 bc 的最大值. 2

1 . 3

17.(本小题满分 12 分) 厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规 定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品. (Ⅰ) 若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8, 从中任意取出 4 件进行检验.求至少有 1 件是合格品的概率; (Ⅱ)若厂家发给商家 20 件产品,其中有 3 件不合格,按合同规定该商家从中任取 2 件, 都进行检验,只有 2 件都合格时才接收这批产品,否则拒收.求该商家可能检验出不 合格产品数 ξ 的分布列及期望 Eξ ,并求该商家拒收这批产品的概率.

18.(本题满分 14 分) 在三棱锥 S—ABC 中,△ABC 是边长为 4 的正三角形,平面 SAC⊥平面 ABC,SA=SC= 2 3 , M、N 分别为 AB、SB 的中点. (Ⅰ)证明:AC⊥SB; (Ⅱ)求二面角 N—CM—B 的正切值的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 CMN 的距离.

19.(本题满分 14 分) 设椭圆方程为 x +
2

y2 = 1 ,过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于点 A、B, O 是坐标原点, 4

点 P 满足 OP =

1 1 1 (OA + OB ) ,点 N 的坐标为 ( , ) ,当 l 绕点 M 旋转时,求: 2 2 2

(1)动点 P 的轨迹方程;(2) | NP | 的最小值与最大值.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = x 3 x . (1)求曲线 y = f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切线方程; (2) a > 0 , 设 如果过点 ( a,b) 可作曲线 y = f ( x) 的三条切线, 证明: a < b < f ( a ) .

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = x 2 4 ,设曲线 y = f ( x ) 在点 x0 , f ( x0 ) 处的切线与 x 轴的交 点为 ( x n +1 ,0) (n ∈ N * ) ,其中 x1 为正实数. (Ⅰ)用 x n 表示 x n +1 ; (Ⅱ)求证:对一切正整数 n, x n +1 ≤ x n 的充要条件是 x1 ≥2; (Ⅲ)若 x1 =4,记 a n = lg 公式.

(

)

xn + 2 ,证明:数列 {a n } 成等比数列,并求数列 {x n } 的通项 xn 2

深圳市第二实验学校 2009 届高三数学模拟试卷四(理科) 届高三数学模拟试卷四(理科)
参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.A 2. C 3. A 4. B 5.A 6. C 7.B 8.C 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. ln 2 13.3 10.

5 6

11. 3 × 4 15.

n 1

12. 3

14. 3 + 1

{x x ≥ 2}

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 16.解: (Ⅰ) sin

B+C 1 + cos 2 A = [1 cos( B + C )] + (2 cos 2 A 1) 2 2 1 1 1 2 1 2 = (1 + cos A) + ( 2 cos A 1) = (1 + ) + ( 1) = 2 2 3 9 9
2

(Ⅱ) ∵

b2 + c2 a2 1 = cos A = 2bc 3



2 bc = b 2 + c 2 a 2 ≥ 2bc a 2 , 3

又∵ a =

9 3 ∴ bc ≤ . 4 3 9 9 当且仅当 b=c= 时,bc= ,故 bc 的最大值是 . 2 4 4

17.本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算,考察随机事件的分布列,数学期望等, 考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力. 解:(Ⅰ)记“厂家任取 4 件产品检验,其中至少有 1 件是合格品”为事件 A 用对立事件 A 来算,有 P ( A ) = 1 P A = 1 0.2 = 0.9984
4

( )

(Ⅱ) ξ 可能的取值为 0,1, 2
2 1 1 C17 136 C3C17 C32 51 3 P (ξ = 0 ) = 2 = , P (ξ = 1) = = , P (ξ = 2 ) = 2 = 2 C20 190 C20 190 C20 190

ξ
P

0 136 190

1 51 190

2 3 190

Eξ = 0 ×

136 51 3 3 + 1× + 2× = 190 190 190 10

记“商家任取 2 件产品检验,都合格”为事件 B,则商家拒收这批产品的概率

P = 1 P ( B) = 1

136 27 = 190 95 27 . 95

所以商家拒收这批产品的概率为

18.本小题主要考查直线与直线,直线与平面,二面角,点到平面的距离等基础知识,考查 空间想象能力和逻辑推理能力. 解法一:(Ⅰ)取 AC 中点 D,连结 SD、DB.∵SA=SC,AB=BC, ∴AC⊥SD 且 AC⊥BD,∴AC⊥平面 SDB,又 SB 平面 SDB,∴AC⊥SB. (Ⅱ)∵AC⊥平面 SDB,AC 平面 ABC,∴平面 SDB⊥平面 ABC. 过 N 作 NE⊥BD 于 E,NE⊥平面 ABC,过 E 作 EF⊥CM 于 F,连结 NF, 则 NF⊥CM.∴∠NFE 为二面角 N-CM-B 的平面角. ∵平面 SAC⊥平面 ABC,SD⊥AC,∴SD⊥平面 ABC. 又∵NE⊥平面 ABC,∴NE∥SD.∵SN=NB,

1 12 4 = 2 ,且 ED=EB. 2 1 1 EN 在正△ABC 中, 由平几知识可求得 EF= MB= , Rt△NEF 中, 在 tan∠NFE= =2 2 , 4 2 EF
∴NE=

1 1 SD= 2 2

SA 2 AD 2 =

∴二面角 N—CM—B 的正切值的大小为 2 2 . (Ⅲ) Rt△NEF 中, 在 NF= EF + EN =
2 2

1 3 , CMB= BM S CM=2 3 . 2 1 1 设点 B 到平面 CMN 的距离为 h,∵VB-CMN=VN-CMB,NE⊥平面 CMB,∴ S△CMNh= S△CMBNE, 3 3
3 1 3 , △CMN= CM ∴S NF= 2 2 2
∴h=

S △CMB NE 4 2 4 2 = .即点 B 到平面 CMN 的距离为 . S △CMN 3 3

解法二:(Ⅰ)取 AC 中点 O,连结 OS、OB. ∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO 且 AC⊥BO. ∵平面 SAC⊥平面 ABC,平面 SAC∩平面 ABC=AC ∴SO⊥面 ABC,∴SO⊥BO. 如图所示建立空间直角坐标系 O-xyz. 则 A(2,0,0),B(0,2 3 ,0),C(-2,0,0), S(0,0,2 2 ),M(1, 3 ,0),N(0, 3 , 2 ). ∴ AC =(-4,0,0), SB =(0,2 3 ,2 2 ),∵ AC SB =(-4,0,0)(0, 2 3 ,2 2 )=0, ∴AC⊥SB. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 CM =(3, 3 ,0), MN =(-1,0, 2 ).设 n=(x,y,z)为平 面 CMN 的一个法向量,则 CM n=3x+ 3 y=0, MN n=-x+ 2 z=0, 取 z=1,则 x= 2 ,y=- 6 ,∴n=( 2 ,- 6 ,1),

又 OS =(0,0,2 2 )为平面 ABC 的一个法向量, ∴cos(n, OS )=

1 . | n | | OS | 3
=

n OS

∴二面角 N-CM-B 的正切值的大小为 2 2 . (Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)得 MB =(-1, 3 ,0),n=( 2 ,- 6 ,1)为平面 CMN 的一 个法向量,∴点 B 到平面 CMN 的距离 d=

| nMB | 4 2 = . 3 |n|

19.本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆方程和性质等基础知识,以及 轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. (1)解法一:直线 l 过点 M(0,1)设其斜率为 k,则 l 的方程为 y = kx + 1. 记 A( x1 , y1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ), 由题设可得点 A、B 的坐标 ( x1 , y1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) 是方程组

y = kx + 1 2 y2 =1 x + 4

① ②

的解.将①代入②并化简得, (4 + k 2 ) x 2 + 2kx 3 = 0 ,

2k x1 + x 2 = 4 + k 2 所以 y + y = 8 2 1 4+ k2
于是 OP =

x + x 2 y1 + y 2 1 k 4 (OA + OB) = ( 1 , )=( ). , 2 2 2 2 4+ k 4+ k2

k x = 4 + k 2 , 设点 P 的坐标为 ( x, y ), 则 消去参数 k 得 4 x 2 + y 2 y = 0 y = 4 . 4+ k2
当 k 不存在时,A、B 中点为坐标原点(0,0),也满足方程③, 所以点 P 的轨迹方程为 4 x 2 + y 2 y = 0. 解法二:设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,因 A( x1 , y1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) 在椭圆上,所以



y12 x + = 1, 4
2 1



2 y2 x + = 1. 4 2 2



④—⑤得 x1 x 2 +
2 2

1 2 2 ( y1 y 2 ) = 0 ,所以 4

1 ( x1 x 2 )( x1 + x 2 ) + ( y1 y 2 )( y1 + y 2 ) = 0. 4
当 x1 ≠ x 2 时,有 x1 + x 2 +

y y2 1 ( y1 + y 2 ) 1 = 0. 4 x1 x 2



x1 + x2 , x = 2 y + y2 并且 y = 1 , 2 y 1 y1 y2 x = x x . 1 2



将⑦代入⑥并整理得 4 x + y y = 0.
2 2



当 x1 = x 2 时,点 A、B 的坐标为(0,2)、(0,-2),这时点 P 的坐标为(0,0)

1 ( y )2 x 2 = 1. 也满足⑧,所以点 P 的轨迹方程为 + 1 1 16 4 1 1 1 2 (2)解:由点 P 的轨迹方程知 x ≤ , 即 ≤ x ≤ . 所以 16 4 4 1 2 1 2 1 2 1 1 7 | NP | 2 = ( x ) + ( y ) = ( x ) + 4 x 2 = 3( x + ) 2 + 2 2 2 4 6 12 1 1 1 故当 x = , | NP | 取得最小值,最小值为 ;当x = 时, | NP | 取得最大值, 4 4 6
2

最大值为

21 . 6

20. 解:(1)求函数 f ( x ) 的导数; f ′( x ) = 3 x 2 1 . 曲线 y = f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切线方程为: y f (t ) = f ′(t )( x t ) , 即

y = (3t 2 1) x 2t 3 .

(2)如果有一条切线过点 ( a,b) ,则存在 t ,使 b = (3t 2 1) a 2t 3 . 于是,若过点 ( a,b) 可作曲线 y = f ( x) 的三条切线,则方程 2t 3at + a + b = 0
3 2

有三个相异的实数根. 记 则

g (t ) = 2t 3 3at 2 + a + b , g ′(t ) = 6t 2 6at = 6t (t a ) .

当 t 变化时, g (t ),g ′(t ) 变化情况如下表:

t
g ′(t ) g (t )

(∞, 0)

0 0 极大值 a + b

(0,a )

a
0 极小值 b f ( a )

(a, ∞) +

+





+


由 g (t ) 的单调性,当极大值 a + b < 0 或极小值 b f ( a ) > 0 时,方程 g (t ) = 0 最多有 一个实数根; 当 a + b = 0 时,解方程 g (t ) = 0 得 t = 0,t = 数根; 当 b f ( a ) = 0 时,解方程 g (t ) = 0 得 t = ,t = a ,即方程 g (t ) = 0 只有两个相异 的实数根. 综上,如果过 ( a,b) 可作曲线 y = f ( x) 三条切线,即 g (t ) = 0 有三个相异的实数根,

3a ,即方程 g (t ) = 0 只有两个相异的实 2

a 2



a + b > 0, 即 b f (a ) < 0.

a < b < f (a) .
'

21. 解:(Ⅰ) 由题可得 f

( x) = 2x

所以过曲线上点 x0 , f ( x0 ) 的切线方程为 y f ( xn ) = f 即 y ( xn 4 ) = 2 xn ( x xn )

(

)

'

( xn )( x xn ) ,

令 y = 0 ,得 xn 2 4 = 2 xn ( xn +1 xn ) ,即 xn + 4 = 2 xn xn +1
2

(

)

显然 xn ≠ 0 ∴ xn +1 =

xn 2 + 2 xn

(Ⅱ)证明:(必要性) 若对一切正整数 n, xn +1 ≤ xn , x2 ≤ x1 , 则 即

x1 2 + ≤ x1 , x1 > 0 , x12 ≥ 4 , 而 ∴ 即有 x1 ≥ 2 2 x1

(充分性)若 x1 ≥ 2 > 0 ,由 xn +1 =

xn 2 + 2 xn

用数学归纳法易得 xn > 0 ,从而 xn +1 = 又 x1 ≥ 2 ∴ xn ≥ 2 ( n ≥ 2 )

xn 2 x 2 + ≥ 2 n = 2 ( n ≥ 1) ,即 xn ≥ 2 ( n ≥ 2 ) 2 xn 2 xn

于是 xn +1 xn =

xn 2 4 xn 2 ( 2 xn )( 2 + xn ) + xn = = ≤ 0, 2 xn 2 xn 2 xn

即 xn +1 ≤ xn 对一切正整数 n 成立

x ( xn + 2 ) ,同理, x 2 = ( xn 2 ) 2 (Ⅲ)由 xn +1 = n + ,知 xn +1 + 2 = n +1 2 xn 2 xn 2 xn
2

2

x + 2 xn + 2 = 故 n +1 xn +1 2 xn 2

2

从而 lg

xn +1 + 2 x +2 = 2 lg n ,即 an +1 = 2an xn +1 2 xn 2
n 1

所以,数列 {an } 成等比数列,故 an = 2

a1 = 2n 1 lg

x1 + 2 = 2n 1 lg 3 , x1 2

2 ( 32 n 1 + 1) xn + 2 xn + 2 n 1 2 n 1 即 lg = 2 lg 3 ,从而 = 3 ,所以 xn = 2 n 1 . xn 2 xn 2 3 1


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