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浙江省丽水市2013届高三高考第一次模拟测试数学理试题


浙江省丽水市 2013 届高三高考第一次模拟测试
数学(理科)试题卷
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答.答题前,请在答题卷上填写学校、班级、 考号、姓名; 2.本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 6 页,全卷满分 150 分,考 试时间 120 分钟. 参考公式: 果事件 A,B 互斥,那么 P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) . 球的表面积公式 S ? 4?R 2 ,其中 R 表示球的半径. 球的体积公式 V ? 表示柱体的高.

4 3 ?R ,其中 R 表示球的半径.柱体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 表示柱体的底面积,h 3

第Ⅰ 卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) (1)已知集合 A ? {x x ? 1 , B ? {x ? 1 ? x ? 2} ,则 A ? B = } (A) {x ? 1 ? x ? 2} } (B) {x x ? ?1 } (C) {x ? 1 ? x ? 1 } (D) {x 1 ? x ? 2}

(2)已知复数 z 满足 z ? i ? 2 ? i , i 为虚数单位,则 z (A) ?1 ? 2i (C) 1 ? 2i (A) 10 (C) 100 (B) (D)

?
开始 S=0 i =1 是 i > 100 否 输出 S S=S+2 i =2i+1

?1 ? 2i
1 ? 2i

(3)某程序框图如右图所示,该程序运行后输出 S 的值是 (B) 12 (D) 102

? 2 x ? y ? 0, ? (4)已知实数 x, y 满足不等式组 ? x ? 2 y ? 0, ?3 x ? y ? 5 ? 0, ?
则 2 x ? y 的最大值是 (A) 0 (B) 3 (C) 4 (D) 5
·1·

结束

(第 3 题)

(5) 2 “

a

? 2b ”是 “ log2 a ? log 2 b ”的
(B) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

(A) 充分不必要条件 (C) 充要条件 (6)若 ( x ?

1 7 ) 展开式中含 x 的项的系数为 280,则 a = ax 1 1 (A) ? 2 (B) 2 (C) ? (D) 2 2 (7)设 m, n 为两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列结论成立的是
(A)

m // n 且 m // ? ,则 n // ?

(B) m ? n 且 m ? ? ,则 n // ? (D) m // n 且 m ? ? ,则 n ? ?

(C) m ? n 且 m // ? ,则 n ? ?

(8)设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将这 5 个球随机放 入这 5 个盒子内, 要求每个盒子内放一个球, “恰有两个球的编号与盒子的编号相同” 记 为事件 A , 则事件 A 发生的概率为 (A)

1 6

(B)

1 4

(C)

1 3

(D)

1 2

(9)离心率为 e1 的椭圆与离心率为 e2 的双曲线有相同的焦点,且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点 到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等比数列,则

e12 ? 1 ? 2 e2 ? 1
(D) ?

(A) ? e1

(B) ? e2

(C) ?

1 e1

1 e2

(10)定义在 (0,??) 上的函数 f (x) 满足: f (2 x) ? 2 f ( x) ,且当 x ? (1,2] 时, f ( x) ? 2 ? x , 若 x1 , x2 是方程 f (x) ? a(0 ? a ? 1) 的两个实数根,则 x1 ? x2 不可能是 ... (A)24 (D)120 (B)72 ( C ) 96
2 2 2 1.5 3

第Ⅱ 卷
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) (11)已知 sin 2? ?

1.5 .
正视图 侧视图

6 ? sin ? , ? ? (0, ) ,则 tan ? ? 5 2
.

2
2 2 俯视图

(12)某几何体的三视图如图所示,则该几何体 的体积为

(第 12 题)
·2·

(13)若函数 f ( x) ? ? 则a ?

? x 2 ? x, x ? 0, ? 是奇函数, 2 ?ax ? x, x ? 0, ?
.

(14)已知数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,其前 n 项和

S n ? n 2 ? an (n ? N *) ,则 a9 ?

.

(15)有甲、乙、丙三位同学,投篮命中的概率如下表: 同学 概率 甲 0.5 乙 丙

a

a
7 ,则 a = 6
.
y C

现请三位同学各投篮一次,设 ? 表示命中的次数,若 E ? =
2 2

.

(16)若正数 a,b 满足 2a ? b ? 1 ,则 4a ? b ? ab 的最大值为 (17) 如图, 已知圆 M :( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 , 四边形 ABCD 为圆 M 的内接正方形, E 为边 AB 的中点,当正方形

D F M B A O E x

ABCD 绕圆心 M 转动,同时点 F 在边 AD 上运动时,

ME ? OF 的最大值是

.

(第 17 题)

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ( 18 )( 本 题 满 分 14 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c, 满 足: c cos B ? b cos C ? 4a cos A . (Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)若 AB ? AC ? b ? c ,求 ?ABC 的面积 S 的最小值.

·3·

( 19 ) 本 题 满 分 14 分 ) 在 等 比 数 列 {an } 中 , 已 知 a1 ? 3 , 公 比 q ? 1 , 等 差 数 列 {bn } 满 足 (

b1 ? a1 b4 ? a, b1 3? a.3 , 2
(Ⅰ)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)记 cn ? (?1) n bn ? an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn .

(20) (本题满分 15 分)已知四边形 ABEF 是矩形,?ABC 是等腰三角形,平面 ABEF ? 平面 ABC ,

?BAC ? 120°, AB ?

1 AF ? 4 , CN ? 3 NA , M,P,Q 分别是 AF ,EF , 的中点. BC 2

(Ⅰ)求证:直线 PQ // 平面 BMN ; (Ⅱ)在线段 AB 上是否存在点 R , 使得平面 PQR ? 平面 BMN ?若 存在,求出 AR 的长;若不存在, 请说明理由.

·4·

(21) (本题满分 15 分) 已知中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上的椭圆过点 P (2, 且它的离心率 e ? 3), (Ⅰ)求椭圆的标准方程;

1 . 2

(Ⅱ)与圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1相切的直线 l:y ? kx ? t 交椭圆于 M,N 两点,若椭圆上一点 C 满足

OM ? ON ? ?OC ,求实数 ? 的取值范围.

(22) (本题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ?

1 x(1 ? ae ? 2 x ? 2 ) . 2 1 1 (Ⅰ)若 a ? 1, g ( x) ? f ?( x) ,求证:当 x ? 时, 0 ? g ( x) ? ; 记 2 2
(Ⅱ)若 x1 , x2 是函数 f (x) 的两个极值点,且 x1 ? 1 ? x2 ,若 f ( xi ) ? 取值范围.(注: e 是自然对数的底数.)

4 ( i ? 1,2 ) ,求实数 a 的 3

·5·

丽水市 2012 年高考第一次模拟测试
数学(理科)参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1-5: DABCB 6-10: CDAAB 二、填空题(每小题 4 分,共 28 分)

4 3 1 (15) 3
(11)

(12) 108 ? 3? (16)

(13) ? 1 (17) 8

(14)

1 45

17 16

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.) (18)解:(Ⅰ) 由题意得: sin C cos B ? sin B cos C ? 4 sin A cos A

sin(B ? C ) ? 4 sin A cos A

sin A ? 4 sin A cos A

? s i nA ? 0

? c o sA ?

1 ┈┈6 分 4

(Ⅱ) 因为 AB ? AC ? bc cos A ? 所以

1 bc 4

1 bc ? b ? c ? 2 bc 4

bc ? 64 ,又 sin A ?

15 4

1 1 15 S ? bc sin A ? ? 64 ? ? 8 15 2 2 4
当且仅当 b ? c 时, S min ? 8 15 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 14 分 (19)解:(Ⅰ) 设等比数列 ? a n ?的公比为 q ,等差数列 ?bn ?的公差为 d . 由已知得: a2 ? 3 q , a3 ? 3 q 2 ,

b1 ? 3, b4 ? 3 ? 2d , b13 ? 3 ? 12d

?3q ? 3 ? 3d ?q ? 1 ? d ?? 2 ? q ? 3 或 q ? 1 (舍去) ? 2 ?3q ? 3 ? 12d ?q ? 1 ? 4d
所以, 此时 d ? 2 所以, an ? 3n ,

bn ? 2n ? 1

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6 分

(Ⅱ) 由题意得: cn ? (?1) n bn ? an ? (?1) n (2n ? 1) ? 3n
·6·

S n ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? (?3 ? 5) ? (?7 ? 9) ? ? ? (?1) n?1 (2n ? 1) ? (?1) n (2n ? 1) ? 3 ? 32 ? ? ? 3n
当 n 为偶数时, S n ? n ?

3 n ?1 3 3 n ?1 3 ? ? ?n? 2 2 2 2 3n?1 3 3n?1 7 ? ? ?n? 2 2 2 2

当 n 为奇数时, S n ? (n ? 1) ? (2n ? 1) ?

? 3 n ?1 3 ?n? ? ? 2 2 所以, S n ? ? n ?1 ?3 ? n ? 7 ? 2 2 ?

(n为偶数时)
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 14 分

(n为奇数时)

(20)解:(Ⅰ) 如图建立空间直角坐标系 则 A(0 , 0 , 0) , B(4 , 0 , 0) , C(?2 , 2 3 , 0) , F (0 , 0 , 8) , E(4 , 0 , 8) ,

1 3 P(2, 0 , 8) , Q(1, 3 , 0) , M (0 , 0 , 4) , N (? , , 0) 2 2
设平面 BMN 的法向量 n ? ( x , y , z)
F z

? 9 3 ? n ? BN ? 0 y?0 ? ?? x ? 则? , ?? 2 2 ? n ? BM ? 0 ?? 4 x ? 4 z ? 0 ? ?
令 x ? 1, 则 ?

P E M

?y ? 3 3 ?z ? 1

所以 n ? (1, 3 3 , 1)

A

N C

Q

又 PQ ? (?1,

3 , ? 8) ,
x

y

B

而 n ? PQ ? ?1 ? 9 ? 8 ? 0 所以 n ? PQ 又 PQ ? 平面 BMN 所以 PQ // 平面 BMN ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 7 分

(Ⅱ) 假设在线段 AB 上存在点 R ,使平面 PQR ? 平面 BMN 设 R(? , 0 , 0) (0 ? ? ? 4) ,平面 PQR 的法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 )
·7·

则?

? m ? PQ ? 0 ?

?? x ? 3 y1 ? 8 z1 ? 0 ,令 x1 ? 3 ?? 1 (? ? 2) x1 ? 8 z1 ? 0 ? m ? PR ? 0 ? ?
所以 m ? ( 3 , ? ? 1,

? y1 ? ? ? 1 ? 则? 3 (? ? 2) ? z1 ? 8 ?

3 (? ? 1) ) 8

若平面 PQR ? 平面 BMN ,则 m ? n ? 0



3 ? 3 3 (? ? 1) ?
18 25

3 (? ? 2) ?0 8

得: ? ?

所以,存在点 R ,使平面 PQR ? 平面 BMN ,且 AR ?

18 ┈┈┈┈┈┈ 15 分 25

(21)解:(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2

9 ?4 ?a2 ? b2 ? 1 ? ?c 1 由已知得: ? ? a 2 ? ? ?c 2 ? a 2 ? b 2 ?
所以椭圆的标准方程为:

?a ? 4 ? 解得 ?b ? 2 3 ?c ? 2 ?

x2 y2 ? ?1 16 12

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 5 分

(Ⅱ) 因为直线 l : y ? kx ? t 与圆 ( x ? 1) ? y ? 1相切
2 2

所以,

t ?k 1? k 2

? 1 ? 2k ?

t 2 ?1 (t ? 0) t

把 y ? kx ? t 代入

x2 y2 ? ? 1 并整理得: 16 12
·8·

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8ktx ? (4t 2 ? 48) ? 0
设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则有

x1 ? x 2 ? ?

8kt 3 ? 4k 2 6t 3 ? 4k 2

y1 ? y 2 ? kx 1 ? t ? kx 2 ? t ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2t ?
因为, ? OC ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 所以, C ? ?

?

? 6t ? 8kt ? , (3 ? 4k 2 ) ? (3 ? 4k 2 ) ? ? ? ?

又因为点 C 在椭圆上, 所以,

4k 2 t 2 3t 2 ? ?1 (3 ? 4k 2 ) 2 ?2 (3 ? 4k 2 ) 2 ?2
t2 1 ? 2 1 1 3 ? 4k ( 2 )2 ? ( 2 ) ?1 t t
所以 (

? ?2 ?

2 因为 t ? 0

1 2 1 ) ? ( 2 ) ?1 ? 1 2 t t

所以

0 ? ?2 ? 1
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 15 分

所以 ? 的取值范围为 (?1, 0) ? (0 , 1)

(22)解(Ⅰ) 因为 a ? 1 ,所以 f ( x) ?

1 x(1 ? e ? 2 x ? 2 ) 2 1 1 1 1 g ( x) ? f ?( x) ? (1 ? e ? 2 x ? 2 ) ? x ? (?2) e ? 2 x ? 2 ? ? ( ? x) e ? 2 x ? 2 2 2 2 2
?2 x ? 2

由 g ?( x) ? 2( x ? 1) e 当

?0 得 x ?1

1 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , 2

当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 所以, g ( x) ? g (1) ? 0
·9·

1 1 1 1 ? x ? 0 ,所以, g ( x) ? ? ( ? x) e ? 2 x ? 2 ? 2 2 2 2 1 1 所以,当 x ? 时, 0 ? g ( x) ? ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6 分 2 2 1 1 ?2 x ? 2 (Ⅱ) 由 f ?( xi ) ? ? a ( ? xi ) e i ? 0 得: e 2 xi ?2 ? a(2 xi ? 1) 2 2
又因为 因为方程 e 2 x?2 ? a(2x ? 1) 有两解,所以 a ? 0 由 f ( xi ) ? 解得: x i ?

1 1 1 1 1 1 4 xi (1 ? a e ?2 xi ? 2 ) ? xi (1 ? ) ? [(2 xi ? 1) ? ]? ? 2 2 2 xi ? 1 4 2 xi ? 1 2 3
1 2 ? xi ? 2 或 2 3 1 , 1 ? x 2 ? 2 时, 2

(ⅰ) 当 x1 ?

?a ? 0 ? ?1 ?e ? 0 ? 无解 ? ?1 ? a ? e 2 ? 3a ?

2 (ⅱ) 当 ? x1 ? 1, 1 ? x 2 ? 2 时, 3

?a ? 0 ? 2 ?e ? 3 ? 1 a ? 3 ? ?1 ? a ? ?e 2 ? 3a ?
? 2 3

解得 1 ? a ? 3e

?

2 3

所以,实数 a 的取值范围为 (1, 3e

)

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 14 分

·10·


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