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四川成都外国语学校2012-2013学年度高一上期期中考试数学试题


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四川省成都外国语学校 2012—2013 学年度上学期期中考试

高一数学试题
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将答题卡交回。 第Ⅰ卷 一、 选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.若集合 M ? ??1, 0,1? ,集合 N ? ?0,1, 2? ,则 M ? N 等于( A. ?0,1? B. ??1, 0,1? ) y 0 0 y C. ?0,1, 2? ) D. ??1, 0,1, 2?

2.下列图象中表示函数图象的是( y 0 0 y

x

x

x

x

A

B

C

D

? 1 x ?( ) , ?1 ? x ? 0, 3.若函数 f ( x ) ? ? 4 则 f (log 4 3) = ( x ? 4 , 0 ? x ? 1, ?
A.



1 3

B. 3

C.

1 4


D. 4

4.已知函数 f ( x) ? 3x ?

3 ( x ? 0) ,则函数( x

A.是奇函数,且在 (0, ??) 上是减函数 C.是奇函数,且在 (0, ??) 上是增函数

B.是偶函数,且在 (0, ??) 上是减函数 D.是偶函数,且在 (0, ??) 上是增函数

5.给定函数① y ? x 2 ,② y ? log 1 ( x ? 1) ,③ y ?| x ? 1| ,④ y ? 2
2

1

x ?1

,其中在区间(0,1)

上单调递减的函数序号是( ) A. ①④ B. ①②
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C. ②③

D.③④

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6.由表格中的数据可以判定方程 e x ? x ? 2 ? 0 的一个零点所在的区间 (k , k ? 1)(k ? N ) 则 k 的值为( x ) -1 0.37 1 0 1 2 1 2.72 3 ) 2 7.39 4 D.3 3 20.09 5

ex
x?2

A.0 B.1 C.2 7.下列幂函数中,定义域为 R 且为偶函数的个数为( (1) y ? x A.1 个 8. 设 m, n,
?2

(2) y ? x

(3)

y ? x3

1

(4) C.3 个

y ? x3
D.4 个 )

2

B.2 个
1 3

p 均为正数,且 3m ? log m , ( 1 ) p ? log3 p , ( 1 )q ? log q ,则(
3 3
1 3

A.m>p>q

B. p>m>q

C. m>q>p

D. p>q>m

9.已知 f ( x) 为偶函数,在 [0, ??) 上为增函数,若 f (l o g 2 x) ? f (1) ,则 x 的取值范围为 ( ) A. (2, ??) B. (0, ) ? (2, ??)

1 2

C. ( , 2)
2 2

1 2

D. (0,1) ? (2, ??) )

10.已知 f ( x) ? 3 ? log 2 x, x ?[1, 4] ,则 g ( x) ? f ( x ) ? [ f ( x)] 有( A.最大值-2,最小值-18 C.最大值-6,最小值-11 11.设函数 B.最大值-6,最小值-18 D.最大值-2,最小值-11

f ( x) ? 2

? x2 ? x ? 2

,对于给定的正数 K,定义函数
? x2 ? x ? 2

? f ( x), f ( x) ? K f K ( x) ? ? 若 对 于 函 数 f ( x) ? 2 ? K , f ( x) ? K ,

定义域内的任意

x ,恒有

f K ( x) ? f ( x),则(
A.K 的最小值为 1 C.K 的最小值为 2 2

) B. K 的最大值为 1 D. K 的最大值为 2 2

12.对实数 a 和 b ,定义运算“ ? ”: a ? b ? ?

? a, a ? b ? 1, 设函数 ?b, a ? b ? 1.

f ( x) ? ( x 2 ? 2) ? ( x ? x 2 ) , x ?R ,若函数 y ? f ( x) ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,
则实数 c 的取值范围是( A. (??, ?2] ? (?1, ? ) C. (?1, ) ? ( , ??) )

3 4

B. (??, ?2] ? (?1, ) D. (?1, ? ) ? [ , ??)

3 2

1 4

1 4

3 4

1 4

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第Ⅱ卷 二.填空题(共 4 个小题,每小题 4 分,满分 16 分) 13.函数 y ? log 1 ( x 2 ? x ? 6) 的单调递增区间是
2



2 1 1 (2 2) 3 ? (6 ) 2 ? ln e ? 3 ?3 3 ?6 3 =___ 14.计算 4

____.

15. 已知 a 2 ? a

1

?

1 2

? 3 ,则 a 2 ? a

3

?

3 2

的值等于___ ______.

16.定义在 R 上的函数 f ( x) , 如果存在函数 g ( x) ? kx ? b(k , b 为常数) 使得 f ( x) ≥ g ( x) 对 , 一切实数 x 都成立,则称 g ( x) 为 f ( x) 的一个承托函数.现有如下命题: ①对给定的函数 f ( x) ,其承托函数可能不存在,也可能无数个; ② g ( x) =2x 为函数 f ( x) ? 2 的一个承托函数;
x

③若函数 g ( x) ? x ? a 为函数 f ( x) ? ax 的承托函数,则 a 的取值范围是 a ?
2

1 ; 2

④定义域和值域都是 R 的函数 f ( x) 不存在承托函数; 其中正确命题的序号是 . 三.解答题. (解答应写文字说明,证明过程或演算步骤.本题共 6 小题,满分 70 分) 17.(本题满分 12 分)已知全集 U=R, A ? {x | f ( x) ?

( x ? 1)( x ? 2)} ,

B ? {x | log 2 ( x ? a) ? 1} .
(1)若 a=1,求 (CU A) ? B . (2)若 (CU A) ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围.

18. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| ( x ? R)
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(1)证明:函数 f ( x) 是偶函数;

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(2)利用绝对值及分段函数知识, 将函数解析式写成分段函数的形式, 然后画出函数图像, 并写出函数的值域; (3)在同一坐标系中画出直线 y ? x ? 2 ,观察图像写出不等式 f ( x) ? x ? 2 的解集.

19. (本小题满分 12 分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健 型产品的收益与投资额成正比, 投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成 正比.已知投资 1 万元时两类产品的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元(如图) . (1)分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系; (2)该家庭现有 20 万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大 收益,其最大收益是多少万元?

y
0.125 0 1 0.5

y

x





x

20.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2a ? 4 ? 2 ? 1.
x x

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在 x ? [?3,0] 的值域; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? 0 有解,求 a 的取值范围.

21.已知函数 f ( x) 定义在 ? ?1,1? 上,对于任意的 x, y ? (?1,1) ,有
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x? y f ( x) ? f ( y ) ? f ( ) ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ; 1 ? xy
(1)判断 f ( x) 的奇偶性并说明理由;

a?b a?b ) ? 1, f ( ) ? 2 ,且 a ? 1, b ? 1 ,求 f (a ), f (b) 的值. 1 ? ab 1 ? ab 1 1 (3)若 f (? ) ? 1 ,试解关于 x 的方程 f ( x) ? ? . 2 2
(2)若 f (

22.已知函数 f ( x) ? ax ? | x | ?2a ? 1 ( a 为实常数).
2

(1)若 a ? 1 ,求 f ( x) 的单调区间; (2)若 a ? 0 ,设 f ( x) 在区间 [1, 2] 的最小值为 g (a ) ,求 g (a ) 的表达式; (3)设 h( x) ?

f ( x) ,若函数 h( x ) 在区间 [1, 2] 上是增函数,求实数 a 的取值范围. x

参考答案
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题号 答案 13. 1 D 2 C 3 B 14. 3 4 C 5 C

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6 B 15. 18 7 A 8 D 9 B 10 C 11 C 12 A

(??, ?2)

16. (1)(3)

17. 解:由已知得 A ? {x | x ? 1或x ? 2} , B ? {x | a ? x ? a ? 2}

? CU A ? {x |1 ? x ? 2}
(1)当 a=时, B ? {x |1 ? x ? 3} , ? (CU A) ? B ? {x |1 ? x ? 2} (2)若 (CU A) ? B ? ? ,则 a ? 2 或 a ? 2 ? 1,?a ? 2 或 a ? 1 . 即 a 的取值范围为 (??,1] ? [2, ??) . 18. 解: (1) f (? x) ?| ? x ? 1| ? | ? x ? 1|?| x ? 1| ? | x ? 1|? f ( x)

? f ( x) 是偶函数
(2) f ( x ) ? ? 2 ?
? ?2 x ? 2x ? ( x ? ?1) ( ?1 ? x ? 1) ( x ? 1)

由函数图象知,函数的值域为 [2, ??) (3 由函数图象知,不等式的解集为 {x | x ? 0或x ? 2} 19. 解: (1)设 f ( x) ? k1 x , g ( x) ? k2 x , 所以 f (1) ? 即 f ( x) ?

1 1 ? k1 , g (1) ? ? k2 , 8 2

1 1 x( x ? 0) , g ( x) ? x ( x ? 0) ; 8 2

(2)设投资债券类产品 x 万元,则股票类投资为 (20 ? x) 万元, 依题意得: y ? f ( x) ? g (20 ? x) ? 令t ?

x 1 ? 20 ? x (0 ? x ? 20) , 8 2
20 ? t 2 t 1 ? ? ? (t ? 2)2 ? 3 , 8 2 8

20 ? x (0 ? t ? 2 5) ,则 y ?

所以当 t ? 2 ,即 x ? 16 万元时,收益最大, ymax ? 3 万元. 20. 解:(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? 2 ? 4 ? 2 ? 1 ? 2(2 ) ? 2 ? 1 ,
x x x 2 x

令 t ? 2 , x ? [?3,0] ,则 t ? [ ,1] ,
x

1 8

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1 4
x

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9 1 9 , t ? [ ,1] ,故值域为 [? ,0] 8 8 8
2

故 y ? 2t 2 ? t ? 1 ? 2(t ? ) 2 ?
x 2

(2)关于 x 的方程 2a(2 ) ? 2 ? 1 ? 0 有解,等价于方程 2ax ? x ? 1 ? 0 在 (0,??) 上 有解 解法一:记 g ( x) ? 2ax ? x ? 1
2

当 a ? 0 时,解为 x ? ?1 ? 0 ,不成立

a?0

1 ? 0 ,过点 (0,?1) ,不成立 4a 1 当 a ? 0 时,开口向上,对称轴 x ? ? 0 ,过点 (0,?1) ,必有一个根为正 4a 所以, a ? 0 x ?1 1 1 1 2 1 2 解法二:方程 2ax ? x ? 1 ? 0 可化为 a ? ? ( ? ) ? 2 x2 2 x 2 8 1 1 1 1 所以, ?a 的范围即为函数 g ( x ) ? ( ? )2 ? 在 (0, ??) 上的值域 2 x 2 8
当 a ? 0 时,开口向下,对称轴 x ?

21. 解: (1)令 x ? y ? 0 ,? f (0) ? 0 ,令 y ? ?x ,有 f (? x) ? f ( x) ? f (0) ? 0 ,

? f (x) 为奇函数
(2)由条件得 ?

? f ( a ) ? f (b) ? 1 3 1 ,解得 f (a ) ? , f (b) ? ? . 2 2 ? f ( a ) ? f ( b) ? 2

(3)设 ? 1 ? x1 ? x2 ? 1 ,则 x1 ? x2 ? 0,1 ? x1 x2 ? 0 ,

x1 ? x 2 ? 0, 1 ? x1 x 2

则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f (? x 2 ) ? f (

x1 ? x 2 ) ? 0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 1 ? x1 x 2

? f ( x) 在 ? ?1,1? 上是减函数

1 1 ? f (? ) ? 1? f ( ) ? ?1 2 2 2x 1 原方程即为 2 f ( x) ? ?1 ? f ( x) ? f ( x) ? f ( )? f( ), 1 ? x2 2 2x 1 ? ? ? x2 ? 4 x ? 1 ? 0 ? x ? 2 ? 3 2 1? x 2
又? x ? (?1,1) ? x ? 2 ? 3 故原方程的解为 x ? 2 ? 3 。

22. 解析:(1) a ? 1

1 2 3 ? ?( x ? 2 ) ? 4 , x ? 0 ? 2 ? x ? x ? 1, x ? 0 ? f ( x) ? x 2 ? | x | ?1 ? ? 2 ?? 1 2 3 ? x ? x ? 1, x ? 0 ? ? ?( x ? 2 ) ? 4 , x ? 0 ?

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∴ f (x) 的单调增区间为( ,?? ),((2)由于 a ? 0 ,当 x ∈[1,2]时, 10 20 30

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1 ,0) 2 1 1 f (x) 的单调减区间为(- ?,? ),( 0, ) 2 2

1 2

f ( x) ? ax2 ? x ? 2a ? 1 ? a( x ?

1 2 1 ) ? 2a ? ?1 2a 4a

1 1 f (x)在[1,2]为 增 函 数 (a) ? f (1) ? 3a ? 2 g ?1 即a ? 2 2a 1 1 1 1 1 即 ? a ? 时, 1? ?2 g ( a ) ? f ( ) ? 2a ? ?1 2a 4 2 2a 4a 1 1 即 0 ? a ? 时 f (x)在[1,2]上是减函数 g (a) ? f (2) ? 6a ? 3 ?2 2a 4

0?

综上可得

1 ? 6a ? 3,0 ? a ? ? 4 ? 1 1 1 ? g ( a ) ? ?2 a ? ? 1, ? a ? 4a 4 2 ? 1 ? 3a ? 2, a ? ? 2 ?
2a ? 1 ? 1 在区间[1,2]上任取 x1 、 x2 ,且 x1 ? x2 x

(3) h( x) ? ax ?

则 h( x1 ) ? h( x2 ) ? (ax2

?

2a ? 1 2a ? 1 ? 1) ? (ax1 ? ? 1) 2 x1 x

? ( x2 ? x1 )( a ?

2a ? 1 x2 ? x1 )? [ax1 x2 ? (2a ? 1)] (*) x1 x2 x1 x2
∴ h( x2 ) ? h( x1 ) ? 0

∵ h(x)在[1,2]上是增函数

∴(*)可转化为 ax1 x2 ? (2a ? 1) ? 0 对任意 x1 、 x2 ? [1,2]且x1 ? x2都成立 即 ax1 x2 ? 2a ? 1 10 20 30 当 a ? 0时, 上式显然成立

a?0 a?0

x1 x2 ?

2a ? 1 a 2a ? 1 x1 x2 ? a
1 2

由 1 ? x1 x2 ? 4



2a ? 1 ?4 a

2a ? 1 ? 1 解得 0 ? a ? 1 a

得?

1 ?a?0 2

所以实数 a 的取值范围是 [? ,1]

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