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2.1.2指数函数及其性质


§2.1.1 指数函数及其性质
授课时间:2015.10.27 下午第二节 授课班级:高一(15)班 授课人:陶应龙

教学目标:[知识与技能]了解指数函数模型的实际背景,理解指数函数的概念和意义,掌握指 数函数的图象和性质; [过程与方法]利用描点法画出具体指数函数图象感受图象的上升与下降趋势,通过 图象的观察探索归纳出函数的一般性质; [情感、态度与价值观]体会图形的对称美,感受图象在数学探究中的重要作用,激 发学生学习兴趣,探索学习方法。 教学重点:指数函数的概念与性质 难点:底数 a 对指数函数图象与性质的影响及其性质归纳 教学方法:讨论法,讲授法,演示法 教学用具:多媒体, (彩色)粉笔,黑板 教学设计: (一)导入新课 问题 1:《庄子?天下篇》中写道:一尺之锤,日取其半,万世不竭。那么, x 天之后,木槌 的剩余量 y 和时间 x 之间的函数关系式。 (二)推进新课 上述两个解析式的共同特征是什么?你能类比正比例函数与反比例函数的解析式, 写出这 类函数解析式的一般形式吗? 师生共同总结得到共同特征:①都是幂的形式②底数是常数③指数是变量; 并在此给出指数函数的概念: 一般地, 函数 y = a , (a > 0且a ? 1) 叫做指数函数, 其中 x 是自变量, 函数的定义域是 R 。 思考:为什么概念中规定 a > 0且a ? 1 ? 解答:①若 a = 0 ,则当 x ? 0 时 a 无意义; ②若 a = 1 ,则对任何 x ? R ,都有 a = 1 ,没有研究的必要; ③若 a < 0 ,则当 x =
x x
x

1 1 , ? 时, a x 就无意义。 4 2
x

指数函数对外型要求严格,要求必须一模一样,一点不差,幂 a 前系数必须为 1. 强化概念: 例 1:下列函数中是指数函数的是? (1) y = x
7

(2) y = ( )
1 x

p 2

x

(3) y = 2 ?3

x

(4) y = 3
x

-x

(5) y = 4 (6) y = 5 (7) y = (2a - 1) , a > 0且a ? 1 解析;只有(2) (4)是对的,其他都不符合; 总结指数函数特征:①“底数是常数,指数是变量”的幂的形式 ②幂 a 前的系数必须为 1 ③底数必须是大于 0 且不等于 1 的实数 练 1:函数 y = (a - 2) a 是指数函数,求 a 的值。 解析:由指数函数概念知须满足条件 í
2 ì ? (a - 2) = 1 解得 a = 3 。 ? ? a > 0且a ? 1
x

x- 1

2

x

函数的图象性质研究:每一类函数都有它自己的特征图象,一次函数的图象是一类直线, 二次函数的图象是一类曲线,那么指数函数图象呢?它会有什么特征呢?底数 a 的范围是 (0,1) ? (1, +? ) , 那 么 从 这 两 个 不 同 变 化 范 围 内 取 值 会 对 图 象 有 影 响 吗 ? 请 以

1 1 (学生前后左右六人交流讨 y = 2 x , y = 3x , y = ( ) x , y = ( ) x 四个具体函数为例说说你的想法。 2 4
论) 由学生代表发言,老师记录。接着老师展示下面图象:
x –4.00 –3.50 –3.00 –2.50 –2.00 –1.50 –1.00 –0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 (0.5)x 16.00 11.31 8.00 5.66 4.00 2.83 2.00 1.41 1.00 0.71 0.50 0.35 0.25 0.18 0.13

y
x –3 –2 –1 0 1 2 3 0.25x 64.00 16.00 4.00 1.00 0.25 0.06 0.02
8 7

x y = 0.25 6
5

◇[系统初始化] ◇[隐藏网格线] ◇[隐藏刻度线] ◇[隐藏刻度值] ◇[xy等单位长] ◇[切换成数轴] ◇[还原坐标系] ◇[改刻度字体] ◇[操作控制台]

4

y = 0.5x

x = 3.00 (0.5)x = 0.13 xB = 3.36

3 2

0.5xB = 0.10 x=3 0.25x = 0.02 xC = 3.44 0.25xC = 0.01

1

–4

–3

–2

–1

O
–1

1

2

3

4

x

师生根据图象总结出有关图象特征,定义域,值域,公共点,单调性,奇偶性的结论并以 表格展示在 PPT 上。 并用大量底数 a > 1 的指数函数图象归纳出一般的结论。并用图表展示,紧接着提出问题请 学生讨论交流根据 y = ( ) , y = ( ) 函数的图象归纳出底数 0 < a < 1 的指数函数的性质。 完成最终图表: 指数函数一般结论: 函数 y = a 图象
x

1 2

x

1 4

x

a >1

0 < a <1

定义域 值域 定点 单调性 奇偶性

R (0, +? ) (0,1) R 上的增函数


R (0, +? ) (0,1) R 上的增函数


图一:
y

图二:

14 13

y = 0.25

x

12 11 10 9

y = 3x y = 2x
◇[系统初始化] ◇[隐藏网格线] ◇[隐藏刻度线] ◇[隐藏刻度值] ◇[xy等单位长] ◇[切换成数轴] ◇[还原坐标系] ◇[改刻度字体] ◇[操作控制台]

y = 0.5

x

8 7 6 5 4 3 2 1

–5

–4

–3

–2

–1

O
–1 –2

1

2

3

4

5

x

图一总结得到指数函数位置关系:第一象限内,底数较大的指数函数图象位于底数较小的指数 函数图象上部。 问题:单个的指数函数没有奇偶性,那么请观察图二中函数 y = 2 , y = ( ) 的函数图象,你能 猜想到什么结论?如何证明? 猜想:底数互为倒数的指数函数的图象关于 y 轴对称。 这里是用的等价转化思想: “图象对称”等价于“点对称” 。 即:存在函数 y = a (a > 0且a ? 1) 和函数 y = ( ) (a > 0且a ? 1) ,
x
x

1 2

x

1 a

x

骣 1 琪 对于任意的 x ,满足 a = 琪 a 桫
x

-x

故对于函数 y = a (a > 0且a ? 1) 上的任意一个点 ( x, a ) 有函数 y = ( ) (a > 0且a ? 1) 上 对应一点 (- x, ( ) ) 关于 y 轴对称,即两个函数图象关于 y 轴对称。 例 2:求下列函数的定义域与值域 (1) y = 2 解: (1)该函数定义域 x x 喂R, 且x 令t =
1 x- 1

x

x

1 a

x

1 a

-x

(2) y = ( )

{

1}

1 2

x

1 1+t t ,则 x = (反解法)可知 t ? 0 ,则 y = 2 ? 1 x- 1 t 又 y > 0 ,所以该函数的值域为 (0,1) ? (1, +? ) 。 (2)该函数定义域为 R 1 u 令 u = x ,则 u ? 0 又 y = ( ) 是 [0, +? ) 上的减函数 所以该函数值域为 (0,1] 。 2 1 2 x - x2 练 2:求函数 y = ( ) 的定义域和值域。 2 2 解:该函数定义域是 R ,令 u = 2 x - x 1 1 1 2 2 y = ( )u ? 则 u = 2 x - x = - ( x - 1) +1 ? 1 该函数值域为 [ , +? ) 。 2 2 2

例 3:函数 y = 2a

+ 3(a > 0且a ? 1) 的图象恒过点__ (1,5) __。 x- 1 解:令 x - 1 = 0 ,得 x = 1 ,函数 f ( x) = 2a + 3( a > 0且a ? 1) 图象恒过点 (1,5) 。 1 2 x- 1 练 3:函数 y = 3a - 1(a > 0且a ? 1) 的图象恒过点__ ( , 2) __。 2 x 例 4:函数 y = a (a > 0且a ? 1) 在 [1, 2] 上的最大值与最小值之和为 6,求 a 的值。 x 解:不论 a > 1或0 < a < 1 , y = a (a > 0且a ? 1) 的最大值与最小值之和总为 解得 a = - 3或2 a2 + a = 6 又因为 a > 0且a ? 1 所以 a =2 。 x 练 4:已知函数 y = a (a > 0且a ? 1) 在区间 [-2, 2] 上的函数值总小于 2,求 a 的取值范围。 2 x 解:当 a > 1 时, y = a 在 [-2, 2] 上为增函数, ymax = a < 2
解得 1 < a < 2 ; 当 0 < a < 1 时, y = a 在 [-2, 2] 上为减函数,ymax=a<2 解得
x
-2

x- 1

2 < a <1 2 2 ,1) ? (1, 2) 。 2

综上所述, a 的取值范围为: (

(三)课堂小结 1、指数函数的概念 2、指数函数的图象与性质 3、数学思想方法:类比方法、归纳法、转化思想、数形结合思想 (四)板书设计 §2.1.2 指数函数及其性质 1、概念 例1 练1 投影仪 例2 练2 2、图象、性质 例3 练3 例4 练4

作业布置 层次一:习题 2.1A 组 第 5,6 题 层次二:习题 2.1B 组 第 1,4 题 思考:如图是指数函数① y = a ② y = b ③ y = c ④ y = d 的图象,则 a, b, c, d 与 1 的大小关 系是___________。
x x x x


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