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高三数学(文)圆人教版知识精讲.doc


高三数学(文)圆人教版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容: 圆 二. 知识要点: 1. 圆的方程 (1)标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 , ( a, b) ——圆心, r ——半径 (2)一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , ( D 2 ? E 2 ? 4F ? 0)

D E D 2 ? E 2 ? 4F ,? ) ——圆心, r ? 2 2 2 x ? a ? r cos ? ? (3)圆的参数方程: ? ? y ? b ? r sin ? (?
2. 圆的方程的求法——确定圆需三个独立的条件( a, b, r 或 D,E,F) (1)根据已知条件的特征选择圆的方程 (2)利用待定系数法——建立等量关系待定系数 a, b, r 或 D,E,F (3)善于利用圆的几何性质建立等量关系 3. 直线与圆的位置关系:若 d ?

| Aa ? Bb ? C | A2 ? B 2

直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 4. 两圆的位置关系:设两圆圆心分别为 O1 ,O2 ,半径分别为 r1 , r2 ,| O1O2 |? d ,则: (1) d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4 条公切线;(2) d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3 条公切线;(3) | r1 ? r2 |? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2 条公切线;(4) d ?| r1 ? r2 |? 内切 ? 1 条公切线; (5) 0 ? d ?| r1 ? r2 |? 内含 ? 无公切线。
(1)外离

(2)外切

用心

爱心

专心

(3)相交

(4)内切

(5)内含

5. 圆系——过两圆交点的圆系:

C1 : x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 ;C2 : x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 ,过 C1 与 C 2 2 2 2 2 交点的圆系为:C : ( x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ) ? ? ( x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 , (含
公共弦)

【模拟试题】(答题时间:45 分钟)
一. 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)

x y ? ? 1 的倾斜角是( ) 3 4 4 4 4 4 A. arctan B. ? ? arctan C. ? ? arctan D. ? ? arctan( ? ) 3 3 3 3 2. 已知直线 3x ? 2 y ? 3 ? 0 和 6 x ? my ? 1 ? 0 互相平行,则它们之间的距离是(
1. 直线 A. 4 B.



2 13 5 13 7 13 C. D. 13 26 26 2 2 2 2 3. 圆 C1 : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C2 : 4x ? 4 y ? 16x ? 8 y ? 19 ? 0 的位置关
系是( ) A. 相切 B. 相交 C. 相离
2

D. 内含 )

4. 如果 l1 , l 2 的斜率分别是二次方程 x ? 4 x ? 1 ? 0 的两根,则 l1 , l 2 的夹角是( A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.
用心

? 8

爱心

专心

5. 直线 l1 : ax ? y ? b ? 0 , l 2 : bx ? y ? a ? 0 (ab ? 0 , a ? b) ,下列图形中正确的是 ( )

6. 在 ?ABC 中,三边 a 、 b 、 c 的对角分别为 A、B、C,且 lg sin A 、 lg sin B 、 lg sin C 成等差数列,则直线 x sin 2 A ? y sin A ? a ? 0 与 x sin 2 B ? y sin C ? c ? 0 的位置关系是 ( ) A. 重合 B. 平行 C. 垂直 D. 相交但不垂直 7. 已知三条直线为 l1 : x ? 2 y ? 4a ? 0 ; l 2 : x ? y ? 6a ? 0 ; l3 : 2 x ? y ? 4a ? 0 ) A. 三条直线的倾斜角之和为 90 B. 三条直线在 y 轴上的截距 b1 , b2 , b3 满足 b1 ? b3 ? 2b2 C. 三条直线的倾斜角 ?1 , ? 2 , ? 3 满足 ?1 ? ? 3 ? 2? 2 D. 三条直线在 x 轴上截距之和为 12 | a | 8. 直线 x ? y ? A. 0 个
?

(a ? 0) ,则下列结论中正确的一个是(

2a 与圆 x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 的交点个数有(
C. 2 个 D. A 或 B 或 C



B. 1 个

9. 如图所示,给定平面区域三角形 ABC(包括边),其中 A(5,2) , B(1,1) , C (1, 当目标函数 z ? ?x ? y(a ? 0) 取最大值的最优解有无数个时, a 值为( A. )

22 )。 5

3 5

B.

5 3

C. 4

D.

1 4

10. 在坐标平面上,不等式组 ? A.

2

B.

3 2 2

?x ? y ? 1 ? 0 所表示的平面区域的面积为( ?3 | x | ? y ? 1 ? 0 3 5 C. D. 2 2



二. 填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)
2 2 11. 将直线 x ? y ? 1 绕 (1,0) 点顺时针旋转 90 后, 再向上平移 1 个单位与 x ? ( y ? 1) ?
?

r 2 相切,则 r 的值是 。 12. 设点 A(2,?3) , B(?3,?2) ,直线 l 过点 P(1,1) 且与线段 AB 相交,则 l 的斜率 k 的取
值范围是 。
用心 爱心 专心

13. 设直线 L 过点 A(2,4) ,它被平行线 x ? y ? 1 ? 0 与 x ? y ? 1 ? 0 所截得线段的中点 在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上,则 L 的方程是 。 。 14. 经过点 A(?3,4) ,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为

15. 三条直线 x ? y ? 1 ? 0 , 2 x ? y ? 8 ? 0 和 ax ? 3 y ? 5 ? 0 只有两个不同的交点,则

a?

。 。

16. 过点 M (0,4) ,被圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 截得的线段长为 2 3 的直线方程为

三. 解答题(本大题共 6 小题共 76 分) 17. (本题 12 分)一直线被两直线 l1 : 4 x ? y ? 6 ? 0 , l 2 : 3x ? 5 y ? 6 ? 0 截得的线段 的中点恰好是坐标原点,求直线的方程。 18. (本题 14 分)已知与圆: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 相切的直线 l 交 x, y 轴于两点 A、 B,O 为原点, | OA |? a , | OB |? b (a ? 2, b ? 2) 。(1)求证: (a ? 2)(b ? 2) ? 2 ;(2) 求线段 AB 中点 P 的轨迹;(3)求 ?AOB 面积的最小值。
2 2 19. (本题 12 分)已知直线 l : kx ? y ? 3k ? 0 ,圆 M : x ? y ? 8x ? 2 y ? 9 ? 0

(1)求证:直线 l 与圆 M 必相交; (2)当圆 M 截 l 所得弦最短时,求 k 的值,并求 l 的直线方程。 称的圆与直线 l 2 : 3x ? 4 y ? 40 ? 0 相切,求 ? 的值。 等分,求这二直线的夹角。 22. (本题 14 分)已知圆 C : x ? ( y ? 5) ? 16 ,在 x 轴上取两点 M、N,使得以 MN 为 直径的圆与圆 C 外切,若点 A 在 y 轴上,对所有满足条件的 M、N,使 ?MAN 为定角,试
2 2 2 2 20. (本题 12 分)若圆 x ? y ? 4x ? 4 y ? 8 ? ? ? 0 (? ? 0) 关于直线 l1 : x ? y ? 2 对

21. (本题 12 分)过原点的两条直线把直线 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 在坐标轴间的线段分成三

求定点 A 的坐标及 ?MAN 的大小。

用心

爱心

专心

试题答案
一. 选择题 1. C 2. D 二. 填空题 11. ? 2 / 2 12. (?? ,?4] ? [ ,?? ) 3. B 4. C 5. A 6. A 7. C 8. B 9. A 10. C

3 4

13. 3x ? y ? 2 ? 0 16. y ? ?

14. x ? y ? 1 ? 0 或 y ? ?

4 x 3

15. 3 或 ? 6

15 x ? 4或 x ? 0 8

三. 解答题 17. 解:设 y ? kx 为所求,由 ? 由?

? y ? kx ?6 得交点横坐标为 x1 ? 4?k ?4 x ? y ? 6 ? 0

? y ? kx 6 得交点横坐标为 x 2 ? 3 ? 5k ?3x ? 5 y ? 6 ? 0 ?6 6 1 ? ? 0,k ? ? 而 x1 ? x2 ? 0 ∴ 4 ? k 3 ? 5k 6 1 故所求直线方程为 y ? ? x 6 x y 18. 解:(1)设 l 方程为 ? ? 1 ,即 bx ? ay ? ab ? 0 ,圆心 (1,1) 到 l 距离为半径 1, a b | b ? a ? ab | 故 ? 1 平方得 a 2 ? b 2 ? a 2 ? b 2 ? a 2 b 2 ? 2ab ? 2a 2 b ? 2ab2 2 2 a ?b ab ? 2(a ? b) ? 4 ? 2 ,即 (a ? 2)(b ? 2) ? 2 ∴ ab ? 2(a ? b) ? 2 ? 0 ?a ? 2 x (2)设 AB 中点 P 坐标为 ( x, y ) ,则 ? ,代入 (a ? 2)(b ? 2) ? 2 中得 ?b ? 2 y 1 1 ( x ? 1)( y ? 1) ? ,即 y ? ? 1 为双曲线一支 ( x ? 1) 2 2( x ? 1) 1 (3) S ?AOB ? ab ,由(1) ab ? 2(a ? b) ? 2 ? 4 ab ? 2 ∴ ab ? 2 ? 2 2 ∴ S ?AOB ? 3 ? 2 2 ,当且仅当 a ? b 时,取等号, S ?AOB 最小值为 3 ? 2 2

2 2 19. 解:(1)直线 l 方程为 y ? k ( x ? 3) 过定点 A(3,0) ,⊙M: ( x ? 4) ? ( y ? 1) ? 8 ,

有 (3 ? 4) ? (0 ? 1) ? 8
2 2

∴ 点 (3,0) 在圆 M 内,故 l 与圆 M 必相交

(2)圆心 M 到 l 距离最大时,弦最小,此时 AM ? l ,即 kl ? ?1
用心 爱心 专心

∴ l 方程为 x ? y ? 3 ? 0 20. 解: x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 8 ? ? ? 0 化为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? ? ,圆心为 C (2,?2) , 半径 r ?

? ,设 C 关于 l1 的对称点为 D( x, y)

?y ? 2 ? ?1 ? ?x ? 2 则? 得 D(0,0) ,圆 D 方程为 x 2 ? y 2 ? ? ?x ? 2 ? y ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 40 ?8 又圆 D 与直线 l 2 相切,故 ? ? ∴ ? ? 64 5 21. 解:设 l1 : y ? k1 x , l 2 : y ? k 2 x ,如图

8 4 4 1 ? 2k1 , ? 4k 2 ∴ k1 ? , k 2 ? 3 3 3 3 4 1 ? 9 9 ? ? arctan ∴ 二直线夹角 ? 满足 tan? ?| 3 3 |? 4 1 13 13 1? ? 3 3 22. 解:如图所示,设 M (m,0) , N (n,0) ,不妨设 n ? m m?n 2 n?m 2 ) ? y2 ? ( ) 则⊙ C ? 方程为 ( x ? ∵ ⊙C 与⊙ C ? 外切 2 2 m?n 2 n?m ∴ ( 平方,化简得 mn ? 9 ? 4(n ? m) ① ) ? 52 ? 4 ? 2 2 a a 由对称性设 A(0, a ) ,则 k AM ? , k AN ? ? ?m n n?m tan ?MAN ?| || a | ,由①使其为定值的 a 满足 a 2 ? 9 ,即 A(0,?3) 2 mn ? a 3 此时 ?MAN 为 arctan 4


8 4 A(2, ) , B(4, ) 3 3

用心

爱心

专心

用心

爱心

专心


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