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湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 2.3等差数列的前n项和导学案(含解析)新人教版必修5


第二章 第三节 等差数列前 n 项和
目标定位: 1.了解等差数列前 n 项和公式的推导过程, 掌握等数列的五个基本量之间的 关系。 2.掌握等差数列前 n 项和公式,性质及其应用。 (重点) 3.能熟练应用公式解决实际问题并体会方程思想。 (难点) 数列的前 n 项和 [导入新知] 数列的前 n 项和 对于数列{an},一般地称 a1+a2+?+an 为数列{an}的前 n 项和,用 Sn 表示,即 Sn=a1 +a2+?+an. [化解疑难] 数列的前 n 项和就是指从数列的第 1 项 a1 起,一直到第 n 项 an 所有项的和. 等差数列的前 n 项和

[提出问题] 如图,某仓库堆放的一堆钢管,最上面的一层有 4 根钢管, 下面的每一层都比上一层多一根,最下面的一层有 9 根. 问题 1:共有几层?图形的横截面是什么形状? 提示:六层,等腰梯形. 问题 2: 假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管, 如图所示, 则这样共有多少钢管?

提示:(4+9)×6=78. 问题 3:原来有多少根钢管? 1 提示: ×78=39. 2 问题 4:能否利用前面问题推导等差数列前 n 项和公式

Sn=a1+a2+?+an?
提示:Sn=a1+a2+?+an,

Sn=an+an-1+?+a1,
相加:2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+?+(an+a1) =n(a1+an),

∴Sn=

n?a1+an?
2

.

问题 5:试用 a1,d,n 表示 Sn. 提示:∵an=a1+(n-1)d, ∴Sn=

n[a1+a1+?n-1?d]
2

=na1+

n?n-1? d.
2

[导入新知] 等差数列的前 n 项和公式 已知量 选用 公式 首项,末项与项数 首项,公差与项数

n?a1+an? Sn=
2

n?n-1? Sn=na1+ d
2

[化解疑难] 等差数列前 n 项和公式的特点 (1)两个公式共涉及到 a1,d,n,an 及 Sn 五个基本量,它们分别表示等差数列的首项, 公差,项数,通项和前 n 项和. (2)当已知首项、末项和项数时,用前一个公式较为简便;当已知首项、公差和项数时, 用后一个公式较好.

等差数列前 n 项和的有关计算 [例 1] 1 (2012·北京高考)(1)已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 a1= ,S2= 2

a3,则 a2=__________;Sn=________.
(2)在等差数列{an}中,已知 d=2,an=11,Sn=35,求 a1 和 n. 1 (1)[解析] 设公差为 d,则由 S2=a3 得 2a1+d=a1+2d,所以 d=a1= ,故 a2=a1+d 2 =1,Sn=na1+ [答案] 1

n?n-1? n?n+1? d= .
2 4

n?n+1?
4

an=a1+?n-1?d, ? ? (2)[解] 由? n?n-1? Sn=na1+ d, ? 2 ?

a1+2?n-1?=11, ? ? 得? n?n-1? na1+ ×2=35, ? 2 ?
解方程组,得? [类题通法]
? ?n=5, ?a1=3 ?

或?

? ?n=7, ?a1=-1. ?

a1,d,n 称为等差数列的三个基本量,an 和 Sn 都可以用这三个基本量来表示,五个量 a1,d,n,an,Sn 中可知三求二,即等差数列的通项公式及前 n 项和公式中“知三求二”的
问题, 一般是通过通项公式和前 n 项和公式联立方程(组)来求解. 这种方法是解决数列运算 的基本方法,在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用. [活学活用] 1.已知等差数列{an}. 5 3 (1)a1= ,a15=- ,Sn=-5,求 n 和 d; 6 2 (2)a1=4,S8=172,求 a8 和 d. 5 3 1 解:∵a15= +(15-1)d=- ,∴d=- . 6 2 6 又 Sn=na1+

n?n-1?
2

·d=-5,

解得 n=15,n=-4(舍). 8?a1+a8? 8?4+a8? (2)由已知,得 S8= = =172, 2 2 解得 a8=39, 又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5. 已知 Sn 求通项公式 an [例 2] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=-2n +n+2. (1)求{an}的通项公式; (2)判断{an}是否为等差数列? [解] (1)∵Sn=-2n +n+2, ∴当 n≥2 时,Sn-1=-2(n-1) +(n-1)+2 =-2n +5n-1, ∴an=Sn-Sn-1 =(-2n +n+2)-(-2n +5n-1) =-4n+3. 又 a1=S1=1,不满足 an=-4n+3,
2 2 2 2 2 2

∴数列{an}的通项公式是

an=?

?1,n=1, ? ?-4n+3,n≥2. ?

(2)由(1)知,当 n≥2 时,

an+1-an=[-4(n+1)+3]-(-4n+3)=-4,
但 a2-a1=-5-1=-6≠-4, ∴{an}不满足等差数列的定义,{an}不是等差数列. [类题通法] 已知数列{an}的前 n 项和公式 Sn,求通项公式 an 的步骤: (1)当 n=1 时,a1=S1. (2)当 n≥2 时,根据 Sn 写出 Sn-1,化简 an=Sn-Sn-1. (3)如果 a1 也满足当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 的通项公式,那么数列{an}的通项公式为 an =Sn-Sn-1; 如果 a1 不满足当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 的通项公式,那么数列{an}的通项公式要分段表 示为 an=?
? ?S1,n=1, ?Sn-Sn-1,n≥2 ?

(如本例).

[活学活用] 2.已知下面各数列{an}的前 n 项和 Sn 的公式,求{an}的通项公式. (1)Sn=2n -3n; (2)Sn=3 -2. 解:(1)当 n=1 时,a1=S1=2×1 -3×1=-1; 当 n≥2 时,Sn-1=2(n-1) -3(n-1)=2n -7n+5, 则 an=Sn-Sn-1=(2n -3n)-(2n -7n+5) =2n -3n-2n +7n-5 =4n-5. 此时若 n=1,an=4n-5=4×1-5=-1=a1, 故 an=4n-5. (2)当 n=1 时,a1=S1=3 -2=1; 当 n≥2 时,Sn-1=3
n-1
1 2 2 2 2 2 2 2 2

n

-2,
n-1

则 an=Sn-Sn-1=(3 -2)-(3 =3·3
n-1

n

-2)=3 -3

n

n-1

-3

n-1

=2·3

n-1

. =2·3
1-1

此时若 n=1,an=2·3

n-1

=2≠a1,

?1, n=1, ? 故 an=? n-1 ? ?2·3 ,n≥2.

等差数列前 n 项和的性质 [例 3] 和 S11=( A.58 C.143 (1)(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项 ) B.88 D.176

(2)等差数列{an}中,S10=100,S100=10,求 S110. (1)[解析] 利用等差数列的性质及求和公式求解.因为{an}是等差数列,所以 a1+a11 11?a1+a11? =a4+a8=2a6=16? a6=8,则该数列的前 11 项和为 S11= =11a6=88. 2 [答案] B (2)[解] ∵数列{an}为等差数列, ∴S10,S20-S10,S30-S20,?,S110-S100 也成等差数列. 设其公差为 D,则 S10+(S20-S10)+(S30-S20)+?+(S100-S90)=S100, 10×9 即 10S10+ ×D=S100=10. 2 又∵S10=100,代入上式,得 D=-22, ∴S110-S100=S10+(11-1)×D=100+10×(-22)=-120, ∴S110=-120+S100=-110. [类题通法] 等差数列的前 n 项和常用的性质 (1)等差数列的依次 k 项之和,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k?组成公差为 k d 的等差数列. (2)数列{an}是等差数列?Sn=an +bn(a,b 为常数)?数列{ }为等差数列. (3)若 S 奇表示奇数项的和,S 偶表示偶数项的和,公差为 d, ①当项数为偶数 2n 时,S 偶-S 奇=nd,
2 2

Sn n

S奇 an = ; S偶 an+1 S奇 n = . S偶 n-1

②当项数为奇数 2n-1 时,S 奇-S 偶=an, [活学活用]

3.(1)等差数列{an}中,a2+a7+a12=24,则 S13=________. 解析:因为 a1+a13=a2+a12=2a7, 又 a2+a7+a12=24, 所以 a7=8. 13?a1+a13? 所以 S13= =13×8=104. 2 答案:104

(2)在等差数列{an}中,若 S4=1,S8=4,则 a17+a18+a19+a20 的值为( A.9 C.16 B.12 D.17

)

解析:选 A 由等差数列的性质知 S4,S8-S4,S12-S8,?也构成等差数列,不妨设为 {bn},且 b1=S4=1,b2=S8-S4=3,于是可求得 b3=5,b4=7,b5=9,即 a17+a18+a19+a20 =b5=9. 等差数列前 n 项和的最值 [例 4] 在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求前 n 项和 Sn 的最大值. [解] 法一:由 S17=S9,得 17×?17-1? 9×?9-1? 25×17+ d=25×9+ d, 2 2 解得 d=-2, ∴Sn=25n+

n?n-1?
2

×(-2)=-(n-13) +169.

2

由二次函数性质得,当 n=13 时,Sn 有最大值 169. 法二:先求出 d=-2(同法一), ∵a1=25>0,由? 1 ? ?n≤132, 得? 1 ?n>122, ? 1 1 即 12 <n≤13 . 2 2 ∴当 n=13 时,Sn 有最大值 169. [类题通法] 求等差数列的前 n 项和 Sn 的最值通常有两种思路 (1)将 Sn=na1+
?an=25-2?n-1?≥0 ? ?an+1=25-2n<0 ?



n?n-1? d 2 d d= n +(a1- )n 配方. 转化为求二次函数的最值问题, 借助
2 2 2

函数单调性来解决. (2)邻项变号法: 当 a1>0,d<0 时,满足?
? ?an≥0, ?an+1≤0 ? ?an≤0, ? ? ?an+1≥0

的项数 n 使 Sn 取最大值.

当 a1<0,d>0 时,满足?

的项数 n 使 Sn 取最小值.

[活学活用] 4.已知{an}是一个等差数列,且 a2=1,a5=-5. (1)求{an}的通项 an; (2)求{an}前 n 项和 Sn 的最大值. 解:(1)设{an}的公差为 d, 由已知条件,得?
? ?a1+d=1, ?a1+4d=-5, ?

解得 a1=3,d=-2. 所以 an=a1+(n-1)d=-2n+5. (2)Sn=na1+

n?n-1? d=-n2+4n=4-(n-2)2.
2

所以 n=2 时,Sn 最大,且最大值为 4.

[随堂即时演练] 1.若等差数列{an}的前 5 项和 S5=25,且 a2=3,则 a7 等于( A.12 C.14 B.13 D.15 )

解析:选 B 由 S5=5a3=25,∴a3=5. ∴d=a3-a2=5-3=2. ∴a7=a2+5d=3+10=13. 2.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 a2=3,a6=11,则 S7 等于( A.13 C.49 B.35 D.63 )

解析:选 C 法一:设数列{an}公差为 d,
? ?a1+d=3, ? ?a1+5d=11, ?

解得?

? ?a1=1, ?d=2, ?

7×6 于是 S7=7×1+ ×2=49. 2 法二:由等差数列前 n 项和公式及性质知

S7=

7?a1+a7? 7?a2+a6? 7×?3+11? = = =49. 2 2 2

3.已知数列的通项公式 an=-5n+2,则其前 n 项和 Sn= ________.

解析:∵an=-5n+2, ∴数列{an}是等差数列,且 a1=-3,公差 d=-5, ∴Sn=

n?-3-5n+2?
2

=-

n?5n+1?
2

.

答案:-

n?5n+1?
2

4.在数列{an}中,a1=32,an+1=an-4,则当 n=________时,前 n 项和 Sn 取最大值, 最大值是________. 解析:∵d=an+1-an=-4, ∴an=-4n+36. 令 an=-4n+36≥0,得 n≤9, ∴n=8 或 9 时,Sn 最大,且 S8=S9=144. 答案:8 或 9 144

5.在等差数列{an}中, (1)已知:a6=10,S5=5,求 a8; 48 (2)已知:a2+a4= ,求 S5. 5
? ?a6=10, 解:(1)由已知? ?S5=5 ? ?a1=-5, ? ? ?d=3,

a1+5d=10, ? ? 得? 5?5-1? 5a1+ d=5, ? 2 ?

解得?

所以 a8=a1+7d=-5+7×3=16(或 a8=a6+2d=10+2×3=16). 48 (2)由 a2+a4= 及等差数列的性质,知 5

a1+a5=a2+a4= ,
5? a1+a5? 5 48 所以 S5= = × =24. 2 2 5

48 5


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