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陕西省西工大附中2014届高三上学期第四次适应性训练数学(理)试题Word版含答案


陕西省西工大附中 2014 届高三第四次适应性训练数学理试题
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若复数 z ? ( x2 ?1) ? ( x ?1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为( ) A. ?1 B. 0 C. 1 D. ?1 或 1 2. 集合 P ? {x | y ? x ?1} , 集合 Q ? { y | y ? x ?1} , 则 P 与 Q 的关系是( A.P=Q B.P Q C.P ? D.P∩Q=? ?Q 3.设 a ???1,0, 1 ? ,则使函数 y ? xa 的定义域为 R 且为奇 2 ,1,2,3 函数的所有 a 的值有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ) )

4.在 ?ABC中, tan A ? 1 , cos B ? 3 10 ,则 tan C 的值是(
2 10

A. ?1

B.1

C. 3

D.2 )

5. 执行右面的程序框图, 若输入 N=2013, 则输出 S 等于( 2011 2012 2013 A.1 B. C. D. 2012 2013 2014
2 2

6.直线 y ? kx ? 3 与圆 ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 M,N 两点, 若 MN ? 2 3 ,则 k 的取值范围是(
? 3 ? A. ?? ,0? ? 4 ? ? 3 3? , C. ?? ? 3 3 ? ?



3? ? B. ? ? ?,? ? ? ?0,??? 4? ? ? 2 ? D. ?? ,0? ? 3 ?

位后所得图像与原图像重合,则 ? 的值不可能 为 ( ... . A.4 B.6 C.8

7.设 m ? ?

1

?1

1 ? x2 dx ,若将函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的图像向左平移 m 个单
) D.12

8 .如图所示,在 ?ABC 中, ?B ? 60? , ?C ? 45? , 高 在 ?BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M , 则 BM ? 1 AD ? 3 , 的概率为( ) 1 2 3 3 ?1 A. B. C. D. 3 5 2 3 9.已知一个四面体有五条棱长都等于 2,则该四面体的体积最大值为(
-1-

)

1 A.2

B.1

2 C. 2

D.2

? x ? y ? 2, ? 10 .设变量 x , y 满足条件 ? x ? y ? 4, 则点 P( x ? y, x ? y) 所在区域的面积为 ? x ? 5, ?



B.6 C .8 D.10 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中 的横线上. ? ? ? ? 11. 已知平面向量 a ,b ,c 不共线,且两两之间的夹角都为 120? ,若| a |=2, ? ? ? ? ? ? | b |=2,| c |=1,则 a + b + c 与 a 的夹角是___________.

)A.4

1 ? ? 12.在 ? 3 x ? ? 的展开式中,x 的有理项共有_________项. x? ?
13. 在平面中, △ ABC 的角 C 的内角平分线 S△ AEC AC CE 分△ ABC 面积所成的比S = .将这个结 △ BEC BC 论类比到空间:在三棱锥 A-BCD 中,平面 DEC 平分二面角 A-CD-B 且与 AB 交于 E,则类比 VA-CDE 的结论为 =________. VB-CDE 14.已知 F 是 C 椭圆的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线 ??? ? ??? ? 交 C 于点 D ,且 BF ? 2 FD ,则 C 的离心率为 . 15.选做题(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所 做的第一题评阅记分) A. (不等式选做题)设 f(x)=2|x|-|x+3|,若关于 x 的不等式 f(x)+|2t-3|≤0 有解,则参数 t 的取值范围为________. B.(坐标系与参数方程选做题) 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立 ? π? 极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 ρsin?θ+6?+m=0,曲线 C2 的参数方程为 ? ? ? x ? ? cos? (0<α<π), 若曲线 C1 与 C2 有两个不同的交点, 则实数 m 的取值范围 ? ? y ? sin ? 是____________. C.(几何证明选做题) 已知圆 O 的半径为 3,从圆 O 外一点 A 引切线 AD 和割线 ABC,圆心 O 到 AC 的距 离为 2 2, AB=3,则切线 AD 的长为__________.
-2-

20

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 16. (本题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ? sin x ? cos x ? ? 2 cos 2 x ? 2 .
2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期;
? ? 3? ? (Ⅱ) 当 x ? ? , ? 时,求函数 f ? x ? 的最大值,最小值. ?4 4 ?

17. (本题满分 12 分)数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数,
n ? 1, 2, 3, ?) ,且 a1,a2,a3 成公比不为 1的等比数列.

(Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)求 ?an ? 的通项公式.

18. (本题满分 12 分)如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,PD ∥QA, QA ? AB ? 1 . 2 PD ? 1 (Ⅰ)证明:平面 PQC⊥平面 DCQ; (Ⅱ)求二面角 Q—BP—C 的余弦值.

19. (本题满分 12 分) 某工厂在试验阶段大量生产一种零件, 这种零件有 A 、 B 两项技术指标需要检测,设各项技术指标达标与否互不影响.若有且仅有一项 5 11 技术指标达标的概率为 ,至少一项技术指标达标的概率为 .按质量检验规 12 12 定:两项技术指标都达标的零件为合格品.
-3-

(Ⅰ)求一个零件经过检测为合格品的概率是多少? (Ⅱ)任意依次抽取该种零件 4 个,设 ? 表示其中合格品的个数,求 ? 的分 布列及数学期望 E? .

1 ? ln x , ( x ? 1) . x (Ⅰ)试判断函数 f ( x) 的单调性,并说明理由; k (Ⅱ)若 f ( x ) ? 恒成立,求实数 k 的取值范围. x ?1

20. (本题满分 13 分)已知函数 f ( x) ?

21. (本题满分 14 分)已知 F (1, 0) ,直线 l : x ? ?1 , P 为平面上的动点,过 点 P 作 l 的垂线,垂足为点 Q ,且 QP ? QF ? FP ? FQ. (Ⅰ)求动点 P 的轨迹曲线 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 y ? kx ? m 与曲线 C 相切于点 M ,且与直线 x ? ?1 相交于点 N ,试探究:在坐标平面内是否存在一个定点 E ,使得以 MN 为直径的圆恒过此 定点 E ?若存在,求出定点 E 的坐标;若不存在,说明理由.

-4-

2014 年西工大附中第四次适应性训练数学(理科)参考答案
一.选择题: 1. A 6. A 二.填空题: 11. 60° 15. A. [0,3]

2. C 7. B

3. B 8. B

4. A 9.B

5. D 10.C 14. e ? C.

12.四项

13.

VA-CDE S△ACD = VB-CDE S△BDC

3 3

1? ? B. ? ? 1,? ? . 2? ?

15

三.解答题:

?? ? 16. 解: (I) f ? x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin ? 2 x ? ? . ? f ? x ? 的最小正周期为 ? . 4? ?
? 7? ? ? 3? ? 3? (II).? x ? ? , ? ,? ? 2x ? ? 4 4 4 ?4 4 ?

?? 2 ? ,??1 ? sin ? 2 x ? ? ? 4? 2 ?

? ? 3? ? ? ? 2 ? f ? x ? ? 1.? 当 x ? ? , ? 时,函数 f ? x ? 的最大值为 1,最小值 ? 2 . ?4 4 ?

17.解: (I) a1 ? 2 , a2 ? 2 ? c , a3 ? 2 ? 3c , 因为 a1 , a 2 , a3 成等比数列,所以 (2 ? c)2 ? 2(2 ? 3c) ,解得 c ? 0 或 c ? 2 . 当 c ? 0 时, a1 ? a2 ? a3 ,不符合题意舍去,故 c ? 2 . (II)当 n ≥ 2 时,由于 a2 ? a1 ? c , a3 ? a2 ? 2c ,…… an ? an?1 ? (n ? 1)c , 所以 an ? a1 ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)]c ?
n(n ? 1) c. 2

又 a1 ? 2 , c ? 2 ,故 an ? 2 ? n(n ?1) ? n2 ? n ? 2(n ? 2, 3, ?) . 当 n=1 时,上式也成立,所以 an ? n2 ? n ? 2(n ? 1 , 2, ?) 18.解: (I)依题意有 Q(1,1,0) ,C(0,0,1) ,P(0,2,0). ???? ???? ??? ? 则 DQ ? (1,1,0), DC ? (0,0,1), PQ ? (1, ?1,0). ??? ? ???? ??? ? ???? PQ ? DQ ? 0, PQ ? DC ? 0. 所以
-5-

即 PQ⊥DQ,PQ⊥DC.故 PQ⊥平面 DCQ. 又 PQ ? 平面 PQC,所以平面 PQC⊥平面 DCQ. (II)依题意有 B(1,0,1) , ??? ? ??? ? CB ? (1,0,0), BP ? (?1, 2, ?1).
??? ? ?n ? CB ? 0, ? x ? 0, ? 即? ? ? ??? n ? BP ? 0, ?? x ? 2 y ? z ? 0. ? n ? ( x , y , z ) 设 是平面 PBC 的法向量,则 ?

因此可取 n ? (0, ?1, ?2).
??? ? ? ? m ? BP ? 0, ? ? ??? ? ? m ? PQ ? 0.
15 . 5
15 . 5

设 m 是平面 PBQ 的法向量,则

可取

m ? (1,1,1).所以 cos ? m, n ?? ?

故二面角 Q—BP—C 的余弦值为

?

19.解: (Ⅰ)设 A 、 B 两项技术指标达标的概率分别为 P1 、 P2
5 ? P ? (1 ? P2 ) ? (1 ? P 1) ? P 2 ? ? ? 1 12 由题意,得 ? 11 ?1 ? (1 ? P ) ? (1 ? P )? ? 1 2 ? ? 12

解得 P . , P2 ? 或 P , P2 ? ,∴ P ? P 1P 2 ? 1 ? 1 ? 即,一个零件经过检测为合格品的概率为 . (Ⅱ)依题意知 ? ~B(4, ),
1 k 1 1 分布列为 P (? ? k ) ? C 4 ( ) 4? k ( ) k ,其中 k ? 0,1,2,3,4 , E? ? 4 ? ? 2 . 2 2 2
ln x x2
1 2 1 2

3 4

2 3

2 3

3 4

1 2

20.解: (I) f ?( x) ? ? 故 f ( x) 在 (II)

? x ? 1 ? ln x ? 0

? f ' ( x) ? 0

递减 记

-6-

再令 h( x) ? x ? ln x则h ' ( x) ? 1 ?

1 x

? x ? 1则h ' ( x) ? 0

在 ,从而

上递增。 故 在 上也单调递增

21. (Ⅰ)设点 P( x,y ) ,则 Q(?1,y) ,由 QP ? QF ? FP ? FQ ,得
( x ? 1, 0)? (2, ? y) ? ( x ? 1,y)? (?2,y) ,化简得 C : y2 ? 4x .

? y ? kx ? m, (Ⅱ)由 ? 2 得 k 2 x 2 ? (2km ? 4) x ? m 2 ? 0 , ? y ? 4 x,
由 ? ? 0 ,得 km ? 1 ,从而有 M (m 2 ,2m) , N (?1,?
1 ? m) , m

则以 MN 为直径的圆的方程为 ( x ? m 2 )( x ? 1) ? ( y ? 2m)( y ? 整理得, (1 ? x)m 2 ? y (
1 ? 3m) ? x 2 ? y 2 ? x ? 2 ? 0, m

1 ? m) ? 0 , m

?1 ? x ? 0, ? 由 ? y ? 0, 得 x ? 1, y ? 0 ? x 2 ? y 2 ? x ? 2 ? 0, ?
所以存在一个定点 E (1,0) 符合题意.

-7-


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