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数列极限的运算法则(第二课时)

数列极限的运算法则(数列极限第二课时)
学习目标:1.掌握数列极限的运算法则,并会求简单的数列极限的极限。 2.掌握两种求极限的变式方法:同除法和求和法; 3.了解简单的数学史和极限思想的应用. 学习重点:运用数列极限的运算法则求极限 学习难点:数列极限法则的运用的条件 教学过程: 一、复习引入: 1.定义:无穷数列 ?a n ?中的 an ______________________,那么 A 叫做数列 ?a n

?的极限.

表示成:_____________________________或________________________________ 读作:_______________________________________________________ 2.常用结论

(2) lim (1 ) lim C ? C ,
n ??

1 ? 0, (3) lim q n ? 0, 其中( q ? 1) n ?? n n ??

二、课堂引入 1、引例学习 数学家阿基米德简介 螺线

探究抛物线 y ? x , x轴以及x ? 1 所围成面积 S.
2

2.练习回顾

1 lim (1) ()

n?2 n3 ? 1 ? _______________;(2) lim 3 ? _______________; n ?? 2n ? 1 n ?? n ? 1
n ??

三、运算法则 如果 lim a n ? A, lim bn ? B, 那么
n ??
n ??

lim(an ? bn ) ? __________ lim(an .bn ) ? _______
n ??

lim(an ? bn ) ? ____________
n ??

lim

an ? ____( B ? 0) n ?? b n

推广:上面法则可以推广到有限 多个数列的情况。例如,若 ?a n .. 则: lim( a n ? bn ? c n ) ? lim a n ? lim bn ? lim c n
n ?? n ?? n ?? n ??

?,?bn ?,?cn ?有极限,

特别地,如果 C 是常数,那么 例 1.请判断下列极限的求法是否正确

lim(C.a n ) ? lim C. lim a n ? CA
n ?? n ?? n ??

(an ? bn ) ? 3 ? 2,? lim an ? 3, lim bn ? 2 (1) lim
n ?? n ?? n ??

(2) lim

(n ? 2) ? n ? 2 lim ? n?? ? ? 1; ————————同除法 n ?? 2n ? 1 lim(2n ? 1) ?
n ??

100 ? 1 2 3 100 ? 1 2 3 lim ? 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? ? lim 2 ? lim 2 ? lim 2 ? ??? ? lim 2 n ?? n ?? n ?? n ?? n ?? (3) n ? n n n n ?n n n ? 0 ? 0 ? 0 ? ??? ? 0 ? 0

2 3 n ? 1 2 3 ? 1 lim ? 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? ? lim 2 ? lim 2 ? lim 2 n ?? n n n n ? n?? n n?? n n?? n ? (4) ————求和法 n ? ??? ? lim 2 ? 0 ? 0 ? 0 ? ??? ? 0 ? 0 n ?? n
四、例题解析: 例 2.已知 lim a n ? 5, lim bn ? 3 ,求 lim(3a n ? 4bn ).
n??

n??

n ??

例 3.求下列极限: (1) lim (5 ?
n??

4 1 2n ? 1 n 2 ); (2) lim( ? 1) ; (3) lim ; (4) lim 2 n ?? n n ? ? 3n ? 1 n ?? n ? 1 n

分析: (3) (4)当 n 无限增大时,分式的分子、分母都无限增大,分子、分母都没有极限, 上面的极限运算法则不能直接运用。

an 2 ? 3n 例 4.已知 lim ? 2, 求常数 a 的值. n ?? 2( n 2 ? 1)
例 5.求出引例中的极限: 五、课堂小结和作业布置

练习与作业: 1.已知 lim a n ? 2, lim bn ? ?
n??

n ??

1 ,求下列极限 3
(2) lim

(1) lim( 2a n ? 3bn ) ;
n ??

a n ? bn n ?? an

2.求下列极限: (1) lim ( 4 ?
n??

1 ); n

(2) lim
n ??

2 3 ?5? n



3.求下列极限 (1) lim
n??

n ?1 ; n

(2)

lim
n??

n ; 3n ? 2

(3) lim

3n ? 2 ; n?? 1 ? n 2

(4) lim

5n ? 2n 2 。 n ?? 3n 2 ? 1

4.求下列极限

已知 lim a n ? 3, lim bn ? 5, 求下列极限:
n?? n??

(1). lim(3a n ? 4bn ).
n ??

(2).

lim

a n ? bn n ?? a ? b n n

5.求下列极限: (1).

2 lim(7 ? ); n ?? n

(2). lim(
n ??

1 ? 5) n2

1 3 (3). lim ( ? 4) n ?? n n

1 ?1 n (4). lim n?? 1 ?1 n

(5). lim
n ??

1? 2 ? 3 ??? n 2n 2

(6). lim
n ??

7 ? 5n 6n ? 11

(7). lim

n ?1 n?? n 2 ? 9

(8) lim(
n ??

2 1 ? 4n 2 ? ) n 1? n2

1 1 1 ? ??? n 2 4 2 (9) lim n ?? 1 1 1 1? ? ??? n 3 9 3 1?
例 4.求下列极限: (1) lim(
n ??

(10).已知 lim a n ? 2, 求 lim
n ??

n ? an n ?? n ? a n

3 5 7 2n ? 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ) n ?1 n ?1 n ?1 n ?1
2

(2) lim(
n ??

1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ?1 ) 1 ? 3 ? 9 ? ? ? 3 n ?1


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