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两角和与差的余弦


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§ 3.1.1 两角和与差的余弦
【教学目标】
一、知识与技能: 1.掌握两点间的距离公式及其推导; 2.掌握两角和的余弦公式的推导; 3.能初步运用公式 C(? ? ? ) 来解决一些有关的简单的问题 二、过程与方法 经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程,体验和感受数学发现和创造的过程, 体会向量和三角函数间的联系; 三、情感态度价值观: 用余弦的差角公式推出余弦的和角公式,理解化归思想在三角变换中的作用 教学重点难点:两点间的距离公式及两角和的余弦公式的推导

【教学过程】 一.复习回顾
1.数轴两点间的距离公式: MN ? x1 ? x2 . 2.点 P( x, y ) 是 ? 终边与单位圆的交点,则 sin ? ? y,cos ? ? x .

二、新课讲解:
1.两点间的距离公式及其推导 设P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 是 坐 标 平 面 内 的 任 意 两 点 , 从 点 P 1, P 2 分别作 x 轴的垂线

PM 1 1, P 2 M 2 ,与 x 轴交于点 M1 ( x1 ,0), M 2 ( x2 ,0) ;再从点 P 1, P 2 分别作 y 轴的垂线
PN 1 1, P 2 N 2 ,与 y 轴交于点 N1 (0, y1 ), N 2 (0, y2 ) .直线 P 1 N1 与 P 2 M 2 相交于点 Q ,那么
PQ ? M 1M 2 ? x2 ? x1 , QP2 ? N1 N 2 ? y2 ? y1 . 1
2 ? QP2 ? x2 ? x1 ? y2 ? y1 由勾股定理,可得 PP 1 2 ? PQ 1 2 2
2 2

y
N2
M1 P2 M2

? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2
∴P 1P 2 ?

O
P 1 N1

x
Q

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 .

2.两角和的余弦公式的推导 在直角坐标系 xOy 内作单位圆 O , 并作角 ? , ? 与 ? ? , 使角 ? 的始边为 Ox , 交⊙ O 于 点P 3 ;角 ? ? 的始边为 1 ,终边交⊙ O 于点 P 2 ;角 ? 的始边为 OP 2 ,终边交⊙ O 于点 P

OP 1, P 2, P 3, P 4 的坐标分别是 P 1 ,终边交⊙ O 于点 P 1 (1,0) , P 2 (cos ? ,sin ? ) , 4 ,则点 P

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P3 y
?

P2
?

P1

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P3 (cos(? ? ? ),sin(? ? ? )) , P4 (cos(? ? ),sin(? ? )) ,
2 2 ? PP 1 3 ? P 2P 4 ,∴ [cos(? ? ? ) ? 1] ? sin (? ? ? )

? [cos(? ? ) ? cos ? ]2 ? [sin(? ? ) ? sin ? ]2
得: 2 ? 2cos(? ? ? ) ? 2 ? 2(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ∴ cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin? sin ? .( C(? ? ? ) ) 3.两角差的余弦公式 在公式 C(? ? ? ) 中用 ? ? 代替 ? ,就得到

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
说明:公式 C(? ? ? ) 对于任意的 ? , ? 都成立。 三、例题分析 例 1、求值(1) cos 75 ;
?

( C? ? ? )

(2) cos195 ; (3) cos54 cos36 ? sin 54 sin 36
? ? ? ?

?

四、课堂小结:

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