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专题篇 专题五 解析几何 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质课时作业 文

2017 届高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题五 解析几何 第 二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质课时作业 文
x y 3 1.已知双曲线 - 2=1(b>0)的离心率等于 b,则该双曲线的焦距为( 4 b 3
A.2 5 C.6 B.2 6 D.8
2 2

)

c 3 2 2 解析:设双曲线的焦距为 2c.由已知得 = b,又 c =4+b ,解得 c=4,则该双曲线的焦 2 3
距为 8. 答案:D 2.(2016·高考全国Ⅱ卷)设 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,曲线 y= (k>0)与 C 交于点 P,
2

k x

PF⊥x 轴,则 k=(
1 A. 2 3 C. 2

) B.1 D.2

解析:根据抛物线的方程求出焦点坐标,利用 PF⊥x 轴,知点 P,F 的横坐标相等,再根据 点 P 在曲线 y= 上求出 k. ∵y =4x,∴F(1,0). 又∵曲线 y= (k>0)与 C 交于点 P,PF⊥x 轴, ∴P(1,2). 将点 P(1,2)的坐标代入 y= (k>0)得 k=2.故选 D. 答案:D 3.(2016·湖南模拟)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,以 F1、
2

k x

k x

k x

x2 y2 a b

F2 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为(
A. - =1 16 9 C. - =1 9 16

)

x2

y2

B. - =1 3 4 D. - =1 4 3
2 2

x2 y2 x2 y2

x2

y2

解析:由已知可得交点(3,4)到原点 O 的距离为圆的半径,则半径 r= 3 +4 =5,故 c=5,

1

b a2+b2=25,又双曲线的一条渐近线 y= x 过点(3,4),故 3b=4a,可解得 b=4,a=3,故 a
选 C. 答案:C 4. (2016·广东五校联考)已知双曲线 - 2=1(b>0)的右焦点与抛物线 y =12x 的焦点重合, 4 b 则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( A. 5 C.3 ) B.4 2 D.5
2 2 2

x2 y2

2

解析: 由题易得抛物线的焦点为(3,0), ∴双曲线的右焦点为(3,0), ∴b =c -a =9-4=5, ∴双曲线的一条渐近线方程为 y= 答案:A 5. (2016·高考全国Ⅰ卷)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A, B 两点, 交 C 的准线于 D, 5 |3 5| x,即 5x-2y=0,∴所求距离为 d= = 5. 2 5+4

E 两点.已知|AB|=4 2,|DE|=2 5,则 C 的焦点到准线的距离为(
A.2 C.6 B.4 D.8

)

解析:设出抛物线和圆的方程,将点的坐标代入,联立方程组求解. 设抛物线的方程为 y =2px(p>0),圆的方程为 x +y =r . ∵|AB|=4 2,|DE|=2 5, 抛物线的准线方程为 x=- , 2
2 2 2 2

p

?4 ? ? p ? ∴不妨设 A? ,2 2?,D?- , 5?. ?p ? ? 2 ? ?4 ? ? p ? 2 2 2 ∵点 A? ,2 2?,D?- , 5?在圆 x +y =r 上, p 2 ? ? ? ?
16 ? ? p +8=r , ∴? p ? ? 4 +5=r ,
2 2 2 2

16 p ∴ 2 +8= +5,∴p=4(负值舍去). p 4 ∴C 的焦点到准线的距离为 4. 答案:B

2

x2 y2 6.(2016·郑州模拟)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2 的直线与 a b
2

椭圆交于 A, B 两点, 若△F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形, 则椭圆的离心率为( A. 2 2 B.2- 3 D. 6- 3

)

C. 5-2

解析:设|F1F2|=2c,|AF1|=m,若△ABF1 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则|AB|= |AF1|=m,|BF1|= 2m.由椭圆的定义可得△ABF1 的周长为 4a,即有 4a=2m+ 2m,即 m= (4-2 2)a,则|AF2|=2a-m=(2 2-2)a,在 Rt△AF1F2 中,|F1F2| =|AF1| +|AF2| ,即 4c
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

=4(2- 2) a +4( 2-1) a , 即有 c =(9-6 2)a , 即 c=( 6- 3)a, 即 e= = 6- 3, 故选 D. 答案:D 7. (2016·西安模拟)过双曲线 x - =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线, 交该双曲线的两条 3 渐近线于 A,B 两点,则|AB|=________. 解析: 双曲线的右焦点为 F(2,0), 过 F 与 x 轴垂直的直线为 x=2, 渐近线方程为 y=± 3x, 将 x=2 代入 y=± 3x,得 y=±2 3,∴|AB|=4 3. 答案:4 3 8.(2016·高考北京卷)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA,OC 所 在的直线,点 B 为该双曲线的焦点.若正方形 OABC 的边长为 2,则 a=________. 解析:根据图形分析出半焦距长、实半轴长与虚半轴长之间的关系,进而求解. 不妨令 B 为双曲线的右焦点,A 在第一象限,则双曲线如图所示.
2

c a

y2

x2 y2 a b

∵四边形 OABC 为正方形,|OA|=2, π ∴c=|OB|=2 2,∠AOB= . 4 ∵直线 OA 是渐近线,方程为 y= x, ∴ =tan∠AOB=1,即 a=b. 又∵a +b =c =8,∴a=2. 答案:2
2 2 2

b a

b a

3

1 2 9.已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,抛物线上横坐标为 的点到抛物线顶点的距离与其 2 到准线的距离相等.

(1)求抛物线的方程; (2)设过点 P(6,0)的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,若以 AB 为直径的圆过点 F,求直线 l 的方程. 1 p 解析:(1)由题意知 + = 2 2 解得 p=2 或 p=0(舍去). ∴抛物线的方程为 y =4x. (2)由题意可知,直线 l 不垂直于 y 轴, 可设直线 l:x=my+6,
? ?y =4x, 由? ?x=my+6, ?
2 2

1 +p, 4

可得 y -4my-24=0.
? ?y1+y2=4m, ? ?y1y2=-24.

2

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则?

→ → ∵以 AB 为直径的圆过点 F,∴FA⊥FB,即FA·FB=0. 可得(x1-1)(x2-1)+y1y2=0, ∴(x1-1)(x2-1)+y1y2=(1+m )y1y2+5m(y1+y2)+25=-24(1+m )+20m +25=0, 1 解得 m=± , 2 1 ∴直线 l 的方程为 x=± y+6,即 2x±y-12=0. 2 10.如图,已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的下顶点为 B,右焦点为 F,直线 BF 与椭圆 E 的另 → → 一个交点为 A,BF=3FA.
2 2 2

x2 y2 a b

(1)求椭圆 E 的离心率;
4

2 3+2 (2)若点 P 为椭圆上的一个动点,且△PAB 面积的最大值为 ,求椭圆 E 的方程. 3 → → 解析:(1)∵BF=3FA,B(0,-b),F(c,0),

?4 1 ? ∴A? c, b?. ?3 3 ? ?4c?2 ?b?2 ? 3 ? ?3? ? ? ? ?
a
2

代入椭圆方程可得



b

2

=1,得 =

c a

2 2 ,即离心率 e= . 2 2

(2)由(1)可得 a= 2c,b=c,可得 kAB=1,所以直线 AB 的方程为 y=x-c. 4 2 ?4 1 ? 可得点 A? c, c?,B(0,-c),|AB|= c. 3 ?3 3 ? 当△PAB 面积取最大值时,动点 P 离直线 AB 的距离最远. 设直线 l:y=x+m(m>0)为椭圆 E 的一条切线,且 l∥AB.

y=x+m, ? ? 2 由? x y2 + 2 2=1 ? ?2c c

? 3x +4mx+2m -2c =0,由 Δ =0? m= 3c.

2

2

2

故 l:y=x+ 3c,此时直线 l 与直线 AB 之间的距离 d,即为动点 P 到直线 AB 的最远距离. 又直线 AB 的方程为 y=x-c,由两平行线间距离公式得 d= 1 1 4 2 此时 S△PAB= |AB|·d= · c· 2 2 3 3+ 2 3+ 2

c

.

c 2 3+2
= 3

c2=

2 3+2 ,所以 c=1,a= 2, 3

b=1,
因此椭圆 E 的方程为 +y =1. 2 11.(2016·昆明模拟)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右顶点分别为 A,B,其离心率

x2

2

x2 y2 a b

e= ,点 M 为椭圆上的一个动点,△MAB 面积的最大值是 2 3.
(1)求椭圆的方程; (2)若过椭圆 C 右顶点 B 的直线 l 与椭圆的另一个交点为 D, 线段 BD 的垂直平分线与 y 轴交 → → 于点 P,当PB·PD=0 时,求点 P 的坐标.

1 2

c 1 1 2 2 2 解析:(1)由题意可知 e= = , ×2ab=2 3,a =b +c , a 2 2
解得 a=2,b= 3, 所以椭圆方程是 + =1. 4 3

x2 y2

5

(2)由(1)知 B(2,0),设直线 BD 的方程为 y=k(x-2),D(x1,y1),把 y=k(x-2)代入椭圆 方程 + =1,整理得 4 3 (3+4k )x -16k x+16k -12=0, 16k 8k -6 所以 2+x1= 2? x1= 2, 3+4k 3+4k -12k ? ?8k -6 则 D? 2, 2 , 3 + 4 k 3 +4k ? ? ?
2 2 2 2 2 2 2

x2 y2

? 8k 2, -6k 2?, 所以 BD 中点的坐标为? ? ?3+4k 3+4k ?
8k ? -6k 1? 则直线 BD 的垂直平分线方程为 y- 2?, 2=- ?x- 3+4k k? 3+4k ? 2k ? ? 得 P?0, 2?. ? 3+4k ? → → 又PB·PD=0, 2k ? ?8k -6 -14k ? ? 即?2,- 2?·? 2, 2?=0, 3+4k ? ?3+4k 3+4k ? ? 64k +28k -36 4 2 化简得 2 2 =0? 64k +28k -36=0, +4k 3 解得 k=± . 4 2? ? 2? ? 故 P?0, ?或?0,- ?. 7 7 ? ? ? ?
4 2 2 2

2

6


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