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2.1.2 指数函数及其性质


§2.1.2指数函数及其性质
—— 第一课时

问题
《庄子?天下篇》中写道:一尺之棰,日取其半,万世 不竭。那么,截取 x 天之后(x ? 1 ),木棰的剩余量 y 和 x 之间的函数关系式。

1 2

1 2 ( ) 2 1 3 ( ) 1 4 2 ( ) … … 2

1 x y = ( ) , x ? N+ 2

观察
下面2个解析式,你能发现它们有什么共同特征吗?

1 x y =( ) ,x? N 2

特点:

y = 1.073x , x 危N + , x

20

①都是幂的形式 ②底数是常数 ③指数是变量

概念
x

严格的格式

1) 叫做指数函数,其中 一般地,函数 y = a , (a > 0且a ≠ x 是自变量,函数的定义域为 R 。

此处,为什么规定 a > 0且a ? 1呢?

强化
例1.下列函数中是指数函数的是? ╳ ( 1)y = x 7 (2) y = ( p ) x ( 3) y = 2 ?3x (4)y = 3- x ╳ 2 1 ╳ ╳ y = (2a - 1) x , a > 0且a ? 1 ( 5)y = 4 x - 1 ( 6) y = 5 x ( 7) ╳

特征: ①底数是常数,指数是变量的幂 ②幂前的系数必须为1 ③底数必须是大于0且不等于1的实数
2 x 练1:函数 y = (a - 2) a 是指数函数,求 a 的值。

探究

图象及其性质

我们学过的每一类函数都有它自己的特征图象, 一次函数的图象是一类直线, y 二次函数的图象是一类曲线,

x

那么指数函数的图象会是什么形状呢? 我们规定a 的取值范围是 (0,1) ? (1, +? ) ,那么不同 范围内取值对图象会有什么影响?
1 x 1 x 请以 y = 2 , y = 3 , y = ( ) , y = ( ) 四个指数函数图象 2 4
x x

交流讨论。

描点法画图
x –4.00 –3.50 –3.00 –2.50 –2.00 –1.50 –1.00 –0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 (0.5) 16.00 x 0.25x 11.31 –3 64.00 8.00 –2 16.00 5.66 –1 4.00 4.00 0 1.00 2.83 1 0.25 2.00 2 0.06 1.41 3 0.02 1.00 0.71 0.50 0.35 0.25 0.18 0.13
x

——列表 描点 连线 y
8 7
x –4.00 –3.50 –3.00 –2.50 –2.00 –1.50 –1.00 –0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 6.00 2 0.06 0.09 0.13 0.18 0.25 0.35 0.50 0.71 1.00 1.41 2.00 2.83 4.00 5.66 8.00 64.00
x

6

y

x y = 0.25 6
5

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

3 0.01 0.04 0.11 0.33 1.00 3.00 9.00 27.00 81.00

x

y = 3x
5

4

y = 2x

4

3

y = 0.5x

3 2

2

1

1

–4

–3

–2

–1

O

1

2

3

4

x

–5

–4

–3

–2

–1

O

1

2

3

4

5

6

x

函数的性质??
x (0.5)x –4.00 16.00 –3.50 11.31 –3.00 8.00 –2.50 5.66 –2.00 4.00 –1.50 2.83 –1.00 2.00 –0.50 1.41 0.00 1.00 0.50 0.71 1.00 0.50 1.50 0.35 2.00 0.25 2.50 0.18 3.00 0.13

y
x 0.25x –3 64.00 –2 16.00 –1 4.00 0 1.00 1 0.25 2 0.06 3 0.02
8 7

x y = 0.25 6
5

4

y = 0.5x

3 2

1

–4

–3

–2

–1

O

1

2

3

4

x

结论
函数

1 x y =( ) 2
y

1 x y =( ) 4
y

图象 1 o 定义域 x 1 o x

R
(0, +? )

R
(0,1)

值域
公共点 单调性 奇偶性

(0, +? )




R 上是减函数


R 上是减函数


比较归纳

一般结论
函数

y ? ax
图象

a ?1

0 ? a ?1
y

1 o 定义域 值域 定点 单调性 奇偶性

x

R
(0, +? )

(0,1)


R 上是减函数


6

y

x –4.00 –3.50 –3.00 –2.50 –2.00 –1.50 –1.00 –0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 6.00

2x 0.06 0.09 0.13 0.18 0.25 0.35 0.50 0.71 1.00 1.41 2.00 2.83 4.00 5.66 8.00 64.00

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

3x 0.01 0.04 0.11 0.33 1.00 3.00 9.00 27.00 81.00

y = 3x
5

4

y = 2x

3

2

1

–5

–4

–3

–2

–1

O

1

2

3

4

5

6

x

一般结论
函数

y ? ax
图象

a ?1
y 1 o

0 ? a ?1
y

x

1 o

x

定义域 值域 定点 单调性 奇偶性

R
(0, +? )

R
(0, +? )

(0,1)


(0,1)


R 上是增函数


R 上是减函数


位置关系
y = 0.25x

第一象限内图象位置: 底数较大的指数函数图象居于 底数较小的指数函数图象上部 14 y
13 12 11 10 9

y = 3x y = 2x

y = 0.5x

8 7 6 5 4 3 2 1

–5

–4

–3

–2

–1

O
–1 –2

1

2

3

4

5

x

观察函数

y?2

x

1 x y ?( ) 2
如何证明?
y
11 10

的图象,

你能猜想到什么结论?

y = 0.5x

9 8 7 6 5 4 3 2 1

y = 2x

–4

–3

–2

–1

O
–1 –2

1

2

3

4

5

x

猜想:函数 y = a 和函数 关于 y轴对称

x

骣 1 y =琪 琪 a 桫
y
11 10

x

的图象

图象对称

骣 1 ( - x, 琪 琪 a 桫

-x

9 8

点对称

)

7 6 5 4 3 2 1

( x, a )

x

方程

–4

–3

–2

–1

O
–1 –2

1

2

3

4

5

x

巩固
x- 1 y = 2 a + 3(a > 0且a ? 1) 恒过定点( 例1:函数

)。

练1:函数 y = 2a

x- 1

+a

x2 - 1

(a > 0且a ? 1) 恒过定点(

)。

巩固
例2:函数 y = a x (a > 0且a ? 1) 在 [1, 2] 上的最大值与最 小值之和为6,求 a 的值。

x y = a (a > 0且a ? 1) 在区间[-2, 2]上的 练2:已知函数 函数值总小于2,求 a 的取值范围。

作业布置
层次一:习题2.1A组 第5,6题 层次二:习题2.1B组 第1,4题 思考:以下是指数函数① y = a ② y = b ③ y = c ④ y = d 的图象,则 a, b, c, d 之间的大小关系是( )
x x x x

y
② ③


1



x


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