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2000-2012全国高中数学联赛分类汇编 专题11 三角函数


1、 (2000 一试 2) 设 sin?>0,cos?< 0,且 sin (A)(2k?+

?
3
(

>cos

?
3

,则

?
3

的取值范围是(

)

? ? ,2k?+ ), k?Z 3 6 5? (C)(2k?+ ,2k?+?),k?Z 6

(B)

2k? ? 2k? ? + , + ),k?Z 3 6 3 3

(D)(2k?+

? ,2k?+ ? ) ? (2k?+ 5? ,2k?+?),k?Z
4 3
6

2、 (2001 一试 3)在四个函数y=sin|x|、y=cos|x|、y=|ctgx|、 y=lg|sinx|中,以 π 为周期、在(0,π /2)上单调递增的偶函数是( ) . A.y=sin|x| B.y=cos|x| C.y=|ctgx| D.y=lg|sinx|
[来源:Zxxk.Com]

3、 (2003 一试 4)若 x∈[- ( ) (A) 【答案】C 12 2 5

5? 2? ? ? ? ,- ],则 y=tan(x+ )-tan(x+ )+cos(x+ )的最大值是 12 3 3 6 6 11 2 6 11 3 6 12 3 5

(B)

(C)

(D)

2? ? 5? ? ? ? ? 【解析】令 x+ =u,则 x+ =u+ ,当 x∈[- ,- ]时,u∈[- ,- ], 6 3 2 12 3 4 6

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

y=-(cotu+tanu)+cosu=-

2 ? ? +cosu.在 u∈[- ,- ]时,sin2u 与 cosu 都单调递增, sin2u 4 6

11 ? 从而 y 单调递增.于是 u=- 时,y 取得最大值 3,故选 C . 6 6

4、 (2004 一试 1 )设锐角?使 关于 x 的方程 x +4xcos?+cot?=0 有重根,则?的弧度数为 ( )
2

A.
【答案】B

?
6

? 5? B. 或
12 12

? 5? C. 或
6 12

D.

?

12

1 ? ? 5? 2 【解】由方程有重根,故 ?=4cos ?-co t?=0,∵ 0<?< ,?2sin2?=1,??= 或 .选 B. 4 2 12 12
[来源:学科网]

5、 (2007 一试 4)设函数 f(x)=3sin x+2cosx+1 。若实数 a、b、c 使得 af(x)+bf(x? c)=1 对 任意实数 x 恒成立,则 A. ?

1 2

b cos c 的值等于( a 1 B. 2

) C. ? 1 D. 1

6、 (2000 一试 7)arcsin(sin2000?)=__________. 【答案】-20° 【解析】sin2000°=sin(5×360°+200°)=sin200°=-sin20° 故 a rcsin(sin2000°)= a rcsin(-sin20°)= - a rcs in(sin20°)= -20° 7、 (2002 一试 12)使不等式 sin x+acosx+a ≥1+cosx 对一切 x∈R 恒成立的负数 a 的取值 范围是 。 【答案】(-∞,2]
2 2

8、 (2006 一试 7)设 f ( x) ? sin 4 x ? sin x cos x ? cos4 x ,则 f ( x) 的值域是



9、(2007 一试 4)已知函数 f ( x) ? 为 【答案】 。

sin(πx) ? cos(πx) ? 2 1 5 ( ? x ? ) ,则 f(x)的最小值 4 4 x

4 5 5

[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

π 2 sin( πx ? ) ? 2 1 5 4 f ( x) ? ( ?x? ) , 设 【 解 析 】 实 际 上 4 4 x π 1 5 1 3 3 5 g ( x) ? 2 sin( πx ? )( ? x ? ) ,则 g(x)≥0,g(x)在 [ , ] 上是增函数,在 [ , ] 上 4 4 4 4 4 4 4 3 1 3 3 5 是减函数,且 y=g(x)的图像关于直线 x ? 对称,则对任意 x1 ? [ , ] ,存在 x2 ? [ , ] , 4 4 4 4 4
使 g(x2)=g(x1)。于是

f ( x1 ) ?

3 5 g ( x1 ) ? 2 g ( x2 ) ? 2 g ( x2 ) ? 2 ? ? ? f ( x2 ) ,而 f(x)在 [ , ] 上是减函数,所以 4 4 x1 x1 x2

1 5 5 4 5 4 5 f ( x) ? f ( ) ? ,即 f(x)在 [ , ] 上的最小值是 。 4 4 4 5 5

10、 (2008 一试 8)设 f ( x) ? cos 2 x ? 2a(1 ? cos x) 的最小值为 ?

1 ,则 a ? 2

.

11、 (2008 一试 13 ) 已知函数 f ( x) ?| sin x | 的图像与直线 y ? kx (k ? 0) 有且仅有三个交点, 交点的横坐标的最大值为 ? ,求证:

cos ? 1? ? 2 . ? sin ? ? sin 3? 4?

12、 (2010 一试 2)已知函数 y ? (a cos x ? 3) sin x 的最小值为 ? 3 ,则实数 a 的取值范围
2



.

【答案】 ?

3 ? a ? 12 2

2 【解析】令 sin x ? t ,则原函数化为 g (t ) ? (?at ? a ? 3)t ,即 3 2

g (t ) ? ?at 3 ? (a ? 3)t .

(t ? 1)(?at(t ? 1) ? 3) ? 0 及 t ? 1 ? 0 由 ? at ? (a ? 3)t ? ?3 , ? at(t ? 1) ? 3(t ? 1) ? 0 ,
知 ? at(t ? 1) ? 3 ? 0 即

a(t 2 ? t ) ? ?3 .

(1)

当 t ? 0,?1 时(1)总成立;

对 0 ? t ? 1,0 ? t 2 ? t ? 2 ;对 ? 1 ? t ? 0,?

1 3 ? t 2 ? t ? 0 .从而可知 ? ? a ? 12 . 4 2

13 、 ( 2011 一试 4 )如果 cos5 ? ? sin5 ? ? 7(sin3 ? ? cos3 ? ) , ? ? [0,2? ) ,那么 ? 的取值范围 是 .
[来源:学科网 ZXXK]

14、 (2012一试7)满足

1 ? 1 ? sin ? 的所有正整数 n 的和是 4 n 3



1 3 1 cos 2 x ? a ? ? , a ? R, a ? 0 2 a 2 (1)若对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围; (2)若 a ? 2 ,且存在 x ? R ,使得 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围. 3 2 【解析】(1) f ( x) ? sin x ? a sin x ? a ? . 令 t ? sin x(?1 ? t ? 1), 则 a 3 g (t ) ? t 2 ? at ? a ? ???? 4 分 a
15、 (2011一试9)已知函数 f ( x) ? a sin x ?


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