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永州市2013年高考第一次模拟考试试卷


永州市 2013 年高考第一次模拟考试试卷



学(理科)
王勇波(祁阳县一中)

命题人:申俭生(永州市三中) 左加(永州市一中) 审题人:唐作明(永州市教科院)

注意事项: 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。考试时间 120 分钟,满分 150 分。答题前,考生务必用黑色碳素笔 将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并认真核准条形码上的准考证号、姓名及科目,在规定的位置贴好 条形码。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束时,只交答题卡。 参考公式: 锥体的体积公式 V=

如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) .

1 Sh,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. ) 1. 设集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2}, B ? {x | x 2 ≤1} ,则 A ? B ? A. ( ?1,1] C. [ ?1, 2) 2. “ x ? 3 ”是“ x ? 3 ? 0 ”的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 3. 如图是某几何体的三视图,其中正视图是边长为 2 的等边三角形, 圆,则该几何体的体积是 A.
?

B. ( ?1,1)

D. ( ?1, 2)

俯视图是半
(第 3 题图)

? 3

B.

2? 3

C.

2? 6

D.

3? 6


4. ? 04 cos 2 xdx =

6 0 5 7 1 2 1 3 3 3 1 3 A. B.1 C.2 D. 2 2 2 2 2 3 4 5.甲、乙两人在淘宝网各开一家网店,直销同一厂家的同一种产品,厂家为 5 7 3 4 2 2 的销售业绩,随机选了 10 天,统计两店销售量,得到如图所示的茎叶图, 1 8 1 5 8 据可知

考察两人 由图中数

A.甲网店的极差大于乙网店的极差 C.乙网店的众数是 42

B.甲网店的中位数是 46 D.甲网店的销售业绩好

(第 5 题图)

6.等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , S9 ? ?18 , S13 ? ?52 ,等比数列 {bn } 中, b5 ? a5 , b7 ? a7 ,则 b6 的值 A. 2 2 B. 2 C . 2 2 或 ?2 2 ? 1 ? 7.若 sin( ? ? ) ? ? ,则 cos( ? 2? ) ?
3 7 A. ? 9 3

D.2 或-2

3

B. ?

1 3

C.

1 3

D.

7 9

1 8.设函数 f(x)=- ,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0),若 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且仅有两个不同的 x 公共点 A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是 A.当 a<0 时,x1+x2>0,y1+y2>0

B.当 a<0 时,x1+x2<0,y1+y2<0 C.当 a>0 时,x1+x2>0,y1+y2<0 D.当 a>0 时,x1+x2<0,y1+y2>0 二、填空题(本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,满分 35 分,把答案填在答题卡中对应题号 的横线上. ) (一)选做题(请考生在 9、10、11 三题中任选两题作答,如全做则按前两题计分) . 9.如图, AB 是⊙O 的直径, C 是 AB 延长线上一点, CD 与⊙O 相切 =
? ,则∠AED=_____. 6
2 2 2

于点 E, ∠C

10.已知 x, y, z∈R,且 x ? y ? z ? 1 ,则 x ? 2 y ? 3z 的最大 值是 . ? x ? 2 cos ? 11. 已知在平面直角坐标系 xoy 中, 圆 C 的参数方程为 ? (? ? y ? 1 ? 2sin ?
? 坐标方程为 2 ? sin(? ? ) ? 1 ,则圆 C 截直线 l 所得的弦长为
3

(第 9 题图)

为参数),与

直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极 .

(二)必做题(12~16 题) 12. 二男二女共四个学生站成一排照相,两个女生必须相邻的站法有 13. 已知 A、 B 是圆 C (C 为圆心) 上的两点,| AB | =2, 则 AB ? AC = 14.双曲线 C:

种. (用数字作答)

开始 n=1
1 3 1 3 z0 ? ? ? i, z ? ? ? i 2 2 2 2

???

??? ??? ?

的坐标是(1,4) ,则|PF1|+|PQ|的最小值为

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1、F2,P 是 C 右支上一动点, 9 7

点 Q



15.执行如图所示的程序框图,则输出的复数 z 是



z ? z0 ? z
n=n+1 否

n>2013?
是 输出 z 结束

16.电脑系统中有个“扫雷”游戏,要求游戏者标出所有的雷,游戏规则:一 个 方 (第 15 题图) 块下面至多埋一个雷,如果无雷掀开方块下面就标有数字,提醒游戏者此 数 字 周围的方块(至多八个)中雷的个数(0 常省略不标),如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中有且仅有 3 个埋 有雷.图乙是张三玩游戏中的局部,图中有 4 个方块已确定是雷(方块上标有旗子),则上方左起八个方块中 (方块正上方对应标有字母),能够确定一定不是雷的有 ,一定是雷的有 .(请填入方块上方 对应字母)

ABCDEFG

(甲) (第 16 题图) (乙)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? 3, b ? 4,

2 . 3 (1) 求 ?ABC 的面积; (2) 求 sin( B ? C ) 的值. cos C ?

18. (本小题满分 12 分)永州市举办科技创新大赛,某县有 20 件科技创新作品参赛,大赛组委会对这 20 件作 品分别从“创新性”和“实用性”两个方面进行评分, 每个方面评分均按等级采用 3 分制(最低 1 分, 最高 3 分), 若设“创新性”得分为 x ,“实用性”得分为 y ,得到统计结果如下表,若从这 20 件产品中随机抽取 1 件. (1)求事件 A:“x ≥2 且 y≤2”的概率; (2)设ξ为抽中作品的两项得分之和,求ξ的数学期望.
作品数

y
实 用 性

x 1分 2分 3分







1分 2 1 2

2分 0 4 2

3分 2 1 6

19. (本小题满分 12 分)如图所示,直角梯形 ABCD 中,∠A=∠D=90o,AD=2,AB=3,CD=4,P 在线段 AB 上,BP=1,O 在 CD 上,且 OP∥AD,将图甲沿 OP 折叠使得平面 OCBP⊥底面 ADOP,得到一个多面 体(如图乙),M、N 分别是 AC、OP 的中点. (1) 求证:MN⊥平面 ACD; (2) 求平面 ABC 与底面 OPAD 所成角(锐角)的余弦值.

(甲)

(第 19 题图)

(乙)

20. (本小题满分 13 分)提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.一般情况下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当车流密度不超过 50 辆/千米时,车流速度为 30 千米/小时.研究表明:当 50<x≤200 时,车流速度 v 与车流密度 x 满足 v ( x ) ? 40 ? 流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0 千米/小时. (1) 当 0<x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2) 当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数,单位:
k 250 ? x

,当桥上的车

辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到个位,参考数据 5 ? 2.236 ) 21. (本小题满分 13 分)在直角坐标系 xoy 中,椭圆 C1:
y a
2 2

?

x b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的离心率 e ?

3 2



F 是抛物线 C2:y2=4x 的焦点, C1 与 C2 交于 M,N 两点(M 在第一象限),且|MF|=2. (1) 求点 M 的坐标及椭圆 C1 的方程; (2) 若过点 N 且斜率为 k 的直线 l 交 C1 于另一点 P,

(第 21 题图)

交 C2 于另一点 Q,且 MP⊥MQ,求 k 的值.

22.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? ln(1 ? x ) ? p x . (1) 若函数 f ( x ) 在定义域内为减函数,求实数 p 的取值范围; (2) 如果数列 {an } 满足 a1 ? 3 , an ?1 ? [1 ? 当 n ? 2 时, 4 ? an ? 4e 4 .
3

1 n (n ? 1)
2 2

]an ?

1 4n

,试证明:

永州市 2013 年高考第一次模拟考试

数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) ACDA DCAB 二、填空题(每小题 5 分,共 35 分) (一)选做题(9-11 题,考生只能从中选做 2 题,如果多做则按前两题计分) 9.
? 3

10. 14

11.

4

(二)必做题(12-16 题) 12. 12 15.
1 3 ? + i 2 2

13. 2 16. (1)A,C,E;

14.

11

(2)B,D,F,G

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)在△ ABC 中,∵ cos C ?
1 2 2 , 3 2 3 5 . 3

∴ sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? ( ) 2 ? ∴ S ?ABC ? ab sin C ? 2 5 .

………………………2 分 ………………………5 分

(Ⅱ)由余弦定理可得, c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 9 ? 16 ? 16 ? 9 ∴ c ? 3. …………………………………………7 分 又由正弦定理得,
c b , ? sin C sin B

5 4? b ? sin C 4 5 3 ? ? ∴ sin B ? . c 3 9 a 2 ? c2 ? b2 1 cos B ? ? 2ac 9

……………………9 分 ………………… 10 分
4 5 2 1 5 7 5 ? ? ? ? 9 3 9 3 27



sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?



… … … … 1 2 分

18.(本小题满分 12 分) 解:(1) 从表中可以看出,事件 A:“x ≥2 且 y≤2”的作品数量为 7 件,



7 ? 0.35 . 20

“x



2



y



2”









…………5 分

x p

1 1 4

2 3 10

3 9 20

(2) 方法一:由表可知“创新性”得分 y 有 1 分、 2 分、 3 分三个等级,每个等级分别有 5 件,6 件,9 件, “创新性”得分 x 的分布列为: 则“创新性”得分的数学期望为

1 3 9 11 ? ? 2.2 ; Ex = 1? ? 2 ? ? 3 ? 4 10 20 5

…………8 分

“实用性”得分 y 有 1 分、 2 分、 3 分三个等级,每个等级分别有 4 件,6 件,10 件, “实用性”得分 y 的分布列为:

y

故“实用性”得分的数学期望为

所以ξ数学期望 Eξ=E (x+y)=Ex+Ey=2.2+2.3=4.5

1 3 1 23 ? 2.3 …………10 分 Ey = 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 5 10 2 10

p
…………12 分 2 3

1 1 5

2 3 10

3 1 2

方法二:作品的总得分ξ的可能取值为 2 分,3 分,4 分,5 分,6 分, ξ 由表中可知对应的作品数量分别为 2 件,1 件,8 件,3 件,6 件, …………8 分 P 则 作 品 的 总 得 分 ξ 的 分 布 列 为: …………10 分 所以ξ数学期望为 Eξ= 2 ?
1 1 2 3 3 9 ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? ? 4.5 10 20 5 20 10 2

1 10

1 20

2 5

4

3 20

5

3 10

6

…………12 分 19.(本小题满分 12 分) 证明 : (1)取 CD 的中点为 Q,连接 MQ,OQ,OQ ? CD, 依题意知:面 OCD⊥底面 OPAD, AD⊥OD,AD⊥平面 OCD, 而 OQ ? 面 OCD,AD⊥OQ, 又 CD ? AD=D, 所以 OQ ? 面 ACD, MQ 是 ? ACD 的中位线,故 MQ 则 MQ NO ,所以 MN∥OQ, 故 MN⊥平面 ACD;
1 AD ,NO 2 1 AD , 2

…………5 分 轴建立空间

(2) 方法一:如图所示,分别以 OP,OD,OC 为 x 轴,y 轴,z 直角坐标系. B(2,0,1),A(2,2,0) C(0,0,2), 底面 OPAD 的一个法向量 m ? (0, 0,1) , 设平面 ABC 的法向量为 n ? ( x, y , z ) ,
AB ? (0, ?2,1), CB ? (2, 0, ?1) ,

??

?

?? ?

?? ?

? ? n ? AB ? 0 ? x ? 2 ? y ? z ? 0 依题知: ? ? ??? , n ? CB ? 2 ? x ? 0 ? y ? z ? 0 ? ?
即?

? ???

…………7 分

? ? 2y ? z ? 0 ? 2x ? z ? 0



令 x=1,则 y=1,z=2, n ? (1,1, 2) , cos ? m, n ??

?

? ?

2 1? 6

?

6 3



故平面 ABC 与底面 OPAD 所成角的余弦值为 方法二:延长 CB 交 OP 于 E,连接 AE, 则 AE 是面 ABC 与底面 OPAD 的交线, 过 O 作 OF⊥AE 于 F,连 CF, 则∠CFO 就是二面角 C-AE-O 的平面角,
OF ? OE ? AP 4 ? 2 ? ?2 2, AE 2 2 OF 2 2 6 , ? ? CF 2 3 3

6 3



…………12 分

CF ? OF 2 ? OC 2 ? 2 3 ,

∠CFO=

故平面 ABC 与底面 OPAD 所成角的余弦值为 20.(本小题满分 13 分) 解:(1) 由题意:当 0<x≤50 时,v(x)=30; 当 50≤x≤200 时,由于 v ( x ) ? 40 ?

6 3



………12 分

再由已知可知,当 x=200 时,v(0)=0,代入解得 k=2000. 故函数 v(x)的表达式为 0 ? x ? 50 ?30

k , 250 ? x

v( x) ? ?

?

40 ? ? ? 250 ? x

2000

50 ? x ? 200 0 ? x ? 50 50 ? x ? 200

…………5 分

?30 x ? (2) 依题意并由(1)可得 f ( x ) ? ? 2000 x 40 x ? ? ? 250 ? x

当 0≤x≤50 时,f(x)=30x,当 x=50 时取最大值 1500. …………8 分 2000 x 2000(250 ? x) ? 2000 ?250 f ( x) ? 40 x ? ? ?40(250 ? x) ? 40 ? 250 ? 250 ? x 250 ? x 当 50<x≤200 时, ? 12000 ? [40(250 ? x) ?

500000 250 ? x

] ? 12000 ? 2 40(250 ? x) ?

500000 250 ? x

? 12000 ? 4000 5 ? 12000 ? 4000 ? 2.236 ? 3056
取等号当且仅当 40(250 ? x) ?
500000 250 ? x

, …….12 分

即 x ? 250 ? 50 5 ? 138 时,f(x)取最大值。 (这里也可利用求导来求最大值) 综上,当车流密度为 138 辆/千米时,车流量可以达到最大, 最大值约为 3056 辆/小时. 21.(本题满分 13 分) 解:(1) 抛物线 C2:y2=4x,2p=4,p=2, 设 M(x0,y0), |MF|=x0+
p ? x0 ? 1 ? 2 , 2

…………….13 分

x0=1, y0=2, 椭圆 C1:

y2 x2 c 3 , ? ? 1( a ? b ? 0) 的离心率 e ? ? a 2 a 2 b2 c2 3 b2 1 得 2 ? , 2 ? , a ? 2b , 4 4 a a y2 x2 椭圆 C1: 2 ? 2 ? 1 过点 M(1,2), 4b b

求得 b ? 2 , a ? 2 2 , 椭圆 C1 的方程是
y2 x2 ? ?1 8 2

.………6 分

(2) 点 N(1,-2),直线 l 的方程为 y+2=k(x-1),与 C1: y 2 ? 4 x 2 ? 8 ,

联立消去 y 得:4 x 2 ? (kx ? k ? 2)2 ? 8 , 整理得 (4 ? k 2 ) x 2 ? 2k ( k ? 2) x ? k 2 ? 4k ? 4 ? 0 (i) 设 P(x1,y1),易知 1,x1 是方程(i)的两根,x1= 代入直线 l 的方程得 y1 ?
2 k 2 ? 8k ? 8 , 4 ? k2 k 2 ? 4k ? 4 , 4 ? k2

…………….8 分 (ii)
?4 k ? 8 , k

y+2=k(x-1)与 y2=4x 联立消去 x 得: ky 2 ? 4 y ? 4k ? 8 ? 0

显然 k≠0,设点 Q(x2,y2),易知-2,y2 是方程(i)的两根,-2 ? y2=
2k ? 4 (k ? 2) 2 ,代入抛物线得 x2 ? , k k2 k 2 ? 4k ? 4 2k 2 ? 8k ? 8 (k ? 2)2 2k ? 4 故 P( , ), Q ( , ) ,M(1,2) k 4 ? k2 4 ? k2 k2 ???? ? 4k ? 8 ?8k ? 16 ???? 4k ? 4 4 MP ? ( , ), MQ ? ( 2 , ) , 2 2 k 4?k 4?k k ???? ???? ? 由 MP⊥MQ 有 MP ? MQ ? 0 ,

得 y2 ?

…………….10 分

………….11 分



(4k ? 8)(4k ? 4) 4( ?8k ? 16) ? ?0, k 2 (4 ? k 2 ) (4 ? k 2 ) ?5 ? 17 . 2

整理得 k 2 ? 5k ? 2 ? 0 ,求得 k ? 22.(本题满分 13 分)

….13 分

解:(1) 函数 f ( x ) ? ln(1 ? x ) ? p x 的定义域为 [0, ??) .

f ' ( x) ?

1 1? x

?

p 2 x

?

2 x ? p(1 ? x) 2(1 ? x) x 2 x 1? x ) max

.……………2 分

依题意, 2 x ? p(1 ? x) ? 0 恒成立,所以 p ? ( 由 x ? 0 ? 1? x ? 2 x ?

2 x 2 x ? 1 ,知 ( ) ?1 , 1? x 1 ? x max .……………5 分 ? p ? 1 ,∴p 的取值范围为 [1, ??) 1 1 (2) 首先,由 a1 ? 3 得 a2 ? [1 ? 2 ]? 3 ? =4 , 2 4 1 ?2 1 1 而当 an ? 0 时有 an ?1 ? an ? 2 a ? n ? 0 , ? an ?1 ? an , 2 n n (n ? 1) 4 * 所以,对 ?n ? N (n ? 2) ,都有 an ? 4 .(用数学归纳法证明也可) ………8 分 1 1 再由 an ?1 ? [1 ? 2 ]an ? n 及 an ? 4 2 n (n ? 1) 4 1 an 1 1 又得 an ?1 ? [1 ? 2 2 ]an ? n ?1 ? [1 ? 2 2 ? n ?1 ]an n (n ? 1) 4 n (n ? 1) 4 1 1 1 1 ? ln an ?1 ? ln{[1 ? 2 ? n ?1]an } ? ln[1 ? 2 ? n ?1] ? ln an 2 2 n (n ? 1) 4 n (n ? 1) 4 1 1 …………….10 分 ? ln an ?1 ? ln an ? ln[1 ? 2 ? n ?1 ] 2 n (n ? 1) 4
由(1)知当 p ? 1 时 f ( x ) 为减函数,取 p ? 1 ,则 f ( x ) ? ln(1 ? x ) ? 当 x ? 0 时 f ( x ) ? f (0) ? 0 , 故 ln(1 ? x) ?

x,

x ( x ? 0)

? ln an?1 ? ln an ? ln[1 ?

1 1 1 1 ? n?1 ] ? 2 ? n?1 2 2 n (n ?1) 4 n (n ?1) 4 1 1 1 1 1 ? ? n?1 ? ? ? n?1 n(n ?1) 2 n n ?1 2
2

? ln a3 ? ln a2 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? 3 , ln a4 ? ln a3 ? ? ? 4 ,…., 2 3 2 3 4 2 1 1 1 ln an ? ln an ?1 ? ? ? n ? 1 n 2n

将这 n-2 个式子相加得 ln an ? ln a2 ?

?

3 3 an ? e 4 ,将 a2 ? 4 代入得 an ? 4e 4 a2 3

1 1 1 1 3 ? ? (1 ? n ? 2 ) ? 2 n 4 2 4

故当 n ? 2 时, 4 ? an ? 4e 4

…………….13 分


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