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湖北省部分重点中学2016届高三上学期第一次联考数学(文)试题

湖北省部分重点中学 2016 届高三第一次联考

数学(文科)试卷
命题学校:武钢三中 命题教师:费运良 审题教师:张新华
试卷满分:150 分 考试时间:2015 年 11 月 6 日上午 8:00-10:00

★祝考试顺利★
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 满足题目要求的。)
x 1.已知集合 M ? x x ? 1 , N ? x 2 ? 1 ,则 M ? N =(

?

?

?

?

) D.

A. ?

B.

? x 0 ? x ? 1?
C. 4 ? 4i

C.

? x x ? 0?
D. 2i

? x x ? 1?


2. 已知 a, b ? R, i 是虚数单位,且 (a ? 2)i ? b ? 1 ? i ,则 (1 ? i) a ?b 的值为( A. 4 B. ?4

3. 设 a , b 是两条不同的直线, ?、? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 a / /b, a / /? ,则 b / /? C. 若 ? ? ? , a ? ? ,则 a / /? B. 若 ? ? ? , a / /? ,则 a ? ? D. 若 a ? b, a ? ? , b ? ? ,则 ? ? ?



4.若对任意非零实数 a , b ,若 a ? b 的运算规则如下图的程序 框图所示,则 (3 ? 2) ? 4 的值是( )

13 12 3 C. 2
A. 5.下列命题错误的是(
A. 对 于 命 题

B.

1 2

D. 9 )
,则

P : ?x ? R , 使 得 x2 ? x ? 1 ? 0

?p 为 :

?x ? R ,均有 x2 ? x ? 1 ? 0 ;
B. 命题“若 x C. 若
2 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为: “若 x ? 1 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ” ;

p ? q 是假命题,则 p, q 均为假命题;

D. “ x

? 2 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件.

6. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 A ? 60?, a ? 4 3, b ? 4 2 ,则 B= ( ) A. 45 ? 或 135?
B.

135?

C.

45 ?

D. 以上都不对

7.函数 f ( x ) 由以下表定义 x 2 1 5 2 3 3 1 4 4 5

f ( x)

若 a0 ? 5, an?1 ? f (an )(n ? N ) ,则 a2016 的值为
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5

8.已知定义为 R 的函数 f ( x ) 在 (8, ??) 上为减函数, 且函数 y ? f ( x ? 8) 为偶函数, 则 (
A.



f (6) ? f (7)

B.

f (6) ? f (9)

C.

f (7) ? f (9)

D.

f (7) ? f (10)

9.某唱片公司计划与参加 2015 年中国好声音“鸟巢巅峰对决”的张磊、贝贝等 5 位歌手中的 三位签约,这 5 人被签约的机会均等,则张磊或贝贝被签约的概率为( ) A.

2 3

B.

2 5

C.

3 5

D.

9 10

10. 已知“整数对”按如下规律排一列: (1,1)(1, 2)(2,1)(1,3)(2, 2)(3,1)(1, 4)(2,3)(3, 2)

(4,1),..., 则第 60 个数对是(
A. (7,5) B. (5, 7)

) C. (2,10) D. (10,1)

11. F 1 , F2 分别为椭圆 x2 ? 2 y 2 ? 1 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,线段 PF2 与 y 轴的交点为 M,且 F1M ? A.

?????

1 4

? ???? 1 ???? ( F1 F2 ? F1 P ) ,则点 M 到坐标原点 O 的距离是( 2 1 B. C. 1 D. 2 2



12.设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) 单调递减,若数列 ?an ? 是等差 数列,且 a3 ? 0 ,则 f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a4 ) ? f (a5 ) 的值 A. 恒为正数 B. 恒为负数 C. 恒为 0 D.可正可负

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.若 a ? 1, b ?

?

?

? ? ? ? ? 2, (a ? b) ? a ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为

.

?x ? 1 ? 14.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则目标函数 Z ? 3x ? y 的最大值为 ?x ? 3y ? 4 ? 0 ?

.

15.某行业从 2015 年开始实行工资改革,为了解该行业职工工资情况,调查了 1000 名该行业 的职工,并由所得数据画出了如图所示的频率分布直方图,由图可知中位数为 .现要从 这 1000 人再用分层抽样的方法抽出 100 人作进一步调查,则月收入在 ?3500,4000? (元)内 应抽出 人。

16. 定义在实数 集 R 上的函数 f ( x ) ,如果存在函数 g ( x) ? Ax? B( A ,B 为常数 ),使 得

f ( x) ? g ( x) 对一切实数 x 都成立,那么称 g ( x) 为函数 f ( x) 的一个承托函数。下列说法正确
的有: .(写出所有正确说法的序号)

①对给定的函数 f ( x ) ,对承托函数可能不存在,也可能有无数个; ②定义域和值域都是 R 的函数 f ( x ) ,不存在承托函数; ③ g ( x) ? ex 为函数 f ( x) ? e 的一个承托函数;
x

④函数 f ( x) ?

x 不存在承托函数。 x2 ? x ? 1

三、解答题(共 70 分) 17. (12 分)已知函数 f ( x) ? sin( x ? (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)若 f ( x ) 在 ? ?

?

? x ) ? sin( x ? ) ? 2 cos 2 ? a( a ? R, a为常数) 6 6 2

? ? ?? 上的最大值与最小值之和为 3 ,求 a 的值。 , ? 2 2? ?

18.(本小题满分 12 分) 等差数列 ?an ? 中, a2 ? 8 ,前 6 项的和 S6 ? 66 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)设 bn ?

2 , Tn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ,求 Tn 。 (n ? 1)an

19.(12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ? 底面ABCD , E 是 PC 的中点。 (1)证明: PA / /平面EDB ; (2)证明: 平面PAC ? 平面PDB 。

20.(12 分)已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? 4(a ? R)
3 2

(1)若函数 y ? f ( x) 的图象在点 P(1, f (1)) 处的切线的倾斜角为

? ,求 a ; 4

(2)设 f ( x ) 的导数为 f '( x) ,在(1)的条件下,若 m, n ?? ?1,1? ,求 f (m) ? f '(n) 的最小 值; (3)若存在 x0 ? (0, ??) ,使 f ( x0 ) ? 0 ,求 a 的取值范围。

21. (12 分)在面积为 9 的 ?ABC 中, tan ?BAC ? ?

??? ? ??? ? 4 ,且 CD ? 2DB , 3

现建立以 A 点为坐标原点,以 ?BAC 的平分线所在直线为 x 轴的平面直角 坐标系,如图所示 (1)求 AB、AC 所在直线的方程; (2)求以 AB、AC 所在直线为渐近线且过点 D 的双曲线的方程;

(3)过 D 分别作 AB、AC 所在直线的垂线 DF、DE (E、F 为垂足) ,求 DE ? DF 的值。

???? ????

请考生在第22~24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22.(10 分)选修4-4 :坐标系与参数方程

? ?x ? 1? ? 已知直线 l : ? ?y ? 2 ? ? ?
(1)求弦长 AB ;

2 t ? x ? 1 ? 2 cos ? 2 , (t为参数)与圆 C: ? B两点, , (? 为参数)相交于A, ? y ? 1 ? 2 sin ? 2 ? ? t 2

(2)设 P(m,0).m ? R ,求 PA ? PB 的最大值。

23.(10 分)选修4-5:不等式选讲 (1) 已知不等式 x ?1 ? x ? 2 ? a 的解集为R,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f ( x) ? x ?1 ? 2 x ? a 的最小值为 5,求实数 a 的值.

24.(10 分)选修4-1:几何证明选讲 如图,AD 是 ?ABC 外角 ?EAC 的平分线,AD 与 ?ABC 的外接圆交 于点 D,N 为 BC 延长线上一点,ND 交 ?ABC 的外接圆于点 M,求 证(1) DB ? DC ; (2) DC ? DM ? DN 。
2

湖北省部分重点中学 2016 届高三第一次联考 文科数学答案
一、选择题
题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 C 5 C 6 C 7 D 8 D 9 D 10 B 11 A 12 A

二、填空题 13、

? 4

14、

4

15、

3400

25

16、

①③

三、解答题 17、解: (1) f ? x ? ?

3 1 3 1 sin x ? cos x ? sin x ? cos x ? 1 ? cos x ? a 2 2 2 2 ?? ? ? 3 sin x ? cos x ? a ? 2sin ? x ? ? ? a 6? ?

? 最小正周期 T ? 2?
(2)? x ? ? ?

? ? 2? ? ? ?? , ? ,? ? x? ? 3 6 3 ? 2 2? ? ? ? ? x ? ? ? 即x ? ? 时, fmin ? ? 3 ? a 6 3 2 ? ? ? x ? ? 即x ? 时, f max ? 2 ? a 6 2 3
? a ? 3 ?1

?? 3 ? a ? 2 ? a ? 3

18、解: (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由

a2 ? 8

得: a1 ? d ? 8 ①

由 s6 ? 66 得 : 6a1 ? 15d ? 66 即 2a1 ? 5d ? 22 ② 联定①② ?

(2)由(1)得 bn ?

1 1 ? ? n ? 1?? n ? 2? n ? 1 n ? 2 1 ? ?1 1? ?1 1? ? 1 ?Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? bn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? 2 3? ? 3 4? ? n ?1 n ? 2 ? 1 1 ? ? 2 n?2 ?

? a1 ? 6 ?d ? 2

?an ? a1 ? ? n ?1? d ? 2n ? 4
1

19、解: (1)设 AC 与 BD 相交于点 O 则 O 为 AC 的中点

? E 是 P 的中点 ? EO / / PA 又? EO ? 平面 EDB , PA ? 平面 EDB ? PA / / 平面 EDB ? PD ? AC (2)? PO ? 平面 ABCD ? AC ? BD 又? 四边形 ABCD 为正方形 从而 AC ? 平面 PBD ,平面 PAC ? 平面 PBD
20、解: (1) f ' ? x ? ? ?3x2 ? 2ax ,由题得 f ' ?1? ? ?3 ? 2a ? tan

?
4

?1

?a ? 2

(2)由(1)知 f ? x ? ? ? x3 ? 2 x 2 ? 4, f ' ? x ? ? ?3x 2 ? 4 x ? ?3x ? x ?

? ?

4? ? 3?

由 f ' ? x ? ? 0 及 x ?? ?1,1? 得 x ? ? 0,1? ;由 f ' ? x ? ? 0 得 x ? ? ?1,0?

? 当 x ???1,1? 时, fmin ? f ? 0? ? ?4
易知 f ' ? x ? ? ?3x ? 4x 的最小值为 f ' ? ?1? ? ?7
2

? f ? m? ? f ' ? n ? 的最小值为-11 2a ? ? (3) f ' ? x ? ? ?3x ? x ? ? 3 ? ?
10 当 a ? 0 时,易知 f ' ? x ? ? 0 对 x ? ? 0, ??? 恒成立

? f ? x ? 在 ? 0, ??? ?
? a ? 0 不满足题意

又 f ? 0? ? ?4 ,? 当 x ? 0 时, f ? x ? ? ?4

20 当 a ? 0 时,由 f ' ? x ? ? 0 得: 0 ? x ?
由 f ' ? x ? ? 0 得: x ?

2a 3

2a 3

? 2a ? ? 2a ? ? f ? x ? 在 ? 0, ? ? 在 ? , ?? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 3 ? 2a ? 4a ?4 ? 当 x ?? 0, ??? 时, f max ? f ? ? ? ? 3 ? 27 4a 3 ?4 ? 0得a ? 3 由 27
综上 a ? 3 21、解: (1)设 ?CAx ? ? ,则由 tan ?BAC ? tan 2? ? 及 ? 为锐角得 tan ? ? 2 .

2 tan ? 4 ?? 2 1 ? tan ? 3

? AC 所在直线方程为 y ? 2 x ,

AB 所在直线方程为 y ? ?2 x .
(2)设所求双曲线方程为 4x ? y ? ? ? ? ? 0?
2 2

C ? x1, y1 ? B ? x2 , y2 ?

x1 ? 2 x2 2 x1 ? 4 x2 ? , ? 3 ? 3 ? 2 2 32 ? x1 ? 2 x2 ? ? 2 x1 ? 4 x2 ? ?4 ? ? ?? ? ? ? ,即 9 x1 x2 ? ? ① 3 ? 3 ? ? ? 4 4 由 tan ?BAC ? ? ,得 sin ?BAC ? 3 5

? x1 ? 0, x2 ? 0? ,由 CD ? 2DB 可得 D ? ?

??? ?

??? ?

? AB ? x2 2 ? y2 2 ? 5 x2 , AC ? x12 ? y12 ? 5 x1
1 1 4 AB AC sin ?BAC ? ? 5 ? x1 x2 ? ? 2 x1 x2 ? 9 2 2 5 2 2 x y ? ?1 代入①得 ? ? 16 ,? 双曲线方程为 4 16 ??? ? ???? (3)由题意知 ? DE, DF ?? ? ? ?BAC ? S? ABC ? ???? ???? 3 ? cos ? DE , DF ?? ? cos ?BAC ? 5 2 2 x y 设 D ? x0 , y0 ? ,则 0 ? 0 ? 1,又点 D 到 AB, AC 所在 4 16 ???? 2 x0 ? y0 ???? 2 x0 ? y0 直线距离分别为 DF ? , DE ? 5 5 ???? ???? ???? ???? ???? ???? ? DE ? DF ? DE DF ? cos ? DE , DF ?

?

2 x0 ? y0 5

?

2 x0 ? y0 3 48 ? ? 5 25 5

? ?x ? 1? ? 22、解: (1) ? ?y ? 2? ? ?
x? 由 C:

2 t 2 x ? y ? 3得 x ? y ? 3 2 t 2
得 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2
2 2

? ? x ? 1 ? 2 cos ? ? ? y ? 1 ? 2 sin ?

? 圆心 ?1,1? 到直线 l : x ? y ? 3的距离 d ?

2 2

(2)由平面几何知识易知当点 P 为直线 AB 与 x 轴的交点时,

PA ? PB 取最大值,到 P ? 3,0? ,最大值为 AB ? 3
23、解: (1)由绝对值的几何意义知 x ?1 ? x ? 2 表示 x 到 ?1 和 2 的距而之和? a ? 3 (2) f ? x ? ? x ? 1 ? 2 x ? a 表示 x 到 ?1 的距离,与到点 a 的距离的 2 倍之和,要使

y 有最小值,则数 x 与
数 a 重合,此时 a ? ? ?1? ? 5

? a ? 4 或 ?6

24、解(1) ?EAD ? ?DAC ,而 ?DAC 与 ?DBC 是同弧上的圆周角,

即 ?DAC ? ?DBC ,??EAD ? ?DBC 又? A、B、C、D 四点共圆

?? EAD = ?DCB

??DBC ? ?DCB

? D B? D C

(2)连接 CM , ?DCN ? 180? ? ?DCB

? B、C、M 、N 四点共圆

??DMC ? 180? ? ?DCB
由(1)知 ?DBC ? ?DCB

??DMC ? ?DCN
又? ?CDN ? ?MDC

?? DMC ?? DCN DM DC 2 ? ? 即 DC ? DM ? DN DC DN


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