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湖南版(第02期)2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编 专题03 导数 Word版含解析]


一.基础题组 1.
【湖南省衡阳市八中 2014 届高三上学期第三次月考试卷数学(理) 】 已知 ? 、 ? 是三次函数

f ( x) ?
是( A. ( ,1)

1 3 1 2 b?2 x ? ax ? 2bx(a, b ? R) 的两个极值点,且 ? ? (0,1) , ? ? (1, 2) ,则 的取值范围 3 2 a ?1
) B. ( ,1)

1 4

1 2

C. ( ?

1 1 , ) 2 4

D. (0, )

1 3

考点:1.导数极值;2.简单线性规划.

2. 【湖南省衡阳市八中 2014 届高三上学期第三次月考试卷数学(理) 】 集合 A ? {x | ln x ? ax ? 0} 恰有
两个子集,则 a 的取值范围为 【答案】 (??, 0] { } ________ .

1 e

考点:1.导数公式;2.函数的图像.

3.

【湖南省湖南师大附中 2014 届高三上学期第三次月考数学(理) 】直线 y=2x 与抛物线 y=3-x2 所围成 的阴影部分的面积( A. ) B. 2 2 C. 2 ? 3 D.

35 3

32 3

4.

【湖南省湖南师大附中 2014 届高三上学期第三次月考数学(理) 】 函数 y=f(x)的图像在点 M (1, f (1) )

处的切线方程为 y ?

1 x ? 2 ,则 f (1) ? f ?(1) =______ 2

5.

【湖南省湖南师大附中 2014 届高三上学期第三次月考数学(理) 】若函数 f ? x ? ? x ?
2

1 ln x ? 1 在其 2

定义域内的一个子区间 ?k ? 1, k ? 1? 内不是单调函数,则实数 k 的取值范围_______________

6.
( x ) ? ( x ? 2 )( x? c ) 【湖南省四校 2014 届高三上学期第三次联考数学(理) 】若函数 f 在 x ?2处有
2

极值,则函数 f ( x) 的图象在 x ?1处的切线的斜率为

.

7.
【汝城县第一中学、长沙县实验中学 2014 届高三年级十一月份联考数学(理) 】若

?

a 1

1 (2 x ? )dx ? 3 ? ln 2(a ? 1) ,则 a 的值是 x

.

8.【汝城县第一中学、 长沙县实验中学 2014 届高三年级十一月份联考数学 (理) 】若函数 y ?

f ( x), x ? D

同时满足下列条件, (1)在 D 内为单调函数; (2)存在实数 m , n .当 x ? [m, n] 时, y ? [m, n] ,则称 此函数为 D 内的等射函数,设 f ( x) ? (1) f ( x) 在(-∞,+∞)的单调性为 取值范围是 .

ax ? a ? 3 (a ? 0, 且a ? 1) 则: ln a
(填增函数或减函数);(2)当 f ( x) 为 R 内的等射函数时, a 的

g ( x)min ? g (0) ? 1 ? a ? 3 ? 0 ,当 x ??? 或 x ??? 时,易知 g ( x) ? ?? ;故函数 g ( x) 有两个零点,
x 即方程 a ? x ln a ? a ? 3 ? 0 有两个根.所以 0 ? a ? 1 符合题意.②当 a ? 1 时, ln a ? 0 ,

二.能力题组 1.
【湖南省湖南师大附中 2014 届高三上学期第三次月考数学(理) 】 某厂生产产品 x 件的总成本

c( x) ? 1200 ?

2 3 k 2 x (万元), 已知产品单价 P(万元)与产品件数 x 满足: P ? , 生产 100 件这样的产品单价 75 x

为 50 万元,产量定为多少件时总利润最大?



L??x ? ? 0 ,则有 x ? 25
所以当 x ? 25 件时,总利润最大 考点:导数求最值.

2.

【湖南省湖南师大附中 2014 届高三上学期第三次月考数学(理)】已 知 f (x) = xlnx. (I)求 f (x) 在[t,t+2](t>0)上的最小值;

(Ⅱ )证明: ?x ? (0, ??) 都有 1nx ?

1 2 ? 。 e x ex

(1)

当 0<t< 1 时

e

1; ?1? ,f ( x) min ? f ? ? ? ? e ?e?

1 (2)当 t≥ 时, f ( x)min ? f (t ) ? t ln t. e
1 ? 1 ? ,0 ? t ? , ? ? e e ?? 1 ?t ln t ,≥ t . ? e ?

所以 f ( x) min

3.【湖南省四校 2014 届高三上学期第三次联考数学 (理) 】由曲线 f(x)=
围成的图形面积为

x与 x 轴及直线 x ? m ( m ? 0 )

16 ,则 m 的值为 3

.

4.

【湖南省四校 2014 届高三上学期第三次联考数学(理) 】定义在 R 上的函数 f ( x) 满足: f ( 1 ) ?1,

且对于任意的 x? ( x) < R,都有 f'

log2 x ? 1 1 ,则不等式 f (log 的解集为 )> 2x 2 2

.

增函

)> 数 , ∴ 0 < x < 2 , 则 不等式 f (log 2x

log2 x ? 1 的解集为( 0 , 2 ) . 2

考点:1.利用导数研 究 函 数 的 增 减 性 ;2.不等式的解法
n?1 * 5. 【湖南省四校 2014 届高三上学期第三次联考数学(理) 】已知曲线 f ( x) ? x (n ? N )与直线 x ? 1

交于点 P,若设曲线 y=f(x)在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为

xn , 则log2012 x1 ? log2012 x2 ?

? log2012 x2011 的值为

.

三.拔高题组 1.
【湖南省衡阳市八中 2014 届高三上学期第三次月考试卷数学(理) 】已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? ln x (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的极值; (3)对 ?x ? (0, ??), f ( x) ? bx ? 2 恒成立,求实数 b 的取值范围。 【答案】 (1) x ? 2 y ? 2 ln 2 ? 0 ; (2) f (1) ? 0 ; (3) b ? 1 ? 【解析】 试题分析:(1) 本小题首先利用导数的公式和法则求得原函数的导函数,根据导数的几何意义可求得函数 的切线方程为 y ? (1 ? ln 2) ?

1 . e2

1 ( x ? 2) ,化简可得 x ? 2 y ? 2 ln 2 ? 0 ; 2

(2)本小题首先求得函数的定义域 (0,??) ,然后根据(Ⅰ)中求得的导函数去求导数的零点

(3)依题意对 ?x ? (0, ??), f ( x) ? bx ? 2 恒成立 等价于 x ? 1 ? ln x ? bx ? 2 在 (0, ??) 上恒成立

1 ln x ? 在 (0, ??) 上恒成立, x x 1 ln x 1? ? 令 g ( x) ? x x ln x ? 2 g ' ( x) ? x2
可得 b ? 1 ? 令 g ' ( x) ? 0 ,得 x ? e
2

……………10 分

……………11 分

考点:1.导数公式;2.函数的单调性;3.函数的极值、最值.

2.

【湖南省四校 2014 届高三上学期第三次联考数学(理) 】已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ?

1 2 x ? 2x . 2

(Ⅰ)设 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ?( x) (其中 g ?( x ) 是 g ( x) 的导函数) ,求 h ( x ) 的最大值; (Ⅱ)求证: 当 0 ? b ? a 时,有 f (a ? b) ? f (2a) ?

b?a ; 2a

(Ⅲ)设 k ? Z ,当 x ? 1时,不等式 k ( x ? 1) ? xf ( x) ? 3g ?( x) ? 4 恒成立,求 k 的最大值.

试题 解析:(Ⅰ) h( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) ? ln( x ? 1) ? x ? 2 , x ? ?1 所以 h?( x) ?
/

当 ?1 ? x ? 0 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, h?( x ) ? 0 .

1 ?x ?1 ? . x ?1 x ?1

3.

【汝城县第一中学、长沙县实验中学 2014 届高三年级十一月份联考数学(理) 】已知 x=1 是函数

f ( x) ? (ax ? 2)e x (a ? R) 的一个极值点,
(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)当 x1 , x2 ?[0, 2] 时,证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e. 【答案】(Ⅰ) a ? 1 ;(Ⅱ)详见解析. 【解析】 试题分析:(Ⅰ)先求出导函数,再由 f ?(1) ? 0 即可得到 a ? 1 ;(Ⅱ) 当 x1 , x2 ?[0, 2] 时,要证明
[来源

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e .即证明当 x1 , x2 ?[0, 2] 时, f ( x)max ? f ( x)min ? e .然后研究函数 f ( x) 在区间[0,2]上
的单调性以求出最值.从而证明了本题.

4.

【汝城县第一中学、长沙县实验中学 2014 届高三年级十一月份联考数学(理) 】设函数

1 f ( x) ? mx 3 ? (4 ? m) x 2 , g ( x) ? a ln( x ? 1) ,其中 a ? 0 . 3 3 ( I )若函数 y ? g ( x) 图象恒过定点 P,且点 P 关于直线 x ? 的对称点在 y ? f ( x) 的图象上,求 m 的值; 2
(Ⅱ)当 a ? 8 时,设 F ( x) ? f '( x) ? g ( x ? 1) ,讨论 F ( x) 的单调性; (Ⅲ)在(I)的条件下,设 G( x) ? ?

? f ( x), x ? 2 ,曲线 y ? G ( x) 上是否存在两点 P、Q,使△OPQ(O 为原点)是 g ( x ), x ? 2 ?

以 O 为直角顶点的直角三角形,且斜边的中点在 y 轴上?如果存在,求 a 的取值范围;如果不存在,说明 理由. 【答案】( I ) m ? ?3 ;(Ⅱ)当 m≥0 时, F ( x) 在(0,+∞)上为增函数;当 m<0 时, F ( x) 在 (0, ? 上为增函数,在 ( ? 【解析】

4 ) m

4 , ?? ) 上为减函数.(Ⅲ)存在, (0, ??) . m

因为 △OPQ(O 为原点)是以 O 为直角顶点的直角三角形,

?OP ? OQ ? 0 ,即 ?t 2 ? G(t )(t 3 ? t 2 ) ? 0 ①


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