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复数的典型例题


复数的典型例题
一、选择题 (1)复数 z ? (a ? a ? 2) ? (a ? 3a ? 2)i 对应的点位于复平面的虚轴上,则实数 a 的值 为 A、1 B、-1 C、2 D、-2 (2) 当 z ? 1?i 时,z100 ? z 50 ? 1 的值是 ( )A 1 B -1 Ci D –i
2 2
2

(3)如果复数 z ? 3 ? ai ,满足条件 z ? 2 ? 2 ,则实数 a 的取值范围是 A、 (?2 2 , 2 2 ) B、 (?2 , 2) C、 (?1 , 1) ) (4)设复数 z 满足关系 z ? | z |? 2 ? i ,那么 z 等于 ( A、





D、 (? 3 ,

3)

3 3 3 B、 ? i C、 ? ? i ?i 4 4 4 (5)设 z1、z 2 为复数,则 z1 ? z 2 为实数是 z1 , z 2 为共轭复数的
A、充分不必要条件 ( ) A、直线 A、1
2 2

D、 ?

3 ?i 4

B、必要不充分条件
2 2

C、充要条件

( ) D、既不充分又不必要条件 D、椭圆 ) D、 3

(6) 若复数 z 满足 z ? 1 ? z ? 1 ? 1 ,那么 z 在复平面内对应的点所表示的图形是 B、圆 B、 2 C、2 C、双曲线 (7)若复数 z 满足 z ? i ? z ? i ? 2 ,那么 z ? 1 ? i 的最小值是 (

(8)复数 z ? (k ? 4) ? (k ? 3)i 所对应的点位于第三象限,在实数 k 的取值范围是 (9)已知实数 m 满足等式 log 3 m ? 4i ? 5 ,则 m ? (10) 已知 z ? C ,若 z ? z ? 3z i ? 1 ? 3 i ,则 z ? (11) 若复数 z 满足 z ? 1 ? 3i ? 1 ,则 z ? 2 ? i 的最大值为 一:实数与纯虚数 例 1 已知 z 是虚数,且 z+ ,最小值为

1 z ?1 是实数,求证: 是纯虚数. z z ?1

例 2.若虚数 z 同时满足以下两个条件: (1) z ?

5 是实数; (2) z ? 3 的实部与虚数互为相反数. z

请问:这样的虚数是否存在?若存在,求出 z;若不存在,请说明理由.

1 2 是实数,且 ? 1 ? w ? 2 ,求 w ? u 的最小值。 z 1 例 4、若| z | = 1 , 且 z2 + 2z + <0 , 求 z . z z?k 例 5:已知复数 z 满足 z ? k , z ? ? k ,其中 k 为正常数,求证: 为纯虚数 z?k
例 3、设 z 是虚数, w ? z ? 二:复数的模

[例 1]复数 z 满足│z+i│+│z-i│=2 求│z+1+i│的最值。
例 2、若|z|=1,求|z2-z+1|的最大值和最小值. 三、复数与平行四边形

1

z1 ? z2 ? 1 , z1 ? z2 ? 例 1 已知 z1,z2 ? C,

3 ,求 z1 ? z2 .

例 2.复数 z1 ? 1 ? 2i,z2 ? ?2 ? i,z3 ? ?1 ? 2i ,它们在复平面上的对应点是一个正 方形的三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
例 3、若|z1|=3,|z1+z2|=5,|z1-z2|=7, 求|z2|.

四.复数与轨迹

1、复数 z 满足 z ? z + z + z = 3 , 求 z 在复平面内对应点 Z 的轨迹. 2、设复数 z 满足| z + 1-2i | = 3 , 复数 ω = 4z -i + 1 , 求ω 在复平面上对应点 P 的轨迹.
3.设 z = x + iy ( x , y ∈R ) 在复平面上对应点为 P ,z1 = x + 1 + 5 -( 2-y ) i , z2 = x + 1- 5 + (y- 2) i ,且| z1 | + | z2 | =6 , 求 P 点轨迹的普通方程.

4、设复平面上复数 z

对应为 P , O 为坐标原点, 以| OP | 为边长作矩形 OPQR ( 字母顺序

按逆时针方向 ) , 使| OR | = 2 | OP | , z 满足方程| z + 5 | + | z- 5 | = 6 , 求动点 R 的轨迹.

5、已知复平面上点集 S ? ?z || z |2 ?2iz ? 2a(1 ? i) ? 0?, a ? 0.
(1) 若 S≠φ , 求 a 的范围; (2)

当 S≠φ 时, S 构成的图形是什么?

五:复数方程
例 1. 关于 x 的方程 x 2 ? (2a ? i) x ? ai ? 1 ? 0 有实根,求实数 a 的取值范围?
2

例 2、已知关于 x ? ix ? 6 ? 5x ? 2i 个方程。

⑴ 当 x∈R 时解这个方程;⑵ 当 x∈C 时,解这

例 3、设关于 x 的方程 x 2 ? 4 x ? m ? 0 (m∈R)的两个根为α 、β 。且 ? ? ? =2,求 m 的值。 例 4、设关于 x 的方程 2x 2 ? 3ax ? a 2 ? a ? 0 至少有一个模为 1 的根,试确定实数 a 的值。 例 5: 已知关于 x 的二次方程 x ? (tg? ? i) x ? (i ? 2) ? 0 ⑴ 如果此方程有一个实根,求锐角θ 和这个实根。 ⑵ 试证:无论θ 去任何实数值时,此方程不可能有纯虚数根。
2

例 6、求满足方程 z2-5 | z | + 6 = 0 的所有复数 z .

2


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