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圆柱和圆锥的侧面展开图[九下学期]


P

童心玩具厂欲生产一种圣诞老 人的帽子,其帽身是圆锥形(如 图)PB=15cm,底面半径r=5cm, 生产这种帽身10000个,你能帮 A 玩具厂算一算至少需多少平方 米的材料吗(不计接缝用料, 和余料,π取3.14,)?

l O .

r

B

1.你能说出扇形的弧长公式吗? 2.你能说出扇形的面积公式吗?

一、圆锥的再认识
1.圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,它 的底面是一个圆 侧面是一个曲面. 2.把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点 的连线叫做圆锥的母线 3.连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高
如图中a是圆锥的母线,而h就是圆锥的高
P

问题:圆锥的母线有几条? 4.圆锥的底面半径、高线、母线长 三者之间的关系:

a h
A

a ?h ?r
2 2

2

O

r

B

填空、根据下列条件求值(其中r、h、a分别 是圆锥的底面半径、高线、母线长)
3 (1)a = 2,r=1 则 h=_______

(2) h =3, r=4

5 则 a=_______

(3) a = 10, h = 8

则r=_______ 6

二、圆柱侧面展开图
1.圆柱的侧面展开图是一个矩形, 它的一边长是圆柱的母线长; 它的另一边长是圆柱的底面圆周长
a r a

2πr

2.圆柱的侧面积就是一边长是圆柱的母线长,它 的另一边长是圆柱的底面圆周长的矩形面积,
S柱侧= 2πr×a=2πra

3.圆柱的全面积就是它的侧面积与它的2个底面圆面 积的和 S柱全= 2πra+2 πr2

三、圆锥侧面展开图
1.圆锥的侧面展开图是一个扇形
P 2πr

h A O r

l

h
B

a

r

2.圆锥的底面圆周长=侧面展开后扇形的弧长。

3.圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。

四、圆锥的侧面积和全面积 r 2 ? ? ? 360 ? ? ? 360 ? ? 288 ? 4.圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、
半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积.
1 ×2 sS锥侧= 2? sπr×a=πra 圆锥侧 扇形 ?

l

2. 5

r 1   l ? · ?· · ? 360 360 l 36 5.圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积. 2 s全 ? s侧 ? s底 ? ?ra ? ?r
2

?

P 2πr

h A O r

a

h
B

a

r

例1、一个圆锥形零件的母线长为 a ,底面 的半径为r,求这个圆锥形零件的侧面积和 全面积.
解:圆锥的侧面展开后是一个扇形,该扇形的半径 为a,扇形的弧长为2πr, 1 所以 S侧= ×2πr×a=πra

又 S底=πr2 所以 S全 =πra +πr2. 答:这个圆锥形零件的侧面积 为πra,全面积为πra+πr2
a

2

r

例2、根据圆锥的下面条件,
求它的侧面积和全面积

( 1 )r=12cm, a=20cm
( 2 )h=12cm, r=5cm
S全=s侧+s底=240 π + πr2

h

a

r

1 解:(1) S侧= ×2πr×a=πra =12×20π=240π 2
=240 π+144 π=384 π(cm2)

(2) ∵a=

h ?a
2

2

=13

∴s侧= πra=65 π
∴S全=s侧+s底=65 π + πr2 =65 π+25 π=90 π(cm2)

小试牛刀
1.一个圆柱形水池的底面半径为4米, 池深1.2米.在池的内壁与底面抹上水泥, 抹水泥部分的面积是______平方米. 9.6π
2、已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径都为3米, 24π 15π 高都为4米.则S柱侧=_______米2, S锥侧=_______米2 它们两者的侧面积相差为____侧面积的比值为 8:5 9π ______.

h=4

a

r=3

例3.童心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子, 其圆锥形帽身的母线长为15cm,底面半径为 5cm,生产这种帽身10000个,你能帮玩具厂算 一算至少需多少平方米的材料吗(不计接缝用 料和余料,π取3.14 )?
解:∵ a =15cm,r =5cm, = π r a =π×15×5 ≈3.14×15×5 =235.5(cm 2 ) 235.5×10000= 2355000 (cm ∴S
圆锥侧

h
2

a

)

r

答:至少需 235.5 平方米的材料.

填空、根据下列条件求圆锥侧面积展开图的圆心角? (r、h、a分别是圆锥的底面半径、高线、母线长)

(1)a = 2,r = 1
(2) h=3, r=4



?

=________

则 ? =__________

h
r

a

?
h

2πr

a

r

4、若圆锥的底面半径r =4cm,高线h =3cm,则它的侧面展开图中扇形的圆心 角是 288 度。 ——

5.如图,若圆锥的侧面展开 图是半圆,那么这个展开图 180 的圆心角是___度; 圆锥底半径 r与母线a的比 r :a = ___ . 1:2
A

S h O r B l

五、思考题
已知圆柱的轴截面ACBD,底面直径AC=6, 高为12cm,今有一蚂蚁沿圆柱侧面从A点 爬到B点觅食. 问它爬过的最短距离应是多少? 请课下完成
D B D B

A
动画

C

A

C

请观察

例4、如图,圆锥的底面半径为1,母线长为6, 一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥 侧面爬行一圈再回到点B,问它爬行的最短路 线是多少?
A

B

C

手工制作、已知一种圆锥模型的底 面半径为4cm ,高线长为3cm。你 能做出这个圆锥模型吗?
P

a h
A

O

r

B

小结
本节课我们有什么收获? 本节课我们认识了圆锥的侧面展开图, 学会计算圆锥的侧面积和全面积,在认识 圆锥的侧面积展开图时,应知道圆锥的底 面周长就是其侧面展开图扇形的弧长。圆 锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径, 这样在计算侧面积和全面积时才能做到熟 练、准确。

作 业:
1、教材: 62页第1、2、3、4题 2、已知一个矩形的边AB=6cm, AD=4cm.请设计不同方法进行旋转 得到不同的圆柱求所得圆柱的表面 积,并指出怎样旋转所得圆柱表面 及最大. 2009.3.12


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