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高三数学(理)直线与曲线人教版知识精讲.doc


高三数学(理)直线与曲线人教版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容: 直线与曲线 二. 重点、难点: 1. 曲线: F ( x, y) ? 0 2. 直线: ax ? by ? c ? 0

?F ( x, y ) ? 0 ? Ax2 ? Bx ? C ? 0 ? ?ax ? by ? c ? 0
? ? B 2 ? 4 AC (1) ? ? 0 (2) ? ? 0 (3) ? ? 0
无交点 一个交点,相切 两个交点 P、Q

PQ ? 1 ? k 2 x1 ? x 2

【典型例题】
[例 1] A(4,1)过 A 作 l 交曲线 M 于 P、Q,A 恰为 PQ 中点,求 l 。

x2 y2 ? ?1 25 16 y2 2 ?1 (2)M: x ? 3 (3)M: y 2 ? 4 x
(1)M: 解: (1)设 P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 )

? x12 y12 ? ? 1? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) 25 16 ? ∴ ? ? ?0 ? 2 2 25 16 x2 y2 ? ? 1? 25 16 ? ? y1 ? y 2 16 x ? x2 ∴ ?? ? 1 x1 ? x2 25 y1 ? y 2 ∴ A 为 PQ 中点 ∴ x1 ? x2 ? 8 , y1 ? y 2 ? 2 y ? y2 64 ∴ k? 1 ?? x1 ? x2 25 64 ( x ? 4) ∴ l : y ?1 ? ? 25 (2)同理: y ? 1 ? 12( x ? 4) (3)同理: y ? 1 ? 2( x ? 4)
[例 2] A( x0 , y0 )在曲线 M 上,求过 A 与 M 相切的直线 l 的方程。

用心

爱心

专心

x2 y2 ? ?1 a2 b2 x2 y2 (2)M: 2 ? 2 ? 1 a b 2 (3)M: y ? 2 px
(1)M: 答案:

x0 x ? a2 x x (2) 02 ? a (3) y0 y ?
(1)

y0 y ?1 b2 y0 y ?1 b2 p( x ? x0 )

[例 3] 过曲线 M 的焦点 F,作直线 l 交曲线 M 于 A、B,求 AB 的最小值。

y2 ?1 3 x2 y2 (2)M: 2 ? 2 ? 1 a b 2 (3)M: y ? 2 px
(1)M: x ?
2

解: (1)① 设 l : y ? k ( x ? 2)

? y ? k ( x ? 2) ? ? (3 ? k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? (3 ? 4k 2 ) ? 0 ? 2 y2 ?1 ?x ? 3 ? 6(1 ? k 2 ) AB ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 ? 3?k2
<1> k ? (? 3, 3)

3? k2 ? 0

交于两支 ∴ k ? 0 时, AB min ? 2

6 ? 6k 24 ? ?6 2 3? k 3? k2 <2> k ? (??,? 3) ? ( 3,??) AB ?
2

3? k2 ? 0

交于右支

6k ? 6 24 ? 6? 2 ∴ AB ? (6,??) 2 k ?3 k ?3 ② l:x ? 2 AB ? 6 综上所述, AB min ? 2 AB ?
2

(2)同理: AB min ? (3)同理: AB min

2b 2 a ? 2p

[例 4](1)椭圆 M:

x2 y2 ? ? 1 ,直线 l : y ? 4 x ? m ,若 M 上若在两个不同的点,关于 4 3

l 对称,求 m 的取值范围。 2 2 (2)双曲线 M: 3x ? y ? 3 ,直线 l : y ? kx ? 4 ,若 M 上存在两个不同的点关于 l
用心 爱心 专心

对称,求 k 的取值范围。 解: (1)设对称点为 A,B ∴ l AB : y ? ?

1 x?n 4

1 ? y ?? x?n ? ? 4 ? 13x 2 ? 8nx ? 16n 2 ? 48 ? 0 ? 2 2 x y ? ? ?1 ? 3 ?4 ? x1 ? x 2 8n 1 4n ? ? ? ? ? 2 13 2 13 ∴ ? ? y1 ? y 2 ? 1 [(? 1 x ? n) ? (? 1 x ? n)] ? 12 n 1 2 ? 2 4 4 13 ? 2 2 ?? ? ?12n ? 39 ? 0 ? A、B存在 ? ∴ ? ?? 4 ? A、B中点在l上 ?m ? ? n 13 ? 2 13 2 13 ∴ m ? (? , ) 13 13 (2)设对称点 A、B ∴ l AB : x ? ?ky ? m ? x ? ?ky ? m ? (3k 2 ? 1) y 2 ? 6m ky ? 3m 2 ? 3 ? 0 ? 2 2 ?3x ? y ? 3 3m k ? y1 ? y 2 ?3k 2 ? m 2 ? 1 ? 0 ? 2 ? ? ? 0 ? ? 2 ? 3k ? 1 ?? ? ? 3k 2 ? 1 x ? x ? m 中点在 l 上 m ? 1 2 ? ? ? ? 2 k ? ? 3k ? 1 ? 2
∴ (4k ? 1)(3k ? 1) ? 0
2 2

∴ k ? (??,?

3 1 1 3 ) ? (? , ) ? ( ,??) 3 2 2 3

[例 5] 椭圆 M,中心在原点,焦点在 x 轴,直线 l : y ? x ? 1 交椭圆于 P、Q,且 OP⊥OQ,

PQ ?

10 ,求椭圆方程。 2 ? x2 y2 ?1 ? ? 解:设椭圆 ? a 2 b 2 ?y ? x ?1 ?
∴ (a ? b ) x ? 2a x ? a (1 ? b ) ? 0
2 2 2 2 2 2

设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 )

? 10 10 ? ? PQ ? ? 2 x1 ? x2 ? ? ? ? 2 2 ?OP ? OQ ?x x ? y y ? 0 ? ? 1 2 1 2

5 ? 2 ?( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ∴ ? 4 ? x x ? y y ? 0 1 2 ? 1 2

用心

爱心

专心

5 ? 2 2 2 a b (a ? b 2 ? 1) ? (a 2 ? b 2 ) 2 ? 16 ? ∴ ? 2 2 2 2 ? a (1 ? b ) ? b (1 ? a ) ? 0 ? a2 ? b2 ? a2 ? b2 5 2 ? 2 2 2 2 2 2 ?a b (a ? b ? 1) ? (a ? b ) 16 ? ?a 2 ? b 2 ? 2a 2 b 2 ? 5 2 2 ? 4t 2 令a b ? t ∴ t ( 2t ? 1) ? 16 8 ? 2 2 ?a 2 ? 2 a ? b ? ? x2 ? ? 3 ? ? ∴ ? ? 2 2 4 2 b ? 2 2 ?a ? b ? ? 3 ? ? 3 ?
[例 6] 曲线 M:

∴ t?

4 3

y2 ?1 2 3

x2 y2 ? ? 1( x ? 0 )P 在 M 上,A(1,2),B(3,8),求 S ?PAB 最小值。 2 9 l AB : 3x ? y ? 1 ? 0 与 AB 平行的曲线的切线: 3x ? y ? ? ? 0 ?3 x ? y ? ? ? 0 ? 2 2 ?9 x ? 2 y ? 18 9x 2 ? 12?x ? (2?2 ? 18) ? 0 ? ? ?3 ? ? 144?2 ? 36(2?2 ? 18) ? 0
∴ d (l切 , l AB ) ?

依图 ? ? ?3

2 10

?

10 5

AB ? 2 10

S ?PABmin ?

1 10 ? ? 2 10 ? 2 2 5

2 [例 7] 抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )的焦点为 F,过 F 的直线 l 交抛物线于 A、B,点 C 在准

线上,且 BC// x 轴,求证:AC 过原点。 证:

p p ,? p ) B ( , p ) 2 2 p 2x ? y ? 0 ∴ l AC : y ? p ? ?2( x ? ) 2
(1) l 无斜率 ∴ A(

C (?

p , p) 2

过原点

用心

爱心

专心

p ? ? y ? k(x ? ) (2) ? 2 ? y 2 ? 2 px ?

y2 ?

2p y ? p 2 ? 0 ? y1 y2 ? ? p 2 k

设 A( x1 , y1 )B( x2 , y2 )C( ?

k OA ?

y1 x1

k OC ?

y2 p ? 2

p , y2 ) 2 y y 2p k OA ? 1 ? ? 2 ? k OC 2 p y1 y1 ? 2 2p

∴ A、O、C 三点共线

【模拟试题】(答题时间:60 分钟) y2 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,过 F2 作倾角为 150 ? 的直线交双曲 1. 双曲线 x ? 3 线 A,B 两点,则 ?F1 AB 的周长是( )
A. 6 B. 5 C. 3 ? 3 3 D. 3 ?

3 3 2

x2 y2 ? ? 1 和直线 ax ? by ? 1 ? 0 ( a , b 为非零实数),在同一坐标系中, 2. 已知曲线 a b
它们的图形可能是( )

3. 若焦点是(0, ? 5 2 )的椭圆截直线 3x ? y ? 2 ? 0 所得弦的中点的横坐标是 则该椭圆的方程是(
2 2

1 , 2



2x 2y 2x 2 2 y 2 ? ?1 ? ?1 B. 25 75 75 25 x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 C. D. 25 75 75 25 1 4. 以 y ? ? x 为渐近线,直线 5x ? 6 y ? 8 ? 0 与双曲线有一个公共点,则双曲线方程 2
A. 是( )

用心

爱心

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x2 x2 y2 ? y2 ? 1 ? y2 ? 1或 ? x2 ? 1 B. 4 4 4 2 2 x x ? y2 ? 1 ? y 2 ? ?1 C. D. 2 4 5. 过双曲线 2x 2 ? y 2 ? 2 的右焦点作直线 l 交双曲线于 P,Q 两点,若 PQ =4,则这样
A. 的直线 l 共有( ) A. 1 条 B. 2 条
2 2

C. 3 条

D. 4 条 )

6. 以椭圆

x y ? ? 1 内的点 M(1,1)为中点的弦所在的直线方程为( 16 4 A. 4 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 5 ? 0 D. x ? 4 y ? 5 ? 0 x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是( 5 m B. [1,??) C.(0,5) D.(1,5)

7. 直线 y ? kx ? 1 与椭圆 A.(0,1)



x2 y2 ? ? 1 交于 A、B 两点,直线 l 2 与该椭圆相交于 C、D 8. 直线 l1 : y ? 2 x ? 1 与椭圆 4 9 两点,若 ABCD 是平行四边形,则 l 2 的方程是( ) A. y ? 2 x ? 1 B. y ? 2 x C. y ? 2 x ? 2 D. 以上都不对
2 2 9. 椭圆 mx ? ny ? 1 与直线 x ? y ? 1 交于 M、N 两点,过原点与线段 MN 的中点的直线

的斜率为

m 2 ,则 ? n 2



10. 直线 l : y ? x ? 5 和 x 轴、 y 轴分别交于 A、B 两点,C 在椭圆 那么 ?ABC 面积的最大值等于 11. 直线 y ? kx 与双曲线
2 2

x2 y2 ? ? 1 上运动, 16 9



x y ? ? 1 不相交,则 k 的取值范围是 。 16 9 12. 直线 2 x ? y ? 1 ? 0 与圆锥曲线 C 交于 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y 2 ) 两点, 若 AB ? 10 ,
则 y1 ? y2 ? 。 。
2

13. 已知直线 x ? y ? 2 与抛物线 y ? 4 x 交于 A、B 两点,那么线段 AB 的中点坐标是

用心

爱心

专心

试题答案
1. C 10. 25 2. C 3. C 4. A 5. C 6. D 12. 2 2 7. B 8. A 9.

2 2

11. ( ?? ,? ] ? [ ,?? )

3 4

3 4

13.(4,2)

用心

爱心

专心


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