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2017年春季学期苏教版高中数学必修4教案:2.3.1 平面向量基本定理

2.3.1 平面向量基本定理 一、课题:平面向量基本定理 二、教学目标:1.理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系; 2.正确地用坐标表示向量,对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的 关系来用坐标表示; 3.掌握两向量的和、差,实数与向量积的坐标表示法。 三、教学重、难点:1.平面向量的坐标运算; 2.对平面向量的坐标表示的理解。 四、教学过程: (一)复习: 1.平面向量的基本定理: a ? ?1 e1 ? ?2 e2 ; 2.在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对实数 ( x, y ) 表示,那么,每一个向量可否也用 一对实数来表示? (二)新课讲解: 1.向量的坐标表示的定义: ? ? ? ? ? ? ? ? , ? R ) ( xy ,实数对 ( x, y ) 叫向量 a 的坐标,记作 a ? ( x, y) . a ? xi ? y j , ? ? 其中 x 叫向量 a 在 x 轴上的坐标, y 叫向量 a 在 y 轴上的坐标。 ? ? 说明: (1)对于 a ,有且仅有一对实数 ( x, y ) 与之对应; a y (2)相等的向量的坐标也相同; A( x, y ) ? ? ? ? j (3) i ? (1,0) , j ? (0,1) , 0 ? (0,0) ; ? ??? ? x O i (4)从原点引出的向量 OA 的坐标 ( x, y ) 就是点 A 的坐标。 例 1 如图,用基底 i , j 分别表示向量 a 、 b 、 c 、 d , 并求出它们的坐标。 ? ? ? y A2 解:由图知: a ? 2i ? 2 j ? (2, 2) ; 分别选取与 x 轴、 y 轴方向相同的单位向量 i , j 作为基底,对于任一向量 a , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b ? ?2i ? 2 j ? (?2, 2) ; ? ? ? c ? ?2i ? 2 j ? (?2, ?2) ; ? ? ? ? d ? 2i ? 2 j ? (2, ?2) . ? b ? a A O A1 x ? ? d ? c 2.平面向量的坐标运算: 问题:已知 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,求 a ? b , a ? b . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解: a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j ) ? ( x1 ? x2 )i ? ( y1 ? y2 ) j A( x1 , y1 ) y B( x2 , y2 ) O x 即 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 同理: a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . 结论:两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。 3.向量的坐标计算公式: 已知向量 AB ,且点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,求 AB 的坐标. ? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? OB ? OA ? ( x2 , y2 ) ? ( x1, y1 ) ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) . 归纳: (1)一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标; (2)两个向量相等的充要条件是这二个向量的坐标相等。 4.实数与向量的积的坐标: 已知 a ? ( x, y) 和实数 ? ,求 ? a ? ? ( xi ? y j) ? ? xi ? ? y j ? (? x, ? y) 结论:实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 例 2 已知 a ? (2,1) , b ? (?3, 4) ,求 a ? b , a ? b , 3a ? 4b 的坐标. 解: a ? b = (2,1) ? (?3, 4) ? (?1,5) ; a ? b ? (2,1) ? (?3, 4) ? (5, ?3) ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3a ? 4b ? 3(2,1) ? 4(?3, 4) ? (?6,19) . 例 3 已知 ABCD 的三个顶点 A, B, C 的坐标分别为 (?2,1) 、 (?1,3) 、 (3, 4) ,求顶点 D 的 坐标。 解:设顶点 D 的坐标为 ( x, y ) . ∵ AB ? (?1 ? (?2),3 ?1) ? (1, 2) , DC ? (3 ? x, 4 ? y) , ??? ? ???? ??? ? ???? 由 AB ? DC ,得 (1, 2) ? (3 ? x, 4 ? y) . ?1 ? 3 ? x ?x ? 2 ∴? ∴? ∴顶点 D 的坐标为 (2, 2) . ?2 ? 4 ? y ?y ? 2 例 4 (1)已知 a 的方向与 x 轴的正向所成的角为120 ,且| a | ? 6 ,则 a 的坐标为(?3,3 3) , ? ? ? ? (?3, ?3 3) . ? ? ? ? ? ? (2)已知 a ? (1, ?2) , b ? (?3,1) , c ? (11, ?7) ,且 c ? xa ? yb ,求 x , y . 解: (2)由题意, (11, ?7) ? x(1, ?2) ? y(?3,1) ? ( x ? 3 y, ?2 x ? y) , ?11 ? x ? 3 y ?x ? 2 ∴? ∴? . ??7 ? ?2 x ? y ? y ? ?3 五、课堂小结:1.正确理解平面向量的坐标意义; 2.掌握平面向量的坐标运算; 3.能用平面向量的坐标及其运算解决一些实际问题。 六、作业: 补充:1.已知向量 a ? ( x ? 3, x2 ? 3x ? 4)

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