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恒成立,能成立,恰成立问题探讨


恒成立,能成立,恰成立问题探讨
江西省崇仁县第一中学(344200) 饶长根 恒成立,能成立,恰成立问题是高中数学三个重点,难点,特别是三者的区别与联系更 是许多考生难点!笔者在高三教学平时模拟考试中有一道这样的题: 已知函数 f ( x) ? [2sin( x ?

?
3

) ? sin x]cos x ? 3 sin 2 x , x ? R

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)若存在 x0 ? [0,

5? ] ,使不等式 f ( x0 ) ? m 成立,求实数 m 的取值范围。 12

约有 70%是这样解答的: (1) f ( x) ? 2sin(2 x ? (2)当 x0 ? [0,

?

5? ? ? 7? ? 1 ] 时, 2 x0 ? ? [ , ] ,从而 sin(2 x ? ) ? [? ,1] ,所以 12 3 3 6 3 2

3

)

从而 f ( x ) 的最小正周期为 T ? ?

f ( x0 ) ?[?1, 2] ,由题意只需 [ f ( x0 )]max ? m ,得 m ? 2
错解分析: (2)中只要存在即可,而不是恒成立,只需 [ f ( x0 )]min ? m ,故答案为 m ? ?1 本来这是一道比较容易的题目, 但是很多同学没有注意到这是道能成立问题 (存在性问 题) ,这说明很多同学对这类问题的区别意识不强或者不知道它们的区别,本文就来通过几 道例题来探讨它们的区别与联系。
3 2 题 1.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? ?

2 与 x ? 1 时都取得极值。 3

(1)若 x ? [?1, 2] 时, f ( x) ? c 恒成立,求实数 c 的取值范围;
2

(2)若存在 x ? [?1, 2] ,使得 f ( x) ? c 成立,求实数 c 的取值范围。
2

解:由题知 f ( x) ? 3x ? 2ax ? b ? 0 的两根为 ?
' 2

2 和 1,由韦达定理有: 3
1 2 x ? 2x ? c , 2

2 ? 2 1 ? a ? ? ?1 ? ? ? 3 ?a ? ? 3 ?? 2 ? ? b ? ? 2 ?1 ? ? b ? ?2 ? 3 ? 3
' 2

于是

f ( x) ? x 3 ?

所以 f ( x) ? 3 x ? x ? 2 ? 3( x ? )( x ? 1)
' ' ' 当 x ? ( ?1, ? ) 时, f ( x) ? 0 ; 当 x ? (? ,1) 时, f ( x) ? 0 ; 当 x ? (1, 2) 时, f ( x) ? 0

2 3

2 3

2 3

所 以 当 x??

2 22 22 ?c , ?c , 时 , f ( x) 有 极 大 值 又 f (2) ? 2 ? c ? 3 27 27 1 22 3 f (?1) ? ? c ? ? c , f (1) ? ? ? c , 所以 x ?[?1, 2] 时, f ( x) 的最大值是 2 27 2

3 f (2) ? 2 ? c ,最小值是 f (1) ? ? ? c 2
(1)当 x ? [?1, 2] 时, f ( x) ? c2 恒成立,所以 2 ? c ? c ,解得 c ? ?1 或 c ? 2
2

(2)存在 x ? [?1, 2] ,使 f ( x) ? c2 成立,则只要 f ( x ) 的最小值小于 c ,即 ?
2

3 ? c ? c2 , 2

得c? R 小结: (1)恒成立问题的原理:设函数 f ( x ) 的定义域为区间 D ①若 f ( x) ? a 对 x ? D 恒成立 ? [ f ( x)]min ? a 或 [ f ( x) ? a]min ? 0 ②若 f ( x) ? a 对 x ? D 恒成立 ? [ f ( x)]max ? a 或 [ f ( x) ? a]max ? 0 常见处理方法:根据恒成立问题的原理,具体题目的方法有:可化为一次函数法,可化 为二次函数法,分离常数法(转化成求最值问题) ,数形结合法等。 (2)能成立问题的原理:设函数 f ( x ) 的定义域为区间 D ①若存在 x ? D ,使得 f ( x) ? a 对成立 ? [ f ( x)]max ? a 或 [ f ( x) ? a]max ? 0 ②若存在 x ? D ,使得 f ( x) ? a 对成立 ? [ f ( x)]min ? a 或 [ f ( x) ? a]min ? 0 常见处理方法:能成立即存在性问题,根据能成立问题的原理,通常进行转化为求最值 问题 (3)当题中出现“恒成立” , “对任意??都有??”等字样,可考虑利用恒成立问题来处 理,当题中出现“存在??成立” , “存在一个??满足??”等字样,可考虑利用存在性问 题来处理,而且要注意它们有要本性的区别。

x2 ? 2 x ? a 题 2.已知函数 f ( x) ? ,对任意 x ? [1, ??) x
(1) f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围内; (2) f ( x ) 的值域是 [0, ??) ,求实数 a 的取值范围。 解: (1) 显然是一个恒成立问题, 由于 x ? 1 , f ( x) ?

x2 ? 2 x ? a ? 0 恒成立, 又等价于 x ? 1 x

时, u ( x) 的最小值大于等于 0 恒成立。 由于 [u( x)]min ? u(1) ? a ? 3 ,即 a ? 3 ? 0 ,所以

a ? ?3 从而 a 的取值范围是 [?3, ??)
(2)由分析是一个恰成立问题,即当 x ? 1 时, f ( x ) 的值域恰为 [2, ??) ,与(1)中不同

的是, (1) 问是在 x ? 1 时,f ( x) ? 0 恒成立, 因此允许 x ? 1 时,f ( x ) 的取值范围是 [2, ??) ,

[3, ??) ,?等等,即子集关系,而 f ( x) 的值域是 [0, ??) ,则 x ? 1 时, f ( x) 的取值恰好
是 [0, ??) 。 f ( x) ?

x2 ? 2 x ? a a ? x? ?2, x x
a ? 2 ? 3 ,这与 f ( x) 的值域是 [0, ??) 矛盾,所以 x

当 a ? 0 时,由于 x ? 1 ,则 f ( x) ? x ? 不能有 a ? 0 当 a ? 0 时,函数 y ? x , y ?

a 在 [1, ??) 上的增函数,于是 f ( x ) 在 [1, ??) 上是最小值是 x

f (1) ,令 f (1) ? 0 ,得 a ? ?3
变式: (1)已知函数 y ? loga (? x2 ? log2a x) 的定义域是 (0, ) ,求实数 a 的取值范围 思维误区:由题意可知,当 x ? (0, ) 时,都有 ? x2 ? log2a x ? 0 成立,即 log2a x ? x2

1 2

1 2

1 1 1 ?1? ? 0 ? 2a ? 1 ,且 log 2a ? ? ? ,解得 ? a ? 32 2 2 ?2?
正 确 解 法 : 由题 意, 问题 可等 价转 化为 不等 式 ? x2 ? log2a x ? 0 的 解集 为 (0, ) , 记

2

1 2

1 1 C1 : y ? x2 , C2 y ? log2a x ,作图形 C1 与 C2 ,如图,只须 C2 过点 ( , ) ,? 0 ? 2a ? 1 , 2 4
1 1 1 ?1? 即 0 ? a ? ,且 log 2 a ? ? ? ,解得 a ? 32 2 2 ? 2?
(2).设函数 y ? 1 ? 2 x ? a ? 4 x ,若函数的定义域为 (??,1] ,求实数 a 的取值范围 解 : 由 题 意 , 不 等 式 1 ? 2 ? a ? 4 ? 0 的 解 集 是 {x | x ? 1} , 设 2 ? t 则 t ? (0, 2] 即
x x x

2

at 2 ? t ? 1 ? 0 的解为 {x | t ? 2} ,? t ? 2 是方程 at 2 ? t ? 1 ? 0 的一根,? a ? 4 ? 2 ? 1 ? 0 ,
?a ? ? 3 4

(3)恰成立问题的原理:设函数 f ( x ) 的定义域为区间 D 若不等式 f ( x) ? a ( f ( x) ? a )在区间 D 恰成立 ? f ( x) ? a ( f ( x) ? a )的解集为 D

常见处理方法:关键是审清题意,弄清楚是不是恰成立的问题,然后根据原理处理。 (2) 对于 (2) 问应认真分析发现是恰成立问题, 很具有隐蔽性, 这个与我们以前讲过的 f ( x ) 在 [ a, b] 为增函数,与 f ( x ) 的单调区间为 [ a, b] 有明显的区别,前可看着恒成立问题 ( f ' ( x) ? 0 恒成立) ,后者可看着恰成立问题( f ' ( x) ? 0 的两根为 a , b ) 。 (3) 对于恰成立问题还可以这样来理解: 若 x ? D ,f ( x) ? M 在 D 上恰成立, 等价于 f ( x ) 在 D 上最小值 [ f ( x)]min ? M ; f ( x) ? N 在 D 上恰成立,等价于 f ( x ) 在 D 上最大值

[ f ( x)]max ? N
对于恰成立问题很多学生不是很熟,下面再举一个例子加强理解。 题 3. (1)已知 0 ? a ? 1 ? b ,不等式 lg(a x ? b x ) ? 1 的解集是 {x | ?1 ? x ? 0},则 a , b 满足 的关系是( A. ) B.

1 1 ? ? 10 a b

1 1 1 1 ? ? 10 C. ? ? 10 a b a b
x

D. a , b 的大小的关系不能确定
x

解: (1)lg(a x ? b x ) ? 1 ? 0 ? a x ? bx ? 10 ,即 0 ? a ? b ?10 的解集为 {x | ?1 ? x ? 0}, 从而 a ? b ? 0 , a ? b ? 10 的两根分别为 0, ?1 (恰成立) ,可得答案 C
x x x x

(2)已知 f ( x) ?

1 ? 2x ?

? (n ? 1) x ? n x a 其中 a 为实数, n 是任意整数,且 n ? 2 ,如 n

f ( x) 当 x ? (??,1] 时有意义,求 a 的取值范围。
解: 1 ? 2 ?
x

1 2 3 ? (n ?1) x ? nx a ? 0 , x ? (??,1] , n ? 2 , 即 a ? ?[( ) x ? ( ) x ? ( ) x ? n n n n ?1 x k x ?( ) ] ? (*) , 因 为 ?( ) ( k ? 1, 2, n,? 1) 在 x ? (??,1] 上 都 是 增 函 数 , 所 以 n n 1 2 3 n ?1 x g ( x) ? ?[( ) x ? ( ) x ? ( ) x ? ? ( ) ] 在 x ? (??,1] 上 也 是 增 函 数 , 所 以 n n n n 1 n(n ? 1) 1 2 n ?1 1 2 (*)式等价于 [ g ( x)]max ? g (1) ? ?( ? ? ? )?? ? ? (n ? 1) ,因此, n n n n 2 1 1 ? ? a ? ? (n ? 1) ,即 a 的取值范围是 ?a | a ? ? (n ? 1) ? 。 2 2 ? ?

小结:这两问都是可以看着是恰成立问题,具有一定的隐蔽性,学生应在平时做题中发 现、总结。 总之,恒成立,能成立,恰成立问题在解题时首先要弄清楚是哪种类型,关键要从题中

意思来判断,这就要求学生在平时学习中要善于发现、归纳、总结;这也是学习数学关键的 方法,只有这样才能弄懂、弄透,达到举一反三、触类旁通。

崇仁一中 饶长根 手机:13607943431 E---mail:rao2000@163.com


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