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2018-2019学年高中数学人教版A版必修一学案:第二单元 章末复习课

数学 章末复习课 网络构建 核心归纳 1.指数函数的图象和性质 一般地,指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的图象与性质如下表所示. a>1 0<a<1 图象 定义域 值域 R (0,+∞) 过点(0,1),即 x=0 时,y=1 性 质 当 x>0 时,y>1; 当 x<0 时,0<y<1 在(-∞,+∞) 上是增函数 当 x>0 时,0<y<1; 当 x<0 时,y>1 在(-∞,+∞) 上是减函数 注意 (1)对于 a>1 与 0<a<1,函数值的变化是不同的,因而利用性质时,一定要注意底 数的范围,通常要用分类讨论思想. (2)a>1 时,a 值越大,图象向上越靠近 y 轴,递增速度越快;0<a<1 时,a 值越小,图象 向上越靠近 y 轴,递减速度越快. 数学 (3)在同一坐标系中有多个指数函数图象时,图象的相对位置与底数大小有如下关系:在 y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在 y 轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变 小.即无论在 y 轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令 x=1 时,y =a 去理解,如图. 2.对数函数的图象和性质 a>1 图 象 定义域是(0,+∞) 值域是 R 性 质 当 x=1 时,y=0,即图象过定点(1,0) 当 x>1 时,y>0; 当 0<x<1 时,y<0 在(0,+∞) 上是增函数 3.指数函数与对数函数的关系 对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)与指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)互为反函数, 其图象关于直 线 y=x 对称.(如图) 当 x>1 时,y<0; 当 0<x<1 时,y>0 在(0,+∞) 上是减函数 0<a<1 4.幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点(1,1). (2)如果 α>0,则幂函数的图象过原点,并且在区间[0,+∞)上为增函数. (3)如果 α<0,则幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数,在第一象限内,当 x 从右边 趋向于原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴,当 x 从原点趋向于+∞时,图象在 x 轴上 数学 方无限地逼近 x 轴. (4)当 α 为奇数时,幂函数为奇函数;当 α 为偶数时,幂函数为偶函数. 要点一 指数、对数的运算 指数式的运算首先注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运 算,其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公 式应用过程中范围的变化,前后要等价,熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式, 换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧. 4 1 3 3 b? 3 a -8a3 b ? (1)化简: 2 ÷ ? ?× ab; 1 - 2 2 ? a? 3 3 3 4b +2 ab+a 【例 1】 1 32 4 (2)求值: lg - lg 8+lg 245. 2 49 3 1 1 1 3 3 (1)原式= 1 1 1 1 × 1 1 ×a b ?2b3 ?2+2a3 b3 +?a3 ?2 a3 -2b3 解 a3 ?a-8b? 1 3 a = 1 3 a ?a-8b? a-8b 1 1 1 3 3 ×a ×a3 b3 =a b. (2)法一 1 32 4 lg - lg 8+lg 245 2 49 3 4 2 =lg -lg 4+lg 7 5 7 =lg ?4 2×1×7 5? ? 7 4 ? 1 1 =lg 10= lg 10= . 2 2 法二 1 43 1 5 1 原式= (5lg 2-2lg 7)- · lg 2+ (2lg 7+lg 5)= lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+ lg 5 2 32 2 2 2 1 1 1 = lg 2+ lg 5= (lg 2+lg 5) 2 2 2 1 1 = lg 10= . 2 2 【训练 1】 2 9 3 22 3 (1)化简:( 8) ×( 10 ) ÷ 105; - 32 (2)计算:2log32-log3 +log38-25log53. 9 数学 2 9 5 5 1 解 3 ?- ? 2 ?2 102 =2-1×103×10-2 =2-1×102 = 10. 3 (1)原式=? ?22 ? ×?103 ? ÷ 2 32 (2)原式=log34-log3 +log38-5log59 9 9 4× ×8?-9=-7. =log3? ? 32 ? 要点二 指数函数、对数函数、幂函数的图象问题 函数图象的画法 画法 基本 函数 法 基本初等函数 应用范围 画法技巧 利用一次函数、反比例函数、二次函 数、指数函数、对数函数、幂函数的 有关知识, 画出特殊点(线), 直接根据 函数的图象特征作出图象 与基本初等函数有关联的 函数 未知函数或较复杂的函数 ) 弄清所给函数与基本函数的关系,恰 当选择平移、对称等变换方法,由基 本函数图象变换得到函数图象 列表、描点、连线 变换法 描点法 【例 2】 函数 y=2log4(1-x)的图象大致是( 解析 法一 当 x=0 时,y=0,故可排除选项 A,由 1-x>0,得 x<1,即函数的定义域 为(-∞,1),排除选项 B,又易知函数在其定义域上是减函数,故选 C. 法二 函数 y=2log4(1-x)的图象可认为是由 y=log4x 的图象经过如下步骤变换得到的: (1)函数 y=log4x 的图象上所有点的横坐标不变.纵坐标变为原来的 2 倍,得到函数 y=2log4x 的图象; (2)把函数 y=2log4x 关于 y 轴对称得到函数 y=2log4(-x)的图象; (3)把函数 y=2log4(- x)的图象向右平移 1 个单位,即可得到 y=2log4(1-x)的图象,故选 C. 数学 答案 C ) 【训练 2】 在同一直角坐标系中,函数

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