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福建省龙岩市2012-2013学年高一上学期期末质检数学试题


龙岩市 2012~2013 学年第一学期高一教学质量检查数学(必修 1、2)试题 (考试时间:120 分钟 满分 150 分)

第 I 卷(共 100 分)
一. 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求.请将答案用 2B 铅笔填涂在答题卡相应位置上. 1. 若集合 A= { x ?1 ? x ? 2} ,则 CR A = A. { x x ? ?1或x ? 2} C. { x x ? ?1或x ? 2} B. { x x ? ?1或x ? 2} D. { x x ? ?1或x ? 2}

2. 若直线 3x ? 2 y ? 3 ? 0 和直线 6 x ? my ? 1 ? 0 互相平行,则 m 的值为 3 A. -9 B. C. -4 D. 4 2 3. 若圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 ,则圆心坐标为 A.(0,1) B. (0,-1) C. (1,0) D. (-1,0) 4. 下列各图中,可表示函数 y=f(x)的图象只可能是

A B C D 5. 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,异面直线 AC与BC1 所成的角为 A. 45° B. 30° C. 60° D. 90° 6. 如图所示, 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 2 的正方 侧视图 正视图 形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积为 5 3 A. 4 ? B. ? C. ? D. ? 4 2 俯视图 (第 6 题图) 7. 函数错误!未找到引用源。的零点所在的区间是 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 8. 设函数 f ( x) ? log a x(a ? 0, 且a ? 1) 在(0,+∞)上单调递增,则 f (a+1)与 f (2)的大小 关系是 A. f (a+1)= f (2) B. f (a+1)> f (2) C. f (a+1)< f (2) D. 不确定 二. 填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分. 请将答案填写在答题卡相应位置 上. 9. 设 函 数 误!未找到 10. 函数 f (x)= 错误!未找到引用源。 引用源。 . . .

, 则 f ( f (2)) ? 错

x 在区间[2,4]上的值域为 x+2

11. 若一个正方体的顶点都在球面上,且它的棱长为 4,则球的半径等于

12. 已知函数错误!未找到引用源。为偶函数,当错误!未找到引用源。时,错误!未找

到引用源。,则当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。的最小值 是
2 2

.

13. 圆 x ? y ? 4 和圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 0 交于 A、B 两点,则线段 AB 的垂直平分线的 一般式方程是 . 三. 解答题:本大题共 4 小题,每小题 10 分,共 40 分. 请将解答过程填写在答题卡相应位置 上. 14. 已知集合 A ?

?x

1? x ? 3

? , B ? {x | log2 x ? 1} .
? ,若 A ? C ,求实数 a 的取值范围.

(Ⅰ)求 A ? B ; (Ⅱ)已知集合 C ? x 0 ? x ? a

?

15. 如图,已知三角形的顶点为 A(2,4), B(0,?2), C (?2,3) , (Ⅰ)求直线 AB 的方程; (Ⅱ)求 AB 边上的高所在直线的方程.

16. 如图,在梯形 ABCD 中, AD // BC, AB ? BC,

AB ? BC ? 1 , PA ? 平面ABCD , CD ? PC .
(Ⅰ)证明: CD ? 平面PAC ; (Ⅱ)若 E 为 AD 的中点,求证: CE // 平面PAB .

P

A
17. 已知以点 C 为圆心的圆经过点 A(?1,0) 和 B(3,4) ,且圆心 C 在直线

E D C (第 16 题图)

B

x ? 3 y ? 15 ? 0 上.
(Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)设点 Q(?1, m) (m ? 0) 在圆 C 上,求 ?QAB 的面积.

第Ⅱ卷(共 50 分)
四. 选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求. 请将答案用 2B 铅笔填涂在答题卡相应位置上. 18. 若直线 ax ? by ? c ? 0(a ? 0, b ? 0, c ? 0) 与圆 x ? y ? 1 相切,则三条边长分别为
2 2

a, b, c 的三角形
A. 是锐角三角形 C. 是钝角三角形 B. 是直角三角形 D. 不存在

19. 已知 y ? f (x) 是定义在 R 上错误!未找到引用源。的奇函数,且在 (0, ??) 错误!未 找到引用源。 上单调递增, f (log2 8) ? 0 错误! 若 未找到引用源。 则 xf ( x) ? 0 , 错误!未找到引用源。的解集为 A. ?? 3, 0? ? (3,??) 错误!未找到引用源。 误!未找到引用源。 C. ?? ?, ? 3? ? (0,3) 错误!未找到引用源。 20. 如图, 在正方体 ABCD? A B1C1D1 中,E 、F 、G 分别是棱 A1B1 、BB1 、B1C1 1 的中点,则下列结论中: ① FG ? BD ③面 EFG // 面 ACC1 A1 正确结论的序号是 A. ①和② C. ①和③ B. ②和④ D. ③和④ ② B1D ? 面 EFG ④ EF // 面 CDD1C1 错误!未找到引用源。D. ?? ?, ? 3? ? (3,??) B.

?? 3, 0? ? (0,3)



21. 若直角坐标平面内两点 P、Q 满足条件:① P、Q 都在函数 y ? f ( x) 的图象上;②

P、Q 关于原点对称,则点对( P, Q )称为是函数 y ? f ( x) 的一个“友好点对” (点对
( P, Q ) 与 ( Q, P ) 看 作 同 一 个 “ 友 好 点 对 ”) . 已 知 函 数

?2 x 2 ? 4 x ? 1,?2 ? x ? 0 ? f ( x ) ? ?log ( ? x ? 2),0 ? x ? 2 ,则 f ( x) 的“友好点对”有 3 ? 4 ?
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

五. 解答题:本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分. 请将解答过程填写在答题卡相应位置 上. 22. 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过 15 万元时,按销售利 润的 10%进行奖励;当销售利润超过 15 万元时,若超过部分为 A 万元,则超出部分按

2log5 ( A ? 1) 进行奖励,没超出部分仍按销售利润的 10%进行奖励.记奖金总额为 y (单
位:万元) ,销售利润为 x (单位:万元). (Ⅰ)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式; (Ⅱ)如果业务员老张获得 5.5 万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?

23. 如图,圆柱 OO1 内有一个三棱柱 ABC ? A B1C1 ,三棱柱的底面为圆柱底面的内 1 接三角形,且 AB 是圆 O 直径, AA ? AC ? CB ? 2 . 1 (Ⅰ)证明:平面 A1 ACC1 ? 平面 B1BCC1 ; (Ⅱ)设 E,F 分别为 AC,BC 上的动点,且 CE ? BF ? x ,问当 x 为何值时,三棱 锥 C ? EC1F 的体积最大,最大值为多少? 第 23 题图

24. 已知 f (x ) 对于任意实数 x, y 满足 f ( x + y) = f ( x) + f ( y) ,当 x > 0 时, f ( x) ? 0 . (Ⅰ)求 f (0) 并判断 f (x) 的奇偶性; (Ⅱ)判断 f (x) 的单调性,并用定义加以证明; (Ⅲ)已知 f (3) ? 12 ,集合 A ? ( x, y ) f ( x ) ? f ( y ) ? 4 ,
2 2

集合 B ? ( x, y )

?

?

x ? ay ? 5 ,若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围.

?

?

龙岩市 2012~2013 学年第一学期高一教学质量检查

数学(必修 1、2)试题参考答案
第Ⅰ卷(100 分)
一. 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 D 5 C 6 A 7 C 8 B

二. 填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分. 9. 2

12 10. ? ,?

?2 3?

11. 2 3

12. -8

13. 3x ? 2 y ? 0

三. 解答题:本大题共 4 小题,每小题 10 分,共 40 分. 14. 解: (Ⅰ) B ? {x | log2 x ? 1} ? {x | x ? 2} , 分

?????????3 ?????????5

A ? B ? {x | 2 ? x ? 3}
分 (Ⅱ)因为集合 C ? x 0 ? x ? a ?,集合 A ? x 1 ? x ? 3

?

?

?
?????????9

A ? C ,所以 a ? 3


可得 a 的取值范围是 ?3,??) 分 (注:若写成 ?3,??? 扣 2 分)

???????10

15. 解: (1)由已知直线 AB 的斜率 k AB ? 分

4 ? (?2) ?3 2?0

????????3 ????????5

? 直线 AB 的方程为: 3x ? y ? 2 ? 0
分 (2)依题意,由(1)可得 AB 边上的高所在的直线斜率为 k ? ? 分 又直线过点 C (?2,3)

1 3

??????8

1 7 所以,所求直线为 y ? ? x ? ,即 x ? 3 y ? 7 ? 0 3 3
分 16. (Ⅰ)证明:∵PA⊥平面 ABCD,CD ? 平面 ABCD

??????10

? CD ? PA
分 又? CD ? PC 分 而 PC ? PA ? P 所以, CD ? 面 PAC 分

??????2 ??????3 ??????4 分 ??????5

(Ⅱ)∵ AB ? BC, AB ? BC ? 1

??BAC ? 45? ??CAD ? 45?


??????6

? CD ? AC ? ?ACD 为等腰直角三角形


又由(Ⅰ) CD ? 面 PAC

??????7

又 E 为 AD 中点 ? CE ? AD
分 又? BC ? AD

??????8

? CE ? BC ? 所以, CE ? AB 而 AB ? 面 PAB, CE ? 面 PAB 所以 CE ? 面 PAB


??????9 分 ????????????10

17. 解: (Ⅰ)依题意所求圆的圆心 C 为 AB 的垂直平分线和直线 x ? 3 y ? 15 ? 0 的交点,?1 分

? AB中点为 1,2), 斜率为, AB垂直平分线方程为 ? 2 ? ?( x ? 1)即y ? ? x ? 3 ( 1? y
?????????????????2 分

? x ? ?3 ? y ? ?x ? 3 解得 ? ? y ? 6 , 即圆心 C(-3,6) ? x ? 3 y ? 15 ? 0 半径 r ? 4 ? 36 ? 2 10 ????????????5
联立 ? 分 所求圆 C 的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 6) ? 40
2 2

????????6 分 ????1 ??????5 ????6

(Ⅰ)的解法二:设圆 C 的方程为 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 分 依题意求出 a ? ?3, b ? 6, r ? 2 10 分 所求圆 C 的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 6)2 ? 40 分 (Ⅰ)的解法三:设圆 C 的方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 依题意求出 D ? 6, E ? ?12, F ? 5 分
2 2

??????5 ??????6

所求圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 12y ? 5 ? 0

分 (Ⅱ)点 Q(?1, m) (m ? 0) 在圆 C 上 ,? m ? 12 或 m ? 0 (舍去)??????7 分

AQ ? 12
分 点 B 到直线 AQ 的距离为 4 分 所以△ QAB 的面积为 24 分

?????????????8 ???????9 ???????10

第Ⅱ卷(50 分)
四. 选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 题号 答案 18 B 19 D 20 B 21 A

五. 解答题(每题 10 分,共 30 分) 22. 解: (Ⅰ)由题意,得 y ? ? 分

?0.1x,0 ? x ? 15 ?1.5 ? 2 log5 ( x ? 14), x ? 15

????????5

(Ⅱ)? x? ? 0,15? 时, 0.1x ? 1.5 又 y ? 5.5 ? 1.5 ,? x ? 15 所以 1.5 ? 2 log5 ( x ? 14) ? 5.5, x ? 39 ??????????????7 分 ????????9 分

答:老张的销售利润是 39 万元. ??????????10 分 23. 解: (Ⅰ)因为 BB1 ? 平面 ABC , AC ? 平面 ABC ,

所以 BB1 ? AC ,??????????????1 分 因为 AB 是圆 O 直径, 所以 BC ? AC ,??????????????2 分 又 BC ? BB1 ? B , 所以 AC ? 平面 B1BCC1 ,??????????3 分 而 AC ? 平面 A ACC1 , 1 所以平面 A1 ACC1 ? 平面 B1BCC1 ??????5 分 (Ⅱ)? CE ? BF ? x,? CF ? 2 ? x . 分 ???????????6

1 1 1 1 VC ? EC1 F ? VC1 ? ECF ? S ?ECF ? CC1 ? ? 2 ? x ? (2 ? x) ? (2 x ? x 2 ) 3 3 2 3


???8

1 2 ? ? ? ? x ? 1? ? 1? ? 3?


??????????????9

所以 x ? 1 时,三棱锥 C1 ? ECF 的体积最大,最大值为 分 24. 解: (Ⅰ)令 x = y = 0, 得 f (0) = f (0) + f (0)

1 . 3

????10

? f (0) ? 0


??????????????????1

令 y ? ? x ,得 f (0) = f ( x) + f (-x)= 0

? f ( x) ? ? f (? x) ? f ( x) 是奇函数
分 (Ⅱ)函数 f ( x ) 在 R 上是增函数. 分 证明如下:

????????2 ????????3



? f ( x 2 )-f ( x1 ) ? f [ x1 ? ( x2 -x1 )]-f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 -x1)-f ( x1) ( 或 由 (1) 得 ? f ( x2 - x1 ) ? 0 f ( x 2 ) - f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x 2 - x1 ) ? 0 ) ???????????????5 ? f (x) 在 R 上是增函数.
, 又

设 x1 , x2 ? R , x1 < x2 ,? x2 ? x1 ? 0,由已知可得 ( x2 ? x1 ) ? 0 f

f (3) ? 12 ( Ⅲ ) ? f (3) ? 3 f (1) ? 12 ,? f (1) ? 4 ,

f ( x + y ) = f ( x) + f ( y )

,





A ? ( x , y ) f ( x 2 ) ? f ( y 2 ) ? 4 = ( x, y ) x 2 ? y 2 ? 1


?

??
,

?

???????8 , 可 得

B ? ( x, y) x ? ay ? 5
5 a2 ?1


?

?
?

?

A? B ? ?

? 1 ,? a ? 2或a ? ?2
所以,实数 a 的取值范围 a a ? 2或a ? ?2 .

?

???????????10


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