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河南省信阳市2008-2009学年高三第二次调研考试数学理科2009.1.16

2008— 河南省信阳市 2008—2009 学年度高三第二次调研考试 数学(理科) 数学(理科)★2009 年 1 月 16 日
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 8 页。 满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
注意事项: 注意事项 1.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。 2.考试结束,考生将本试卷和答题卡一并交回。 选择题: 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求的 合题目要求的。 项符合题目要求的。 1.0<x<6 是不等式|x-2|<6 成立的 . A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.函数 f ( x ) =

|x| x a (0 < a < 1) 的图像大致是 x

3.设 a ∈ R, A. ?

1 2

2a ? i 是一个实数,则该实数是 1+ i 1 B. 2

C. ?1

D. 1

第 1 页 共 9 页

4.把函数 y = cos 2 x ? 3 sin 2 x 的图像按向量平移后得到的图象关于 y 轴对称,则 | m | 的最小 值为 A.

π
12

B.

π
6

C.

π
3

D.

5π 12

5.已知函数 f ( x ) = 4 x 3 ? 2 x 且 f ' ( x ) > f ' (a ) 成立,则实数 a 的取值范围是 A. ( ?∞,1) B. (1, +∞ ) D. ( ?1,1) C.

( ?∞, ?1)U (1, ∞ )

6.已知 △ ABC λ的重心为 P,若实数λ满足: AB + AC = λ AP 则λ的值为 A.2
x

B.
, x<2 f ( x) = {2 x 2 x +3

2 3

C.3

D.6

7.设函数

, x≥2

若 f ( a ) > 1 ,则 a 的取值范围是 B. (3, +∞ ) D. (0, 2)

A. (0, 2)U (3, +∞ ) C. (0,1)U (2, +∞ ) 8.等差数列中有两项 am = A.

mk + 1 2

1 1 , ak = 则该数列前 mK 项之和为 k m mk + k mk + m B. C. 2 2

D.

k+m 2

9.已知椭圆

x2 y2 x2 y2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 与双曲线 2 ? 2 = 1 有相同的焦点,该椭圆离心率为 2a 2 2b a b
B.

A.

2 2

1 2

C.

6 6

D.

6 3

? x ? y +1 ≥ 0 ? 10.已知 x, y 满足 ?3 x + 2 y ? 6 ≥ 0 ,则 x 2 + y 2 的最小值是 ? x≤2 ?
A.1 B.

6 13 13

C.

36 13

D.

13 4

11.某人射击 8 次,有 3 次命中目标,其中恰有 2 次连续命中目标的情形有 A.15 种 B.30 种 C.48 种

D.60 种

12. 若函数 y = f ( x )( x ∈ R ) 满 足 f ( x + 2) = f ( x ) , 且 x ∈ ( ?1,1] 时 , f ( x) = x , 则函数

y = f ( x ) 的图像与函数 y = log 4 x 的图像的交点个数为
第 2 页 共 9 页

A.3

B.4

C.6

D.8

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 注意事项: 注意事项:
1.第Ⅱ卷共 6 页,用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 填空题: 小题,每小题 把答案直接填在题中横线上。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案直接填在题中横线上。 13.设 n 是正偶数,则 7 + Cn + … +Cn ? 7 + 2 被 4 除所得余数为
n 1 n ?1

.

14.某校对全校男女生共 1600 名进行健康调查,选用分层抽样法抽取一个容量为 200 的样本,已知 女生比男生少抽了 10 人,则该校男生人数应是 . 15. 在正项等比数列 an 中, a2 a8 = 整数 k = .

1 , a1 + a9 的最小值是 m ,且 3a = m ,其中 a ∈ ( k , k + 1) ,则 25

16.从坐标原点 O 引圆 ( x ? m) 2 + ( y ? 2) 2 = m 2 + 1 的切线 y = kx ,当 m 变化时,则切点 P 的轨迹方 程为 . 解答题: 小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) 设 △ ABC 的内角 A、B、C 所对边长分别为 a、b、c ,且 a cos B ? b cos A = 2c. (1)求证: tan A = ?3tan B (2)求 C 的最大值.

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = x x ? 2 (1)解不等式 f ( x ) < 3 ; (2)若 0 < a < 2 ,求 f ( x ) 在 [ 0, a ] 上的最大值.

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19.(本小题满分 12 分) 国家质检总局对 5 家奶制品企业的所有奶制品进行三聚氰胺含量检测,检测出三聚氰胺,则奶 制品质量不合格,若第一次检测质量是不合格的,必须将不合格批次的奶制品招回,第二次检测质 量仍不合格的,责令该企业停产,设每家企业的奶制品质量是否合格是相互独立的,且每家企业第 一次检测质量合格的概率是 0.5,第二次检测质量合格的概率是 0.8,计算: (Ⅰ)恰好有两家企业第一次检测质量不合格的概率; (Ⅱ)平均有多少家企业第一次检测质量不合格; (Ⅲ)至少有一家企业被停产的概率。

20.(本小题满分 12 分)
2 已 知 f ( x ) = ( x + 2) ( x ≥ 0) , 又 数 列 {an } 中 an > 0 , a1 = 2 , 前 n 项 和 S n 满 足

S n = f ( S n ?1 )(n > 1) .若 bn =
(1)求 an ; (2)求 lim(Tn ? n) .
n →∞

2 2 an +1 + an 记 {bn } 的前项和为 Tn . 2an +1an

21.已知椭圆中有如下定理: 过椭圆

x2 y2 xx y y + 2 = 1(a > b > 0) 上任意一点 P( x0 , y0 ) 的切线唯一且方程为: 02 + 02 = 1 , 2 a b a b

利用此定理解决下列问题: 给定椭圆

x2 y 2 + = 1 ,且右焦点为 F . 4 3 3 2

(Ⅰ)求过椭圆上的点 (1, ) 的切线方程; (Ⅱ)如图,过椭圆的右准线上一点 P ,向椭圆引两条切线 PA, PB ,切点为 A, B .求证:三 点 A, F , B 共线 (Ⅲ)求证: OP = λ (OA + OB ) .

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22.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) = Inx +

1 . x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 x ∈ [1, 2] 时, f ( x ) ≤ ax 恒成立,求实数 a 范围.

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参考答案 一.选择题 选择题 1―5 二.填空题 13.1
ADCBD

6―10

CAADC 15.-1

11―12

BC

14.840

16. x 2 + y 2 = 3

三.解答题 解答题 17.(1)在 △ ABC 中由正弦定理得

sin A cos B ? sin B cos A = 2 sin C = 2 sin( A + B ) ……………………………………2 分

sin A cos B = ?3cos A sin B ∴ tan A = ?3tan B ……………………………………………………………..…….4 分 (2)由 tan A = ?3tan B 得 A、B 中有一个钝角 π 若 B > ,则 a cos B ? b cos A < 0 ,矛盾 ∴ B 为锐角, A 为钝角……….6 分 2
展开得

∴ tan C = ? tan( A + B ) = ∴C ≤

tan A + tan B 2 3 ……………..8 分 = ≤ tan A tan B ? 1 cot B + 3 tan B 3

π
6 3 3

当C =

π
6

时 3tan B = cot B

得 tan B =

∴ C 的最大值为

π
6

……………………………………….10 分

18.(1) f ( x) = x x ? 2 = {? x 2 +2 x=? ( x?1)2 +1, x<2 ………………………………………..2 分
2 2 ∴ f ( x) < 3 ? {x≥?2 x?3<0 或 {x<?2 x +3>0 x x
2 2

x 2 ? 2 x =( x ?1)2 ?1, x≥ 2

∴2 ≤ x < 3 或 x < 2

即 x < 3 ……………………………………………………6 分

(2)①当 0 < a < 1 时, f ( x ) 在 [ 0, a ] 为增函数,最大值为 f ( a ) = a (2 ? a ) ……9 分 ② 当 1 ≤ a < 2 时 , f ( x ) 在 [ 0,1] 为 增 函 数 , 在 [1, a ] 上 为 减 函 数 , 此 时 f ( x ) 的 最 大 值 为

f (1) = 1 ……………………………………………………………………………………12 分
19.(Ⅰ)每家企业第一次检测质量不合格的概率是 1—0.5,且每家企业的奶制品质量是否合格 是相互独立的,所以恰好有两家企业第一次检测质量不合格的概率是
5 P = C2 × 0.53 = 1

5 ≈ 0.31 …………………………………………………………..4 分 16

(Ⅱ)由题设得,第一次检测质量不合格的企业数 ξ 服从二项分布.从而 ξ 的数学期望是

Eξ = 5 × 0.5 = 2.5 ,即平均有 2.5 家企业第一次检测质量不合格。…………………8 分
(Ⅲ)某企业停产,即该企业第一次检测质量不合格,第二次检测,质量仍不合格,所以该企业被 停产的概率是 P2 = (1 ? 0.5)(1 ? 0.8) = 0.1 ,从而企业不被停产的概率是 0.9,..10 分
第 6 页 共 9 页

∴ 至少有一家企业被停产的概率是 P3 = 1 ? 0.95 ≈ 0.41 ……………………………….12 分
20.(1) S n = f ( S n ?1 ) = ( S n ?1 + 2) 即 Sn =
2

S n ?1 + 2 ………………………………………………………………………..2 分



{ S } 是以
n

2 为首项, 2 为公差的等差数列……………………………………..3 分
∴ S n = 2n 2 ……………………………………………4 分

∴ S n = 2 + (n ? 1) 2 = n 2

∴ n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = 4n ? 2 n = 1 时 an = 2 满足上式
∴ an = 4n ? 2 ………………………………………………………………………………6 分
2 2 an +1 + an 4n 2 + 1 2 1 1 (2)由∴ bn = = 2 = 1+ 2 = 1+ ? ………….……….9 分 2an +1an 4n ? 1 4n ? 1 2n ? 1 2n + 1

1 ……………………………………………………………………….…11 分 2n + 1 1 ∴ Tn ? n = 1 ? 2n + 1 ∴ Tn = n + 1 ?

∴ lim(Tn ? n) = 1 ……………………………………………………………………………12 分
n →∞

3 y 1? x 2 x y 21.(Ⅰ)利用已知定理,切线方程应为 + = 1, 即 + = 1 , 4 3 4 2 3 故过点 (1, ) 的切线方程为 x + 2 y ? 4 = 0 ………………………………………….…3 分 2
(Ⅱ)椭圆右焦点为 F (1, 0) ,右准线为 x = 4 ,……………………………………….…4 分 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , P (4, y0 ) ,利用所给的定理得 PA 的方程为:

x1 x y1 y + = 1, 4 3 x2 x y2 y + = 1, …………………………………………………………5 分 4 3 y y y y 又P (4,y0) PA、PB 上,得 x1 + 0 1 = 1, x2 + 0 2 = 1 , 在 3 3 y0 即点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 都在直线 x + y = 1 上, 3 y 又 F (1, 0) 也在 x + 0 y = 1 上,故 A, F , B 三点共线.……………………………….……7 分 3
同理 PB 的方程为:
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(Ⅲ)由(Ⅱ)得 AB 所在直线的方程为 x +

y0 x2 y 2 = 1 联立, y = 1 ,将其与 + 3 4 3

2 2 消去 y 整理得到 ( y0 + 12) x 2 ? 24 x + 12 ? 4 y0 = 0,

则 A, B 两点的坐标满足 x1 + x2 =

24 , y + 12
2 0

则 y1 + y2 =

3 ? 3 x1 3 ? 3 x2 6y + = 2 0 ,…………………………………………………..9 分 y0 y0 y0 + 12

因为 OA = ( x1 , y1 ), OB = ( x2 , y2 ), 于是 OA + OB = (

6y 24 6 , 2 0 ), 又 OP = (4, y0 ) ,则 CA + OB = 2 OP, ……11 分 y + 12 y0 + 12 y0 + 12
2 0

∴ OP =


2 y0 + 12 (OA + OB ) 6

∴ OP = λ (OA + OB ), 其中 λ =
22.解:函数定义域为 ( 0, +∞ )

2 y0 + 12 ……………………………………………….12 分 6

f ' ( x) =

1 1 x ?1 ? = 2 ……………………………………………………………………..2 分 x x2 x

∴ 当 x ∈ (0,1) 时, f ' ( x ) < 0, f ( x ) 为减函数
当 x ∈ (1, +∞ ) 时, f ' ( x ) > 0, f ( x) 为增函数……………………………………………….4 分

∴ f ( x ) 的增区间是 (1, +∞ ) ,减区间是 (0,1) …………………………………………….5 分
(2)令 g ( x ) = f ( x ) ? ax 当 x ∈ [1, 2] 时, g ' ( x ) ∈ ? ? a, ① 若 则 g ' ( x) =

1 1 1 1 1 ? 2 ? a = ?( ? ) 2 + ? a x x x 2 4

? ?

1 ? ? a ? ………………………………………………………7 分 4 ?

1 1 ? a ≤ 0 ,即 a ≥ , g ' ( x) ≤ 0 , g ( x ) 在 [1, 2] 内为减函数,只须 g (1) = f (1) ? a ≤ 0, 得 4 4 a ≥ 1 ……………………………………………………………………………………8 分

② 若 ?a ≥ 0 ,即 a ≤ 0 , g ' ( x) ≥ 0 ,则 g ( x ) 在 [1, 2] 上为增函数,

第 8 页 共 9 页

只须 g (2) = f (2) ? 2a ≤ 0, 得 a ≥

In 2 1 + 与 a ≤ 0 矛盾………………………………9 分 2 4 1 1 ' ③ 若 ? a < 0 < ? a ,即 0 < a < ,设 g ( x) = 0 ,则 1 < x0 < 2 4 4

∴ g ( x ) 在 [1, x0 ] 为减函数,在 ( x0 , 2) 上为增函数,
只须 {

g (1) ≤ 0 g (2) ≤ 0

解得 a ≥ 1 与 0 < a <

1 矛盾……………………………………………11 分 4

综上: a ≥ 1 …………………………………………………………………………….12 分

第 9 页 共 9 页


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