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直线的倾斜角与斜率(优质课)


3.1.1 倾斜角与斜率

蓬街私立中学林葵

17世纪,法国数学家笛卡尔,有一天躺在 床上观察虫子在天花板上爬行位置,激发了灵 感,产生了坐标的概念,创立了解析几何。 简单来说,解析几何是用代数方程研究几 何问题的一门科学。

数形结合

教学目标展示:
? ?

1、理解倾斜角,斜率的概念 2、熟练掌握斜率的计算公式

问题展示:
?

? ?

1、如何确定一条直线?过一个点有多少条直 线?这些直线的区别是什么? 2、倾斜角是如何定义的?倾斜角范围是什么? 3、斜率和倾斜角之间有什么关系?它有什么 特殊要求?通过正切函数图象回答:斜率的范 围是什么?斜率值何时为正,何时为负,何时 为0,何时不存在?是否倾斜角越大,斜率越 大?

y

l3

l2

l1
Q

O

P

x

y

l
x O

y

l
x

O

y
O

l
x O

? ? 0?
y

l
x

直线的倾斜角
y

l
α o
x

定义:当直线 l 与x轴相交时, 我们取x轴作为 基准,x轴正向 与直线 l 向上方 向之间所成的角 α 叫做直线 l 的 倾斜角.

规定:直线和x轴平行或重合时,它的倾斜角为0°

o o ? ?[0 ,180 )

直线的斜率

? 一条直线的倾斜角 条直线的斜率.

的正切值叫做这

k? tan?
π π )π ( a ? ? ?[ 0, ) ? ( , π) 22 2

k? tan?
π π ? ?[0, ) ? ( , π) 2 2

k

?

k ? (??,??)
a?0

π 2

O

π 2

π

3? 2

a

k ?0
k ?0
斜率单调递增

π 0 ? a ? 2
π ? a ? π 2

k ?0

斜率单调递增

π a ? 时, k不存在 2

判断正误:
①直线的倾斜角为α,则直线的斜率为 ②直线的斜率的范围是(??,??)

tan ?

(? ) (√ )

③任一条直线都有倾斜角,所以任一条直线都有 斜率. (? ) ④直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 ⑤两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也相等 ⑥平行于x轴的直线的倾斜角是 0或π (? ) (? ) (? )

问题展示

y 2 ? y1 k ? tan a ? x2 ? x1

1.经过两点的斜率公式是什么? 2.已知直线上两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ,运用 上述公式计算直线 AB? 斜率时,与 P 1, P 2 两点坐标的顺 序有关吗? 3.当直线平行于y 轴,或与y 轴重合时,上述斜 率公式还适用吗?为什么?
x 4. 当直线与X轴平行或重合时,上述公式还成立 吗?为什么 ?

当堂检测
1、判断: (1)直线L的斜率为tanβ ,则倾斜角为β (2)当直线与x轴垂直时,其倾斜角不存在 2、填空: 已知一条直线的倾斜角是 135? , (1)若直线还过(1,0)点,则直线经过 (2)若直线还过(0,-1)点,则直线经过 (
(

)
)

象限. 象限.

3、已知a,b,c是两两不等的实数,求经过下列两点直线的倾斜角 : (1)A(a,c),B(b,c) (2)C(a,b),D(a,c) (3)P(b,b+c),Q(a,a+c)

4、 如图 ,已知 A( 3,2), B( ?4,1), C ( 0,?1) ,求 直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角 是锐角还是钝角.

5 已知直线 l 经过三点 p1 (3,5), p2 ( x,7), p3 (?1, y),若直线 l


的斜率为 k ? 2, 求.x, y.的值.

1.直线的倾斜角的定义

2.直线的斜率的定义

3.两点间斜率公式

P.89习题3.1 A组 1,2, 3, 4, 5


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