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2016年广西百色市中考数学试卷


2016 年广西百色市中考数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) 1. (3 分)三角形的内角和等于( A.90° B.180°C.300°D.360° 2. (3 分)计算:23=( A.5 B.6 C.8 ) D.9 ) )

3. (3 分)如图,直线 a、b 被直线 c 所截,下列条件能使 a∥b 的是(

A.∠1=∠6 B.∠2=∠6 C.∠1=∠3 D.∠5=∠7 4. (3 分)在不透明口袋内有形状、大小、质地完全一样的 5 个小球,其中红球 3 个,白球 2 个,随机抽取一个小球是红球的概率是( A. B. C. D. )

5. (3 分)今年百色市九年级参加中考人数约有 38900 人,数据 38900 用科学记 数法表示为( A.3.89×102 ) B.389×102 C.3.89×104 D.3.89×105 )

6. (3 分)如图,△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,AB=12,则 BC=(

A.6

B.6

C.6

D.12 )

7. (3 分)分解因式:16﹣x2=(

A. (4﹣x) (4+x) B. (x﹣4) (x+4) C. (8+x) (8﹣x) D. (4﹣x)2 8. (3 分)下列关系式正确的是( )

A.35.5°=35°5′ B.35.5°=35°50′ C.35.5°<35°5′ D.35.5°>35°5′
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9. (3 分) 为了了解某班同学一周的课外阅读量, 任选班上 15 名同学进行调查, 统计如表,则下列说法错误的是( 阅读量(单位:本/ 周) 人数(单位:人) 1 4 6 2 2 D.极差是 2 ) 0 1 2 ) 3 4

A.中位数是 2 B.平均数是 2 C.众数是 2

10. (3 分)直线 y=kx+3 经过点 A(2,1) ,则不等式 kx+3≥0 的解集是( A.x≤3 B.x≥3C.x≥﹣3 D.x≤0

11. (3 分)A、B 两地相距 160 千米,甲车和乙车的平均速度之比为 4:5,两车 同时从 A 地出发到 B 地,乙车比甲车早到 30 分钟,若求甲车的平均速度,设甲 车平均速度为 4x 千米/小时,则所列方程是( A. C. ﹣ ﹣ =30 = B. D. ﹣ + = =30 )

12. (3 分)如图,正△ABC 的边长为 2,过点 B 的直线 l⊥AB,且△ABC 与△A′BC′ 关于直线 l 对称,D 为线段 BC′上一动点,则 AD+CD 的最小值是( )

A.4

B.3

C.2

D.2+

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 13. (3 分) 的倒数是 . . .

14. (3 分)若点 A(x,2)在第二象限,则 x 的取值范围是

15. (3 分)如图,⊙O 的直径 AB 过弦 CD 的中点 E,若∠C=25°,则∠D=

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16 . ( 3 分)某几何体的三视图如图所示,则组成该几何体的小正方体的个数 是 .

17. (3 分)一组数据 2,4,a,7,7 的平均数 =5,则方差 S2= 18. (3 分)观察下列各式的规律: (a﹣b) (a+b)=a2﹣b2 (a﹣b) (a2+ab+b2)=a3﹣b3 (a﹣b) (a3+a2b+ab2+b3)=a4﹣b4 … 可得到(a﹣b) (a2016+a2015b+…+ab2015+b2016)= .



三、解答题(本大题共 8 小题,共 66 分) 19. (6 分)计算: +2sin60°+|3﹣ . |﹣( ﹣π)0.

20. (6 分)解方程组:

21. (6 分)△ABC 的顶点坐标为 A(﹣2,3) 、B(﹣3,1) 、C(﹣1,2) ,以坐 标原点 O 为旋转中心,顺时针旋转 90°,得到△A′B′C′,点 B′、C′分别是点 B、C 的对应点. (1)求过点 B′的反比例函数解析式; (2)求线段 CC′的长.

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22. (8 分)已知平行四边形 ABCD 中,CE 平分∠BCD 且交 AD 于点 E,AF∥CE, 且交 BC 于点 F. (1)求证:△ABF≌△CDE; (2)如图,若∠1=65°,求∠B 的大小.

23. (8 分)某校在践行“社会主义核心价值观”演讲比赛中,对名列前 20 名的选 手的综合分数 m 进行分组统计,结果如表所示: 组号 一 二 三 四 分组 6≤m<7 7≤m<8 8≤m<9 9≤m≤10 频数 2 7 a 2

(1)求 a 的值; (2)若用扇形图来描述,求分数在 8≤m<9 内所对应的扇形图的圆心角大小; (3)将在第一组内的两名选手记为:A1、A2,在第四组内的两名选手记为:B1、 B2,从第一组和第四组中随机选取 2 名选手进行调研座谈,求第一组至少有 1 名 选手被选中的概率(用树状图或列表法列出所有可能结果) .

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24. (10 分)在直角墙角 AOB(OA⊥OB,且 OA、OB 长度不限)中,要砌 20m 长的墙,与直角墙角 AOB 围成地面为矩形的储仓,且地面矩形 AOBC 的面积为 96m2. (1)求这地面矩形的长; (2)有规格为 0.80×0.80 和 1.00×1.00(单位:m)的地板砖单价分别为 55 元 /块和 80 元/块,若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝 隙) ,用哪一种规格的地板砖费用较少?

25. (10 分) 如图, 已知 AB 为⊙O 的直径, AC 为⊙O 的切线, OC 交⊙O 于点 D, BD 的延长线交 AC 于点 E. (1)求证:∠1=∠CAD; (2)若 AE=EC=2,求⊙O 的半径.

26. (12 分)正方形 OABC 的边长为 4,对角线相交于点 P,抛物线 L 经过 O、P、 A 三点,点 E 是正方形内的抛物线上的动点. (1)建立适当的平面直角坐标系, ①直接写出 O、P、A 三点坐标;
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②求抛物线 L 的解析式; (2)求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值.

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2016 年广西百色市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) 1. (3 分) (2016?百色)三角形的内角和等于( A.90° B.180°C.300°D.360° 【分析】利用三角形的内角和定理:三角形的内角和为 180°即可解本题 【解答】解:因为三角形的内角和为 180 度. 所以 B 正确. 故选 B. 【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理:三角形的内角和为 180°. )

2. (3 分) (2016?百色)计算:23=( A.5 B.6 C.8 D.9



【分析】根据立方的计算法则计算即可求解. 【解答】解:23=8. 故选:C. 【点评】考查了有理数的乘方,乘方的法则:正数的任何次幂都是正数;负数的 奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;0 的任何正整数次幂都是 0.

3. (3 分) (2016?百色)如图,直线 a、b 被直线 c 所截,下列条件能使 a∥b 的 是( )

A.∠1=∠6 B.∠2=∠6 C.∠1=∠3 D.∠5=∠7 【分析】利用平行线的判定方法判断即可.
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【解答】解:∵∠2=∠6(已知) , ∴a∥b(同位角相等,两直线平行) , 则能使 a∥b 的条件是∠2=∠6, 故选 B 【点评】 此题考查了平行线的判定, 熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键.

4. (3 分) (2016?百色)在不透明口袋内有形状、大小、质地完全一样的 5 个小 球,其中红球 3 个,白球 2 个,随机抽取一个小球是红球的概率是( A. B. C. D. )

【分析】用红球的个数除以所有球的个数即可求得抽到红球的概率. 【解答】解:∵共有 5 个球,其中红球有 3 个, ∴P(摸到红球)= , 故选 C. 【点评】此题主要考查概率的意义及求法.用到的知识点为:概率=所求情况数 与总情况数之比.

5. (3 分) (2016?百色) 今年百色市九年级参加中考人数约有 38900 人, 数据 38900 用科学记数法表示为( A.3.89×102 ) C.3.89×104 D.3.89×105

B.389×102

【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式, 其中 1≤|a|<10, n 为整数. 确 定 n 的值时,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点 移动的位数相同.当原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 【解答】解:将 38900 用科学记数法表示为 3.89×104. 故选 C. 【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的 形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.

6. (3 分) (2016?百色)如图,△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,AB=12,则 BC=
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A.6

B.6

C.6

D.12

【分析】根据 30°所对的直角边等于斜边的一半求解. 【解答】解:∵∠C=90°,∠A=30°,AB=12, ∴BC= AB=12× =6, 故答选 A. 【点评】本题考查解直角三角形,解题的关键是正确的利用合适的边角关系.

7. (3 分) (2016?百色)分解因式:16﹣x2=(



A. (4﹣x) (4+x) B. (x﹣4) (x+4) C. (8+x) (8﹣x) D. (4﹣x)2 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案. 【解答】解:16﹣x2=(4﹣x) (4+x) . 故选:A. 【点评】此题主要考查了公式法分解因式,熟练应用平方差公式是解题关键.

8. (3 分) (2016?百色)下列关系式正确的是(



A.35.5°=35°5′ B.35.5°=35°50′ C.35.5°<35°5′ D.35.5°>35°5′ 【分析】根据大单位化小单位乘以进率,可得答案. 【解答】解:A、35.5°=35°30′,35°30′>35°5′,故 A 错误; B、35.5°=35°30′,35°30′<35°50′,故 B 错误; C、35.5°=35°30′,35°30′>35°5′,故 C 错误; D、35.5°=35°30′,35°30′>35°5′,故 D 正确; 故选:D. 【点评】本题考查了度分秒的换算,大单位化成效单位乘以进率是解题关键.

9. (3 分) (2016?百色)为了了解某班同学一周的课外阅读量,任选班上 15 名
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同学进行调查,统计如表,则下列说法错误的是( 阅读量(单位:本/ 周) 人数(单位:人) 1 4 6 2 2 0 1 2 3 4



A.中位数是 2 B.平均数是 2 C.众数是 2

D.极差是 2

【分析】 根据表格中的数据, 求出中位数, 平均数, 众数, 极差, 即可做出判断. 【解答】解:15 名同学一周的课外阅读量为 0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2, 3,3,4,4, 中位数为 2; 平均数为(0×1+1×4+2×6+3×2+4×2)÷15=2; 众数为 2; 极差为 4﹣0=4; 所以 A、B、C 正确,D 错误. 故选 D. 【点评】此题考查了极差,平均数,中位数,众数,熟练掌握各自的求法是解本 题的关键.

10. (3 分) (2016?百色)直线 y=kx+3 经过点 A(2,1) ,则不等式 kx+3≥0 的解 集是( A.x≤3 ) B.x≥3C.x≥﹣3 D.x≤0

【分析】首先把点 A(2,1)代入 y=kx+3 中,可得 k 的值,再解不等式 kx+3≥0 即可. 【解答】解:∵y=kx+3 经过点 A(2,1) , ∴1=2k+3, 解得:k=﹣1, ∴一次函数解析式为:y=﹣x+3, ﹣x+3≥0, 解得:x≤3. 故选 A.
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【点评】 此题主要考查了一次函数与一元一次不等式,关键是掌握待定系数法计 算出 k 的值.

11. (3 分) (2016?百色)A、B 两地相距 160 千米,甲车和乙车的平均速度之比 为 4:5,两车同时从 A 地出发到 B 地,乙车比甲车早到 30 分钟,若求甲车的平 均速度,设甲车平均速度为 4x 千米/小时,则所列方程是( A. C. ﹣ ﹣ =30 = B. D. ﹣ + = =30 )

【分析】设甲车平均速度为 4x 千米/小时,则乙车平均速度为 5x 千米/小时,根 据两车同时从 A 地出发到 B 地,乙车比甲车早到 30 分钟列出方程即可. 【解答】 解: 设甲车平均速度为 4x 千米/小时, 则乙车平均速度为 5x 千米/小时, 根据题意得, 故选 B. 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程,关键是设出速度,以时间做为等 量关系列方程. ﹣ = .

12. (3 分) (2016?百色)如图,正△ABC 的边长为 2,过点 B 的直线 l⊥AB,且 △ABC 与△A′BC′关于直线 l 对称,D 为线段 BC′上一动点,则 AD+CD 的最小值是 ( )

A.4

B.3

C.2

D.2+

【分析】连接 CC′,根据△ABC、△A′BC′均为正三角形即可得出四边形 A′BCC′为 菱形, 进而得出点 C 关于 BC'对称的点是 A', 以此确定当点 D 与点 B 重合时, AD+CD 的值最小,代入数据即可得出结论. 【解答】解:连接 CC′,如图所示.
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∵△ABC、△A′BC′均为正三角形, ∴∠ABC=∠A′=60°,A′B=BC=A′C′, ∴A′C′∥BC, ∴四边形 A′BCC′为菱形, ∴点 C 关于 BC'对称的点是 A', ∴当点 D 与点 B 重合时,AD+CD 取最小值, 此时 AD+CD=2+2=4. 故选 A.

【点评】本题考查了轴对称中的最短线路问题以及等边三角形的性质,找出点 C 关于 BC'对称的点是 A'是解题的关键.

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 13. (3 分) (2016?百色) 的倒数是 3 .

【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可. 【解答】解:∵ ×3=1, ∴ 的倒数是 3. 故答案为:3. 【点评】本题考查的是倒数的定义,即乘积是 1 的两数互为倒数.

14. (3 分) (2016?百色) 若点 A (x, 2) 在第二象限, 则 x 的取值范围是 【分析】根据第二象限内点的横坐标小于零,可得答案. 【解答】解:由点 A(x,2)在第二象限,得 x<0,
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x<0



故答案为:x<0. 【点评】本题考查了点的坐标,熟记点的坐标特征是解题关键.

15. (3 分) (2016?百色)如图,⊙O 的直径 AB 过弦 CD 的中点 E,若∠C=25°, 则∠D= 65° .

【分析】先根据圆周角定理求出∠A 的度数,再由垂径定理求出∠AED 的度数, 进而可得出结论. 【解答】解:∵∠C=25°, ∴∠A=∠C=25°. ∵⊙O 的直径 AB 过弦 CD 的中点 E, ∴AB⊥CD, ∴∠AED=90°, ∴∠D=90°﹣25°=65°. 故答案为:65°. 【点评】本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆 周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.

16. (3 分) (2016?百色)某几何体的三视图如图所示,则组成该几何体的小正 方体的个数是 5 .

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【分析】根据三视图,该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行 3 列,故可得出该几何体的小正方体的个数. 【解答】 解: 综合三视图, 我们可得出, 这个几何体的底层应该有 4 个小正方体, 第二层应该有 1 个小正方体, 因此搭成这个几何体的小正方体的个数为 4+1=5 个; 故答案为:5. 【点评】 本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对空间 想象能力方面的考查.如果掌握口诀“俯视图打地基,正视图疯狂盖,左视图拆 违章”就更容易得到答案.

17. (3 分) (2016?百色) 一组数据 2, 4, a, 7, 7 的平均数 =5, 则方差 S2= 3.6 【分析】根据平均数的计算公式: =



,先求出 a 的值,再代入方

差公式 S2= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…+(xn﹣ )2]进行计算即可. 【解答】解:∵数据 2,4,a,7,7 的平均数 =5, ∴2+4+a+7+7=25, 解得 a=5, ∴方差 s2= [(2﹣5)2+(4﹣5)2+(5﹣5)2+(7﹣5)2+(7﹣5)2]=3.6; 故答案为:3.6. 【点评】 本题主要考查的是平均数和方差的求法, 一般地设 n 个数据, x1, x2, …xn 的平均数为 ,则方差 S2= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…+(xn﹣ )2].

18. (3 分) (2016?百色)观察下列各式的规律: (a﹣b) (a+b)=a2﹣b2 (a﹣b) (a2+ab+b2)=a3﹣b3 (a﹣b) (a3+a2b+ab2+b3)=a4﹣b4 … 可得到(a﹣b) (a2016+a2015b+…+ab2015+b2016)= a2017﹣b2017 .

【分析】根据已知等式,归纳总结得到一般性规律,写出所求式子结果即可.
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【解答】解: (a﹣b) (a+b)=a2﹣b2; (a﹣b) (a2+ab+b2)=a3﹣b3; (a﹣b) (a3+a2b+ab2+b3)=a4﹣b4; … 可得到(a﹣b) (a2016+a2015b+…+ab2015+b2016)=a2017﹣b2017, 故答案为:a2017﹣b2017 【点评】此题考查了平方差公式,以及多项式乘以多项式,弄清题中的规律是解 本题的关键.

三、解答题(本大题共 8 小题,共 66 分) 19. (6 分) (2016?百色)计算: +2sin60°+|3﹣ |﹣( ﹣π)0.

【分析】本题涉及二次根式化简、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂 4 个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法 则求得计算结果. 【解答】解: =3+2× =3+ =5. 【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题 型.解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式化简、特殊角的三角函数值、绝对 值、负整数指数幂等考点的运算. +3﹣ ﹣1 +2sin60°+|3﹣ ﹣1 |﹣( ﹣π)0

+3﹣

20. (6 分) (2016?百色)解方程组: 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可. 【解答】解: ,



①×8+②得:33x=33,即 x=1, 把 x=1 代入①得:y=1, 则方程组的解为 .
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【点评】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代 入消元法与加减消元法.

21. (6 分) (2016?百色)△ABC 的顶点坐标为 A(﹣2,3) 、B(﹣3,1) 、C(﹣ 1,2) ,以坐标原点 O 为旋转中心,顺时针旋转 90°,得到△A′B′C′,点 B′、C′分 别是点 B、C 的对应点. (1)求过点 B′的反比例函数解析式; (2)求线段 CC′的长.

【分析】 (1)据图形旋转方向以及旋转中心和旋转角度得出对应点,根据待定系 数法,即可求出解. (2)根据勾股定理求得 OC,然后根据旋转的旋转求得 OC′,最后根据勾股定理 即可求得. 【解答】解: (1)如图所示:由图知 B 点的坐标为(﹣3,1) ,根据旋转中心 O, 旋转方向顺时针,旋转角度 90°, 点 B 的对应点 B′的坐标为(1,3) , 设过点 B′的反比例函数解析式为 y= , ∴k=3×1=3, ∴过点 B′的反比例函数解析式为 y= . (2)∵C(﹣1,2) , ∴OC= = ,

∵△ABC 以坐标原点 O 为旋转中心,顺时针旋转 90°,
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∴OC′=OC= ∴CC′=

, = .

【点评】 本题考查了图形的旋转、勾股定理的应用以及待定系数法求反比例函数 的解析式,抓住旋转的三要素:旋转中心,旋转方向,旋转角度是解题关键.

22. (8 分) (2016?百色)已知平行四边形 ABCD 中,CE 平分∠BCD 且交 AD 于点 E,AF∥CE,且交 BC 于点 F. (1)求证:△ABF≌△CDE; (2)如图,若∠1=65°,求∠B 的大小.

【分析】 (1)由平行四边形的性质得出 AB=CD,AD∥BC,∠B=∠D,得出∠1= ∠DCE,证出∠AFB=∠1,由 AAS 证明△ABF≌△CDE 即可; (2)由(1)得∠1=∠DCE=65°,由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可 得出结果. 【解答】 (1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB=CD,AD∥BC,∠B=∠D, ∴∠1=∠BCE, ∵AF∥CE, ∴∠BCE=∠AFB, ∴∠1=∠AFB, 在△ABF 和△CDE 中, ∴△ABF≌△CDE(AAS) ; ,

(2)解: ∵CE 平分∠BCD, ∴∠DCE=∠BCE=∠1=65°,
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∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°. 【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性 质、三角形内角和定理;熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形全等是解决问 题的关键.

23. (8 分) (2016?百色)某校在践行“社会主义核心价值观”演讲比赛中,对名 列前 20 名的选手的综合分数 m 进行分组统计,结果如表所示: 组号 一 二 三 四 分组 6≤m<7 7≤m<8 8≤m<9 9≤m≤10 频数 2 7 a 2

(1)求 a 的值; (2)若用扇形图来描述,求分数在 8≤m<9 内所对应的扇形图的圆心角大小; (3)将在第一组内的两名选手记为:A1、A2,在第四组内的两名选手记为:B1、 B2,从第一组和第四组中随机选取 2 名选手进行调研座谈,求第一组至少有 1 名 选手被选中的概率(用树状图或列表法列出所有可能结果) .

【分析】 (1)根据被调查人数为 20 和表格中的数据可以求得 a 的值; (2) 根据表格中的数据可以得到分数在 8≤m<9 内所对应的扇形图的圆心角大; (3)根据题意可以写出所有的可能性,从而可以得到第一组至少有 1 名选手被 选中的概率. 【解答】解: (1)由题意可得, a=20﹣2﹣7﹣2=9, 即 a 的值是 9; (2)由题意可得,
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分数在 8≤m<9 内所对应的扇形图的圆心角为:360°× (3)由题意可得,所有的可能性如下图所示,

=162°;

故第一组至少有 1 名选手被选中的概率是: 即第一组至少有 1 名选手被选中的概率是 .

= ,

【点评】本题考查列表法与树状图法、频数分布表、扇形统计图,解题的关键是 明确题意,找出所求问题需要的条件.

24. (10 分) (2016?百色)在直角墙角 AOB(OA⊥OB,且 OA、OB 长度不限) 中, 要砌 20m 长的墙, 与直角墙角 AOB 围成地面为矩形的储仓, 且地面矩形 AOBC 的面积为 96m2. (1)求这地面矩形的长; (2)有规格为 0.80×0.80 和 1.00×1.00(单位:m)的地板砖单价分别为 55 元 /块和 80 元/块,若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝 隙) ,用哪一种规格的地板砖费用较少?

【分析】 (1)根据题意表示出长方形的长,进而利用长×宽=面积,求出即可; (2)分别计算出每一规格的地板砖所需的费用,然后比较即可. 【解答】 (1)设这地面矩形的长是 xm,则依题意得: x(20﹣x)=96, 解得 x1=12,x2=8(舍去) , 答:这地面矩形的长是 12 米;
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(2)规格为 0.80×0.80 所需的费用:96÷(0.80×0.80)×55=8250(元) . 规格为 1.00×1.00 所需的费用:96÷(1.00×1.00)×80=7680(元) . 因为 8250>7680, 所以采用规格为 1.00×1.00 所需的费用较少. 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思, 根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.

25. (10 分) (2016?百色)如图,已知 AB 为⊙O 的直径,AC 为⊙O 的切线,OC 交⊙O 于点 D,BD 的延长线交 AC 于点 E. (1)求证:∠1=∠CAD; (2)若 AE=EC=2,求⊙O 的半径.

【分析】 (1)由 AB 为⊙O 的直径,AC 为⊙O 的切线,易证得∠CAD=∠BDO,继 而证得结论; (2)由(1)易证得△CAD∽△CDE,然后由相似三角形的对应边成比例,求得 CD 的长,再利用勾股定理,求得答案. 【解答】 (1)证明:∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ADB=90°, ∴∠ADO+∠BDO=90°, ∵AC 为⊙O 的切线, ∴OA⊥AC, ∴∠OAD+∠CAD=90°, ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA,
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∵∠1=∠BDO, ∴∠1=∠CAD;

(2)解:∵∠1=∠CAD,∠C=∠C, ∴△CAD∽△CDE, ∴CD:CA=CE:CD, ∴CD2=CA?CE, ∵AE=EC=2, ∴AC=AE+EC=4, ∴CD=2 ,

设⊙O 的半径为 x,则 OA=OD=x, 则 Rt△AOC 中,OA2+AC2=OC2, ∴x2+42=(2 解得:x= . . +x)2,

∴⊙O 的半径为

【点评】此题考查了切线的性质、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质.注 意证得△CAD∽△CDE 是解此题的关键.

26. (12 分) (2016?百色)正方形 OABC 的边长为 4,对角线相交于点 P,抛物 线 L 经过 O、P、A 三点,点 E 是正方形内的抛物线上的动点. (1)建立适当的平面直角坐标系, ①直接写出 O、P、A 三点坐标; ②求抛物线 L 的解析式; (2)求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值.

【分析】 (1)以 O 点为原点,线段 OA 所在的直线为 x 轴,线段 OC 所在的直线
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为 y 轴建立直角坐标系.①根据正方形的边长结合正方形的性质即可得出点 O、 P、A 三点的坐标;②设抛物线 L 的解析式为 y=ax2+bx+c,结合点 O、P、A 的坐 标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式; (2)由点 E 为正方形内的抛物线上的动点,设出点 E 的坐标,结合三角形的面 积公式找出 S△OAE+SOCE 关于 m 的函数解析式, 根据二次函数的性质即可得出结论. 【解答】解: (1)以 O 点为原点,线段 OA 所在的直线为 x 轴,线段 OC 所在的 直线为 y 轴建立直角坐标系,如图所示.

①∵正方形 OABC 的边长为 4,对角线相交于点 P, ∴点 O 的坐标为(0,0) ,点 A 的坐标为(4,0) ,点 P 的坐标为(2,2) . ②设抛物线 L 的解析式为 y=ax2+bx+c, ∵抛物线 L 经过 O、P、A 三点, ∴有 ,

解得:



∴抛物线 L 的解析式为 y=﹣

+2x.

(2)∵点 E 是正方形内的抛物线上的动点, ∴设点 E 的坐标为(m,﹣ +2m) (0<m<4) ,

∴S△OAE+SOCE= OA?yE+ OC?xE=﹣m2+4m+2m=﹣(m﹣3)2+9, ∴当 m=3 时,△OAE 与△OCE 面积之和最大,最大值为 9. 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、正方形的性质、三角形的面积公 式以及二次函数的性质,解题的关键是: (1)建立直角坐标系.①根据正方形的
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性质找出点的坐标;②利用待定系数法求函数解析式; (2)利用二次函数的性质 解决最值问题.本题属于中档题,难度不大,解决该题型题目时,建立直角坐标 系,找出点的坐标,再结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键.

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参与本试卷答题和审题的老师有: 弯弯的小河; HJJ; sks; HLing; 王学峰; sd2011; 2300680618;曹先生;ZJX;lantin;守拙;家有儿女;zgm666;nhx600;zcx(排 名不分先后) 菁优网 2017 年 3 月 1 日

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