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人教版-高中数学选修4-5 绝对值不等式的解法


绝对值不等式的解法(2) 绝对值不等式的解法

教学目的: 教学目的: ⑴熟练掌握 ax + b < c, ax + b > c(c > 0) 型不等式的解法,并能应用它解决问题; ⑵掌握 m < ax + b < n (n >m>0) 型不等式的解法; ⑶掌握数形结合、分类讨论的思想、换元转化 的思想方法. 教学重点: 教学重点: < ax + b < n n
(m>n >0) 型不等式的解法

教学难点: 教学难点: 含有两个或两个以上绝对值符号的不 等式的解法.

一、复习引入 ②
-c


0


c

题型1: 题型 如果 c 是正数,那么 ① ②

x < c x 2 < c2 c < x < c
x > c x 2 > c2 x < c, 或x > c
2 2

题型2: 如果 c 是正数,那么 题型 ① ax +b < c (ax +b) < c c < ax +b < c

ax+b > c (ax+b)2 > c2 ax+b < c,或ax+b > c ②

二、重难点讲解 ② ① -m -n 0 n m 题型3: 题型 形如n<| ax + b | <m (m>n>0)不等式

等价于不等式组


n < ax + b < m, 或 m < ax + b < n
题型4: 题型 含有多个绝对值的不等式的解法 ---零点分段法

| ax + b |> n | ax + b |< m


三、例题讲解 例1 解不等式 3<|3-2x|≤5 .

解法1: <| 3 2 x |≤ 5 3 <| 2 x 3 |≤ 5 3
或 | 2 x 3 |> 3 2 x 3 > 3, 2 x 3 < 3 | 2 x 3 |≤ 5 5 ≤ 2 x 3 ≤ 5
或 x > 3, x < 0 即 1 ≤ x ≤ 4

-1

0

3

4

∴ 原不等式的解集是{x | 1 ≤ x < 0, 3 < x ≤ 4}. 或

三、例题讲解 例1 解不等式 3<|3-2x|≤5 .

解法2: 3 <| 3 2 x |≤ 5 3 <| 2 x 3 |≤ 5 2 x 3 ≥ 0 2 x 3 < 0 , 或 3 < 2 x 3 ≤ 5 3 < (2 x 3) ≤ 5 3 3 x < x ≥ , 2 2 , 或 1 ≤ x < 0 3 < x ≤ 4

3 < x ≤ 4, 1 ≤ x < 0 . 或
∴ 原不等式的解集是{x | 1 ≤ x < 0, 3 < x ≤ 4}. 或

三、例题讲解 例1 解不等式 3<|3-2x|≤5 .

解法3: 3 <| 3 2 x |≤ 5 3 <| 2 x 3 |≤ 5

3 < 2 x 3 ≤ 5, 5 ≤ 2 x 3 < 3 或
3 < x ≤ 4, 1 ≤ x < 0 . 或
∴ 原不等式的解集是{x | 1 ≤ x < 0, 3 < x ≤ 4}. 或
-1 0 3 4

-1 ② 3 三、例题讲解 ① 例2 解不等式|x +1| + |3-x| >2 + x.



解:原不等式变形为| X +1| + |X -3| > 2 + X. 若| X +1| = 0,X =-1;若| X -3| = 0,X=3. 零点-1,3把数轴分成了三部分,如上图所示.
(1)当x ≤ 1时, x + 1 ≤ 0, x 3 < 0,

∴ 原不等式变形为 ( x + 1) ( x 3) > 2 + x, 即x < 0.

此时, 得{x | x ≤ 1} ∩ {x | x < 0} = {x | x ≤ 1}.

-1 ② 3 三、例题讲解 ① 例2 解不等式|x +1| + |3-x| >2 + x.



解:(1)当x ≤ 1时, 原不等式的解为{x|x ≤ 1};
(2)当 1 < x ≤ 3时, x + 1 > 0, x 3 ≤ 0,

∴ 原不等式变形为( x + 1) ( x 3) > 2 + x, 即x < 2.
此时, 得{x | 1 < x ≤ 3} ∩ {x | x < 2} = {x | 1 < x < 2};

(3)当x > 3时, x + 1 > 0, x 3 > 0, ∴ 原不等式变形为( x + 1) + ( x 3) > 2 + x, 即x > 4.
此时, 得{x | x > 3} ∩ {x | x > 4} = {x | x > 4}; 2 4 将(1)、 2)、 3)的结果取并集, ( (

则原不等式的解集为{x | x < 2, 或x > 4}.

三、例题讲解 例3 解不等式| x -1 | + | 2x-4 |>3 + x 解:(1)当x≤1时原不等式化为: 1-x + 4 -2x >3 + x 1 1 ② 2 ① ③ x< 2 (2)当1<x ≤2时,原不等式化为: 又∵ 1<x ≤2,∴此时原不等式的解集为φ (3)当x>2时,原不等式化为 综上所述,原不等式的解集为
① 1 ② 2 ③

x 1+ 4 2x > 3 + x x < 0

x 1 + 2x 4 > 3 + x x > 4
1/2 4

1 x | x < 或x > 4. 2

四、练习 1. 解不等式2<|2x-5|≤7. 解:原不等式等价于 2<2x-5≤7,或- 7≤ 2x-5<-2 7 ∴ < x ≤ 6, 或 1 ≤ x < 3 2 2

原不等式的解集为: 3 7 或 <x≤6 {x|-1≤x< } 2 2

-1

3 2

7 2

6

x

四、练习 2.解不等式 x 9 < x 1 解:

x 9 < x 1

(x 9 ) < (x 1 ) x>5
2
1 5 9

2

四、练习
3. 解不等式 -3|-|x+1|<1 解不等式|x- - + < 解:使两个绝对值分别为零的x的值依次为 x=3、x=- , 使两个绝对值分别为零的 的值依次为 = 、 =-1, =- 将其在数轴上标出,将实数分为三个区间.依次考虑, 将其在数轴上标出,将实数分为三个区间.依次考虑,原不 等式可以转化为下列不等式组. 等式可以转化为下列不等式组
x≤-1 -1<x≤3 x>3 ≤ <≤ > Ⅰ) Ⅱ) Ⅲ) - + + < - - + < - - + < -(x-3)-(x+1)<1 -(x-3)+(x+1)<1 (x-3)-(x+1)<1
I) ) 1 的解集为空集; 的解集为空集;Ⅱ)的解为 <x≤3;Ⅲ)的解为 x>3 ≤ ; > 2

1 综上所述,原不等式的解集为{x > . 综上所述,原不等式的解集为 | x> }. 2
① -1 ② 3 ③

五、小结 (1)解含绝对值的不等式的关键是要去掉绝对 值的符号,其基本思想是把含绝对值的不等式转 为不含绝对值的不等式。 (2)零点分段法解含有多个绝对值的不等式。 ①
x1


x2




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