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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 一元二次不等式课件 北师大版必修5_图文

一元二次不等式 复习一元二次方程 复习一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0) ? ? 0方程有两个不等的根 ? ? 0方程有一个根 ? ? 0方程没有根 求根的方法:(1)公式法 X= (2)配方法,化为顶点式 a(x ? b )2 ? 4ac ? b2 ? 0 2a 4a (3)十字相乘法 例:求x2 ? 2x ? 3 ? 0的根 方法一: ? (?2) ? (?2)2 ? 4? (?3) x? 2 ? 1? 2? x1 ? ?1, x2 ? 3 方法二: x2 ? 2x ? 3 ? (x ?1)2 ? 4 ? 0,?(x ?1)2 ? 4 ? x ?1 ? ?2,即x ? 1? 2,? x1 ? ?1, x2 ? 3 方法三: x2 ? 2x ? 3 ? (x ?1)(x ? 3) ? 0,? x1 ? ?1, x2 ? 3 复习一元二次函数 复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0) 当a>0时图像 y y y O x1 x x2 ??0 O ?b x 2a ??0 O x ??0 复习一元二次函数 复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0) 当a<0时图像 y ??0 y ??0 y ??0 O x1 x2 x O ?b x 2a O x 一元二次不等式定义: 定义:含有一个未知数,并且未知数的最高次数 是二次的不等式叫做一元二次不等式. 形如: ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0(a≠0) 问题:如何解一元二次不等式呢? 例:解一元二次不等式x2-2x-3<0 分析: 令y=x2-2x-3,得到一元二次函数。 求得x2-2x-3=0的两根为x1=-1,x2=3 所以二次函数y=x2-2x-3的图象如图: y y=x2-2x-3 -1 o x 3 问题探究: 研究二次函数y=x2-2x-3的图象,图像如下: (1).当x取 ___x_=__-1_或__3_ 时,y=0? 当x取 ___-1_<_x_<_3___ 时,y<0? 当x取 _x_<_-1__或__x_>_3_ 时,y>0? (2).由图象写出 不等式x2-2x-3 <0 的解集 为 ﹛x|-1<x<3﹜ ———————— 不等式x2-2x-3<0 的解集 为 ﹛x|x<-1或x>3﹜ ———————— y y=x2-2x-3 y>0 o x -1 y<0 3 归纳: 如何利用二次函数解二次不等式ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0 呢? (1)先画出对应函数的图像 (2)确定不等式的解集: ax2 ? bx ? c ? 0 的解集就是确定函数 y ? ax2 ? bx ? c 图像在X轴下方时,其x的取值范围 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集就是确定函数 y ? ax2 ? bx ? c 图像在X轴上方时,其x的取值范围 一元二次不等式解集表(a>0) ⊿=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 ⊿>0 y x1 x2 x ⊿=0 y x1(x2) x ⊿<0 y x 方程 有两个不等实 有两个相 x2+bx+c=0 根 等实根 的根 x1,x2(x1<x2) x1=x2 ax2+bx+的c>解0(集a>0)﹛x|x<x1或x>x2﹜﹛x|x≠x1﹜ ax2+bx+c<0 (a>0) 的解集 ﹛x|x1<x<x2﹜ Φ 无实根 R Φ 例:解不等式:3x2 ? 5x ? 2 ? 0 例:解不等式:9x2 ? 6x ?1 ? 0 例:解不等式:x2 ? 4x ? 5 ? 0 例:解不等式:? 2x2 ? x ? 1 ? 0 例:解不等式:? x2 ? 4x ? 4 ? 0 例2:已知不等式 ax2 ? bx ?1 ? 0 的解集是 ?x 3 ? x ? 4? ,求实数 a, b 的值. 例:设A,B分别是不等式 3x2 ? 6 ? 19x 与不等式 ? 2x2 ? 3x ? 5 ? 0的解集,试求A ? B, A ? B. 解:由3x2 ? 6 ? 19 x,得3x2 ?19 x ? 6 ? 0 解得:A=??x ? 1 3 ? x ? ? 6? ? 由-2x2 ? 3x ? 5 ? 0解得 B ? ? ?x ? ? 1 ? x ? 5 2 ? ? ? ? ? ? A ? B ? ??x ? 1 3 ? x ? 5? 2?? A?B ? x?1? x ? 6 例:解关于x的不等式: 含参变量 的不等式 x2 ? (2m ? 1)x ? m2 ? m ? 0 解:方程x2 ? (2m ? 1)x ? m2 ? m ? 0的解为: x1 ? m, x2 ? m ?1 ?m ? m?1 ?原不等式的解集为?x m ? x ? m ?1? 例:解关于x的不等式: x2 ? (1 ? a)x ? a ? 0 解:方程x2 ? (1 ? a)x ? a ? 0的解为: x1 ? ?1, x2 ? a (1)当a ? ?1时,原不式的解集为( a,?1); (2)当a ? ?1时,原不式的解集为? (3)当a ? ?1时,原不式的解集为 (?1, a) 例:已知ax2 ? (1 ? a)x ? 1 ? 0恒成立, 求a的取值范围。 y 解:不等式恒成立,即解集为R ? y ? ax2 ? (1 ? a)x ? 1的大致图像如图: O x ? a ? 0, ? ? 0 由? ? (1 ? a)2 ? 4a ? 0解得:3 ? 2 2 ? a ? 3 ? 2 2 又a ? 0 ? a的取值范围为 3 ? 2 2 ? a ? 3 ? 2 2 练一练 ? P78-练习1第3题 ? P80-练习2

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