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高中数学必修2第二章(免费)


第二章 点、直线、平面之间的位置关系 一、选择题 1.设 ?,?为两个不同的平面,l,m 为两条不同的直线,且 l ? ?,m ? ? ,有如下的两个命题:① 若??∥?,则 l∥m;②若 l⊥m,则??⊥?.那么( A.①是真命题,②是假命题 C.①②都是真命题 ). B.①是假命题,②是真命题 D.①②都是假命题 ).

2.如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误 的是( .. A.BD∥平面 CB1D1 C.AC1⊥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD

D.异面直线 AD 与 CB1 角为 60°

3.关于直线 m,n 与平面??,?,有下列四个命题: ①m∥?,n∥??且??∥?,则 m∥n; ③m⊥?,n∥??且??∥?,则 m⊥n; 其中真命题的序号是( A.①② 4.给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行 ③若直线 l1,l2 与同一平面所成的角相等,则 l1,l2 互相平行 ④若直线 l1,l2 是异面直线,则与 l1,l2 都相交的两条直线是异面直线 其中假 命题的个数是( . A.1 B.2 ). ). C.3 D.4 ). B.③④ C.①④ D.②③ ②m⊥?,n⊥??且??⊥?,则 m⊥n; ④m∥?,n⊥??且??⊥?,则 m∥n. (第 2 题)

5.下列命题中正确的个数是(

①若直线 l 上有无数个点不在平面???内,则 l∥? ②若直线 l 与平面???平行,则 l 与平面???内的任意一条直线都平行 ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行 ④若直线 l 与平面???平行,则 l 与平面???内的任意一条直线都没有公共点 A.0 个 B.1 个 C.2 个 ). D.只有两个 D.3 个

6. 两直线 l1 与 l2 异面,过 l1 作平面与 l2 平行,这样的平面( A.不存在 B.有唯一的一个 C.有无数个

第 1 页 共 6 页

7.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A,B,C,D 四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( A.90° ). B.60° ). C.45° D.30°

8.下列说法中不正确的 是( ....

A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B.同一平面的两条垂线一定共面 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 9.给出以下四个命题: ①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行 ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行 ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直 其中真命题的个数是( A.4 ). B.3 C.2 D.1 ).

10.异面直线 a,b 所成的角 60° ,直线 a⊥c,则直线 b 与 c 所成的角的范围为( A.[30°,90°] 二、填空题 B.[60°,90°] C.[30°,60°] D.[30°,120°]

11.已知三棱锥 P-ABC 的三条侧棱 PA,PB,PC 两两相互垂直,且三个侧面的面积分别为 S1,S2, S3,则这个三棱锥的体积为 .

12.P 是△ ABC 所在平面???外一点,过 P 作 PO⊥ 平面??,垂足是 O,连 PA,PB,PC. (1)若 PA=PB=PC,则 O 为△ ABC 的 (2)PA⊥PB,PA⊥PC,PC⊥PB,则 O 是△ABC 的 (3)若点 P 到三边 AB,BC,CA 的距离相等,则 O 是△ABC 的 (4)若 PA=PB=PC,∠C=90?,则 O 是 AB 边的 (5)若 PA=PB=PC,AB=AC,则点 O 在△ABC 的 13.如图,在正三角形 ABC 中,D,E,F 分别为各边的中点,G, H,I,J 分别为 AF,AD,BE,DE 的中点,将△ABC 沿 DE,EF, DF 折成三棱锥以后,GH 与 IJ 所成角的度数为 . 点; 线上. 心; 心; 心;

J

第 2 页 共 6 页 (第 13 题)

14.直线 l 与平面 ??所成角为 30°,l∩?=A,直线 m∈?,则 m 与 l 所成角的取值范围 是 . 15.棱长为 1 的正四面体内有一点 P,由点 P 向各面引垂线,垂线段长度分别为 d1,d2,d3,d4,则 d1+d2+d3+d4 的值为 .

16.直二面角??-l-??的棱上有一点 A,在平面??,??内各有一条射线 AB,AC 与 l 成 45°,AB ? ?, AC ? ?,则∠BAC= 三、解答题 17.在四面体 ABCD 中,△ABC 与△DBC 都是边长为 4 的正三角形. (1)求证:BC⊥AD; (2)若点 D 到平面 ABC 的距离等于 3,求二面角 A-BC-D 的正弦值; (3)设二面角 A-BC-D 的大小为 ?,猜想 ??为何值时,四面 体 A-BCD 的体积最大.(不要求证明) .

(第 17 题)

18. 如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,BB1=BC=1,E 为 D1C1 的中点,连结 ED,EC, EB 和 DB. (1)求证:平面 EDB⊥平面 EBC; (2)求二面角 E-DB-C 的正切值.

(第 18 题)

19*.如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,

第 3 页 共 6 页

SA⊥ 面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= (1)求四棱锥 S—ABCD 的体积;

1 . 2

(2)求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值. (提示:延长 BA,CD 相交于点 E,则直线 SE 是 所求二面角的棱.)

(第 19 题)

20*.斜三棱柱的一个侧面的面积为 10,这个侧面与它所对棱的距离等于 6,求这个棱柱的体积.(提 示:在 AA1 上取一点 P,过 P 作棱柱的截面,使 AA1 垂直于这个截面.)

(第 20 题)

参考答案 第 4 页 共 6 页

一、选择题 1.D 2.D 3.D 4.D 5 .B 6.B 7.C 8.D 9.B 10.A

二、填空题 11.

1 3

2S1S 2 S3 .

12.外,垂,内,中,BC 边的垂直平分.

13.60° .

14.[30° ,90° ]. 三、解答题

15.

6 . 3

16.60°或 120°.

17.证明:(1)取 BC 中点 O,连结 AO,DO. ∵△ABC,△BCD 都是边长为 4 的正三角形, ∴AO⊥BC,DO⊥BC,且 AO∩DO=O, ∴BC⊥平面 AOD.又 AD ? 平面 AOD, ∴BC⊥AD. (第 17 题)

解:(2)由(1)知∠AOD 为二面角 A-BC-D 的平面角,设∠AOD=?,则过点 D 作 DE⊥ AD,垂足为 E. ∵BC⊥平面 ADO,且 BC ? 平面 ABC, ∴平面 ADO⊥平面 ABC.又平面 ADO∩平面 ABC=AO, ∴DE⊥平面 ABC. ∴线段 DE 的长为点 D 到平面 ABC 的距离,即 DE=3. 又 DO=

3 BD=2 3 , 2
3 DE = , 2 DO 3 . 2

在 Rt△DEO 中,sin?=

故二面角 A-BC-D 的正弦值为

(3)当 ?=90°时,四面体 ABCD 的体积最大. 18.证明:(1)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,BB1=BC=1,E 为 D1C1 的中点.∴△DD1E 为 等腰直角三角形,∠D1ED=45°.同理∠C1EC=45°.∴ ?DEC ? 90? ,即 DE⊥EC. 在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中,BC⊥平面 D1DCC1 ,又 DE ? 平面 D1 DCC1 , ∴BC⊥DE.又 EC ? BC ? C ,∴DE⊥平面 EBC.∵平面 DEB 过 DE,∴平面 DEB⊥平面 EBC. (2)解: 如图, 过 E 在平面 D1DCC1 中作 EO⊥DC 于 O. 在 长方体 ABCD- A1B1C1D1 中, ∵面 ABCD⊥面 D1DCC1 , ∴EO⊥

第 5 页 共 6 页

面 ABCD.过 O 在平面 DBC 中作 OF⊥DB 于 F,连结 EF,∴EF⊥BD.∠EFO 为二面角 E-DB-C 的平 面角.利用平面几何知识可得 OF=

1 , 5

(第 18 题)

又 OE=1,所以,tan ? EFO= 5 .

1 1+ 1 2 ?1= 3 , 19*.解:(1)直角梯形 ABCD 的面积是 M 底面= (BC+AD)? AB = 2 4 2
∴四棱锥 S—ABCD 的体积是 V=

1 1 3 1 ·SA·M 底面= ×1× = . 4 4 3 3

(2)如图,延长 BA,CD 相交于点 E,连结 SE,则 SE 是所求二面角的棱. ∵AD∥BC,BC=2AD, ∴EA=AB=SA,∴SE⊥SB ∵SA⊥面 ABCD,得面 SEB⊥面 EBC,EB 是交线. 又 BC⊥EB,∴BC⊥面 SEB,故 SB 是 SC 在面 SEB 上的射影, ∴CS⊥SE,∠BSC 是所求二面角的平面角. ∵SB=

SA2+AB2 = 2 ,BC=1,BC⊥SB,
BC 2 = , SB 2
(第 19 题)

∴tan∠BSC=

即所求二面角的正切值为

2 . 2

20*.解:如图,设斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面 BB1C1C 的面积为 10, A1A 和面 BB1C1C 的距离为 6, 在 AA1 上取一点 P 作截面 PQR, 使 AA1⊥ 截面 PQR, AA1∥CC1, ∴截面 PQR⊥侧面 BB1C1C, 过 P 作 PO⊥QR 于 O, 则 PO⊥侧面 BB1C1C,且 PO=6. ∴V 斜=S△PQR·AA1= = =

1 ·QR·PO·AA1 2 1 ·PO·QR·BB1 2 1 ×10×6 = 30. 2

(第 20 题)

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