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函数的定义域和值域的求法


函数的定义域指自变量的取值集 合。中学数学中涉及的求定义域问题 一般有两大类:一类是求初等函数的 定义域问题;一类是求抽象函数的定 义域问题。

使函数有意义的x的取值范围
1、整式: R 2、分式: 使分母不为0的x的集合 3、偶次根式: 被开方式≥0 4、零次幂式: 底式不等于0 列方程组(不等 5、几个因式的和(差、积)的形式: 式组)求交集

例题讲解

例1、求下列函数的定义域 (用区间表示)
1 (1) y ? 4x ? 7 2 (3) y ? x ? 1 ? x ?1
(5) y ? 1 1 1? x ? (3x ? 2)0

(2) y ? 1 ? x ? x ? 3 ?1

(4) y ? x ? 2 ? x ? 2

1? x (6) y ? 2 2 x ? 3x ? 2

题型(一) :已知f ( x)的定义域 , 求f [ g ( x)] 的定义域 例 1.若f ( x)的定义域是 [0,2],求f (2 x ?1)的定义域
解: 由题意知:
0 ? 2x ?1 ? 2
1 3 ? ? x? 2 2

1 3 故 : f ( 2 x ? 1)的定义域是 {x ?x? } 2 2

变式练习: 若f ( x)的定义域是?0, 2?, 求f ( x2 )的定义域
解: 由题意知:

0 ? x2 ? 2

?? 2 ? x ? 2
故 : f x 2 的定义域是 [? 2 ,

? ?

2]

(题型二) :已知f ?g ?x?? 的定义域, 求f ( x)的定义域
例2. 已知f ?2 x ?1?的定义域(?1,5],求f ( x)的定义域
解: 由题意知:

?1 ? x ? 5
? ?3 ? 2 x ? 1 ? 9

?? 3, 9? ? f ( x)的定义域为

变式练习
已知f (2 x ? 1)的定义域 ? ?1,5? , 求f (2 ? 5 x)的定义域
解: 由题意知:

?1 ? x ? 5
? ?3 ? 2 x ? 1 ? 9
? ?3 ? 2 ? 5 x ? 9
7 ?? ? x ?1 5

? f ?2 ? 5 x ?的定义域是 [?

7 ,1) 5

总结: 已知f(x)的定义域为A,求f[g(x)]的定 义域:实质是由g(x)∈A求x的范围。 已知f[g(x)] 的定义域为A,求f(x)的定

义域:实质是由x的范围求g(x)的范围。

1、函数值的集合我们叫函数的值域。

2、求函数的值域通常有: (1)直接法; (2)分离常数法; (3)图像法;(4)判别式法;(5)换元法

方法一、直接法(观察法)
例1,(1)已知函数f(x)=2x-3, x∈{0,1,2,3,5},求f(x)的值域

(2)已知函数y=-2x+1,x∈(3,6),求该函 数的值域
(1)y = x ? 1;

变式练习:求下列函数的值域:(观察法) 1 1 1 (2)y = , y ? ,y? ? 3, x x ?1 x ?1

方法二、分离常数法
2x ?1 例2 : 求函数 y ? 的值域 x?3 2x ?1 求函数 y ? 的值域 3x ? 6

cx+d 方法归纳:形如y= ax+b
c ? ? 的值域: ? y y ? , 且y ? R ? a ? ?

(a≠0)函数

x ?2 变式练习? y ? x2 ? 1 5x ?1 求函数 y ? 的值域 2x ? 3
2

方法三、图像法

(2)y=x ? 2 x ? 3, x ? [0,3)
2

例3(1)y=x, x ? 1

?1 ? ,0 ? x ?1 (3) y ? ? x ? ? x, x ? 1
变式练习: 分别求y ? x ? x ? 6(?1 ? x ? 1)、
2

(2 ? x ? 4)、 (?1 ? x ? 0)的值域。

方法四、判别式法
例4.求函数y=
x2-x+3 的值域 x2-x+1

a1x2+b1x+c1 方法归纳:形如y= a x2+b x+c(a1≠0或a2 ≠0) 2 2 2

的值域的求法。一般可用判别式△≥0求得。
练习:1 求函数y= 3x 的值域 2 x +4 的值域

2x2+4x-7 2 求函数y= x2+2x+3

方法五、换元法
例5.求下列函数的值域

y ? 5 ? x ? 3x ? 1

1 解:令 t ? 3 x ? 1 , 则x ? (t 2 ? 1) 3 且t ? 0, 1 1 3 65 ? y ? 5 ? ( t 2 ? 1) ? t ? ? ( t ? ) 2 ? 3 3 2 12 3 65 ? ? 0,? ymax ? 2 12 65 ?值 域 为 ( ? ?, ] 12

归纳总结:形如y=ax+b± cx+d (a≠0,c ≠0)均可用代数换元法。 练习:求函数y=2x+ 1-2x 的值域。

变式训练:求下列函数的值域:(换元法)

(1)y =2x +4 1+x ;

(2)y =2x +4 1-x ; 变式x ? ? -?,-3?


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