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[推荐学习]高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数课时作业新人教版选修2_2

生活的色彩就是学习

1.3.2
明目标、知重点

函数的极值与导数

1.了解函数极值的概念,会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系,并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.

1.极值点与极值 (1)极小值点与极小值 如图,函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其他点 的函数值都小,f′(a)=0;而且在点 x=a 附近的左侧 f′(x)<0,右 侧 f′(x)>0,则把点 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数 y =f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值 如图, 函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大, f′(b) =0;而且在点 x=b 的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,则把点 b 叫做函数 y=f(x)的极大 值点,f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值. (3)极大值点、极小值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值. 2.求函数 y=f(x)的极值的方法 解方程 f′(x)=0,当 f′(x0)=0 时: (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值. (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极小值.

[情境导学] 在必修 1 中,我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题.但函数在定义域内某一点 附近,也存在着哪一点的函数值大,哪一点的函数值小的问题,如何利用导数的知识来判断 函数在某点附近函数值的大小问题?又如何求出这些值?这就是本节我们要研究的主要内 容. 探究点一 函数的极值与导数的关系 思考 1 如图观察,函数 y=f(x)在 d、e、f、g、h、i 等点处的函数值与这些点附近的函数 值有什么关系?y=f(x)在这些点处的导数值是多少?在这些点附近,y=f(x)的导数的符号 有什么规律? K12 的学习需要努力专业专心坚持

生活的色彩就是学习

答 以 d、e 两点为例,函数 y=f(x)在点 x=d 处的函数值 f(d)比它在点 x=d 附近其他点的 函数值都小,f′(d)=0;在 x=d 的附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0.类似地,函数 y =f(x)在点 x=e 处的函数值 f(e)比它在 x=e 附近其他点的函数值都大,f′(e)=0;在 x=

e 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0.
结论 思考 1 中点 d 叫做函数 y=f(x)的极小值点,f(d)叫做函数 y=f(x)的极小值;点 e 叫 做函数 y=f(x)的极大值点,f(e)叫做函数 y=f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极 值点,极大值和极小值统称为极值. 思考 2 吗? 答 函数的极大值与极小值并无确定的大小关系,一个函数的极大值未必大于极小值;在区 函数的极大值一定大于极小值吗?在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的

间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个. 思考 3 若某点处的导数值为零,那么,此点一定是极值点吗?举例说明. 答 可导函数的极值点处导数为零,但导数值为零的点不一定是极值点.可导函数 f(x)在 x0 处取得极值的充要条件是 f′(x0)=0 且在 x0 两侧 f′(x)的符号不同. 例如, 函数 f(x)=x 可导, 且在 x=0 处满足 f′(0)=0, 但由于当 x<0 和 x>0 时均有 f′(x)>0, 所以 x=0 不是函数 f(x)=x 的极值点. 思考 4 函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b) 内的图象如图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内有________个极小 值点. 答案 1 解析 由图可知, 在区间(a, x1), (x2,0), (0, x3)内 f′(x)>0; 在区间(x1, x2), (x3, b)内 f′(x)<0. 即 f(x)在(a,x1)内单调递增,在(x1,x2)内单调递减,在(x2,x3)内单调递增,在(x3,b)内单 调递减.所以,函数 f(x)在开区间(a,b)内只有一个极小值点,极小值点为 x=x2.故填 1. 1 3 例 1 求函数 f(x)= x -4x+4 的极值. 3 解 f′(x)=x -4. 解方程 x -4=0,得 x1=-2,x2=2. 由 f′(x)>0,得 x<-2 或 x>2; 由 f′(x)<0,得-2<x<2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
2 2 3 3

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x f′(x) f(x)

(-∞,-2) + 单调递增

-2 0 28 3

(-2,2) - 单调递减

2 0 - 4 3

(2,+∞) + 单调递增

28 由表可知:当 x=-2 时,f(x)有极大值 f(-2)= ; 3 4 当 x=2 时,f(x)有极小值 f(2)=- . 3 反思与感悟 求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x); (2)求方程 f′(x)=0 的根; (3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间,并列成表格.检测

f′(x)在方程根左右两侧的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如
果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么 f(x)在这个根处 无极值. 3 跟踪训练 1 求函数 f(x)= +3ln x 的极值.

x

3 解 函数 f(x)= +3ln x 的定义域为(0,+∞),

x

f′(x)=- 2+ = x x

3

3

3?x-1? . 2

x

令 f′(x)=0,得 x=1. 当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(0,1) - 单调递减

1 0 3

(1,+∞) + 单调递增

因此,当 x=1 时,f(x)有极小值 f(1)=3. 探究点二 利用函数极值确定参数的值 思考 已知函数的极值,如何确定函数解析式中的参数? 答 解这类问题,通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程,

从而求出参数的值.需注意的是,可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得 极值的必要条件,所以必须对求出的参数值进行检验,看是否符合函数取得极值的条件. 例 2 已知 f(x)=x +3ax +bx+a 在 x=-1 时有极值 0,求常数 a,b 的值. 解 因为 f(x)在 x=-1 时有极值 0, 且 f′(x)=3x +6ax+b,
2 3 2 2

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?f′?-1?=0, ? ?f?-1?=0, ? ? ?a=1, ?b=3 ? ?3-6a+b=0, ? 即? 2 ?-1+3a-b+a =0. ? ? ?a=2, ?b=9. ?
2 2

所以?

解之得?

或?

当 a=1,b=3 时,f′(x)=3x +6x+3=3(x+1) ≥0, 所以 f(x)在 R 上为增函数,无极值,故舍去. 当 a=2,b=9 时,f′(x)=3x +12x+9=3(x+1)(x+3). 当 x∈(-3,-1)时,f(x)为减函数; 当 x∈(-1,+∞)时,f(x)为增函数, 所以 f(x)在 x=-1 时取得极小值,因此 a=2,b=9. 反思与感悟 (1)利用函数的极值确定参数的值,常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列 方程组,利用待定系数法求解. (2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件,所以利用待定系数法求解后, 必须验证根的合理性. 跟踪训练 2 设 x=1 与 x=2 是函数 f(x)=aln x+bx +x 的两个极值点. (1)试确定常数 a 和 b 的值; (2)判断 x=1,x=2 是函数 f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由. 解 (1)∵f(x)=aln x+bx +x, ∴f′(x)= +2bx+1. 由极值点的必要条件可知:
2 2 2

a x

f′(1)=f′(2)=0,
∴a+2b+1=0 且 +4b+1=0, 2 2 1 解方程组得,a=- ,b=- . 3 6 2 1 2 (2)由(1)可知 f(x)=- ln x- x +x, 3 6 2 1 2 且函数 f(x)=- ln x- x +x 的定义域是(0,+∞), 3 6

a

f′(x)=- x-1- x+1=-

2 3

1 3

?x-1??x-2? . 3x

当 x∈(0,1)时,f′(x)<0;当 x∈(1,2)时,f′(x)>0; 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)<0; 所以,x=1 是函数 f(x)的极小值点,

x=2 是函数 f(x)的极大值点.
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生活的色彩就是学习 探究点三 函数极值的综合应用 例 3 设函数 f(x)=x -6x+5,x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值; (2)若关于 x 的方程 f(x)=a 有三个不同的实根,求实数 a 的取值范围. 解 (1)f′(x)=3x -6,令 f′(x)=0, 解得 x1=- 2,x2= 2. 因为当 x> 2或 x<- 2时,f′(x)>0; 当- 2<x< 2时,f′(x)<0. 所以,f(x)的单调递增区间为(-∞,- 2)和( 2,+∞); 单调递减区间为(- 2, 2). 当 x=- 2时,f(x)有极大值 5+4 2; 当 x= 2时,f(x)有极小值 5-4 2. (2)由(1)的分析知 y=f(x)的图象的大致形状及走向如图所示. 所以,当 5-4 2<a<5+4 2时, 直线 y=a 与 y=f(x)的图象有三个不同的交点, 即方程 f(x)=a 有三个不同的实根. 反思与感悟 用求导的方法确定方程根的个数,是一种很有效的方法.它 通过函数的变化情况,运用数形结合思想来确定函数图象与 x 轴的交点个数,从而判断方程 根的个数. 跟踪训练 3 若函数 f(x)=2x -6x+k 在 R 上只有一个零点,求常数 k 的取值范围. 解 f(x)=2x -6x+k, 则 f′(x)=6x -6, 令 f′(x)=0, 得 x=-1 或 x=1, 可知 f(x)在(-1,1)上是单调减函数,
2 3 3 2 3

f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是单调增函数. f(x)的极大值为 f(-1)=4+k, f(x)的极小值为 f(1)=-4+k.
要使函数 f(x)只有一个零点, 只需 4+k<0 或-4+k>0(如图所示)

或 K12 的学习需要努力专业专心坚持

生活的色彩就是学习 即 k<-4 或 k>4. ∴k 的取值范围是(-∞,-4)∪(4,+∞).

1.“函数 y=f(x)在一点的导数值为 0”是“函数 y=f(x)在这点取得极值”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 B 解析 对于 f(x)=x ,f′(x)=3x ,f′(0)=0, 不能推出 f(x)在 x=0 处取极值,反之成立.故选 B. 2. 函数 f(x) 的定义域为 R ,导函数 f′(x) 的图象如图所示,则函数
3 2

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

f(x)(

)

A.无极大值点,有四个极小值点 B.有三个极大值点,两个极小值点 C.有两个极大值点,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点 答案 C 解析 f′(x)的符号由正变负,则 f(x0)是极大值,f′(x)的符号由负变正,则 f(x0)是极小 值,由图象易知有两个极大值点,两个极小值点. 3.已知 f(x)=x +ax +(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为( A.-1<a<2 C.a<-1 或 a>2 答案 D 解析 f′(x)=3x +2ax+a+6, 因为 f(x)既有极大值又有极小值, 那么 Δ =(2a) -4×3×(a+6)>0, 解得 a>6 或 a<-3. 4.设 a∈R,若函数 y=e +ax,x∈R 有大于零的极值点,则 a 的取值范围为________. 答案 (-∞,-1) 解析 y′=e +a,由 y′=0 得 x=ln(-a). 由题意知 ln(-a)>0,∴a<-1. 5.直线 y=a 与函数 y=x -3x 的图象有三个相异的交点,则 a 的取值范围是________. 答案 -2<a<2 解析 f′(x)=3x -3. K12 的学习需要努力专业专心坚持
2 3 2 2 3 2

)

B.-3<a<6 D.a<-3 或 a>6

x

x

生活的色彩就是学习 令 f′(x)=0 可以得到 x=1 或 x=-1, ∵f(1)=-2,f(-1)=2,∴-2<a<2. [呈重点、现规律] 1.在极值的定义中,取得极值的点称为极值点,极值点指的是自变量的值,极值指的是函数 值. 2. 函数的极值是函数的局部性质. 可导函数 f(x)在点 x=x0 处取得极值的充要条件是 f′(x0) =0 且在 x=x0 两侧 f′(x)符号相反. 3.利用函数的极值可以确定参数的值,解决一些方程的解和图象的交点问题.

一、基础过关

1.

函数 y=f(x)的定义域为(a,b),y=f′(x) )

的图象如图,则函数 y=f(x)在开区间(a,b)内取得极小值的点有( A.1 个 C.3 个 答案 A B.2 个 D.4 个

解析 当满足 f′(x)=0 的点,左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0 时,该点为极小值点,观察题 图,只有一个极小值点. 2.下列关于函数的极值的说法正确的是( A.导数值为 0 的点一定是函数的极值点 B.函数的极小值一定小于它的极大值 C.函数在定义域内有一个极大值和一个极小值 D.若 f(x)在(a,b)内有极值,那么 f(x)在(a,b)内不是单调函数 K12 的学习需要努力专业专心坚持 )

生活的色彩就是学习 答案 D 解析 由极值的概念可知只有 D 正确. 3. 若 a>0, b>0, 且函数 f(x)=4x -ax -2bx+2 在 x=1 处有极值, 则 ab 的最大值等于( A.2 B.3 C.6 D.9 答案 D 解析 f′(x)=12x -2ax-2b, ∵f(x)在 x=1 处有极值, ∴f′(1)=12-2a-2b=0,∴a+b=6. 又 a>0,b>0,∴a+b≥2 ab,∴2 ab≤6, ∴ab≤9,当且仅当 a=b=3 时等号成立, ∴ab 的最大值为 9. 4.函数 y=x -3x -9x(-2<x<2)有( A.极大值 5,极小值-27 B.极大值 5,极小值-11 C.极大值 5,无极小值 D.极小值-27,无极大值 答案 C 解析 由 y′=3x -6x-9=0,得 x=-1 或 x=3,当 x<-1 或 x>3 时,y′>0,当-1<x<3 时,y′<0.故当 x=-1 时,函数有极大值 5;x 取不到 3,故无极小值. 5.已知函数 f(x),x∈R,且在 x=1 处,f(x)存在极小值,则( A.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)>0; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0 B.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)>0; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0 C.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)<0; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0 D.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)<0; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0 答案 C 解析 ∵f(x)在 x=1 处存在极小值, ∴x<1 时,f′(x)<0,x>1 时,f′(x)>0. 6.若函数 y=x -3ax+a 在(1,2)内有极小值,则实数 a 的取值范围是( A.1<a<2 C.2<a<4 B.1<a<4 D.a>4 或 a<1
3 2 3 2 2 3 2

)

)

)

)

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生活的色彩就是学习 答案 B 解析 y′=3x -3a,当 a≤0 时,y′≥0, 函数 y=x -3ax+a 为单调函数,不合题意,舍去;当 a>0 时,y′=3x -3a=0? x=± a, 不难分析,当 1< a<2,即 1<a<4 时,函数 y=x -3ax+a 在(1,2)内有极小值. 二、能力提升 7.若函数 f(x)= 答案 3
3 3 2 2

x2+a 在 x=1 处取得极值,则 a=________. x+1

?x +a?′ 解析 ∵f′(x)=? ? ? x+ 1 ?
= = ?x +a?′?x+1?-?x +a??x+1?′ 2 ?x+1?
2 2

2

x2+2x-a 2 , ?x+1?

又∵函数 f(x)在 x=1 处取极值, ∴f′(1)=0. ∴1+2×1-a=0, ∴a=3. 验证知 a=3 符合题意. 8.设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是( A.? x∈R,f(x)≤f(x0) B.-x0 是 f(-x)的极小值点 C.-x0 是-f(x)的极小值点 D.-x0 是-f(-x)的极小值点 答案 D 解析 A 错,因为极大值未必是最大值.B 错,因为函数 y=f(x)与函数 y=f(-x)的图象关 于 y 轴对称,-x0 应是 f(-x)的极大值点.C 错,函数 y=f(x)与函数 y=-f(x)的图象关于 )

x 轴对称,x0 应为-f(x)的极小值点.D 正确,函数 y=f(x)与 y=-f(-x)的图象关于原点对
称,-x0 应为 y=-f(-x)的极小值点. 9 .函数 f(x) = x + 3ax + 3(a + 2)x + 3 既有极大值又有极小值,则实数 a 的取值范围是 ________. 答案 (-∞,-1)∪(2,+∞) 解析 ∵f′(x)=3x +6ax+3(a+2),令 3x +6ax+3(a+2)=0,即 x +2ax+a+2=0,∵ 函数 f(x)有极大值和极小值,∴方程 x +2ax+a+2=0 有两个不相等的实数根,即 Δ =4a -4a-8>0,解得 a>2 或 a<-1. K12 的学习需要努力专业专心坚持
2 2 2 2 2 3 2

生活的色彩就是学习 10.求下列函数的极值:

x -2 (1)f(x)= 2; 2?x-1?
(2)f(x)=x e . 解 (1)函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞). ?x-2? ?x+1? ∵f′(x)= , 3 2?x-1?
2 2 -x

3

令 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(-∞,-1) + 单调递增

-1 0 - 3 8

(-1,1) - 单调递减

1

(1,2) + 单调递增

2 0 3

(2,+∞) + 单调递增

故当 x=-1 时,函数有极大值, 3 并且极大值为 f(-1)=- ,无极小值. 8 (2)函数的定义域为 R,

f′(x)=2xe-x+x2·? x?′ e
=2xe -x e
-x 2 -x

?1? ? ?

=x(2-x)e , 令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

-x

x f′(x) f(x)

(-∞,0) - 单调递减

0 0 0

(0,2) + 单调递增

2 0 4e
-2

(2,+∞) - 单调递减

由上表可以看出,当 x=0 时,函数有极小值,且为 f(0)=0; 当 x=2 时,函数有极大值,且为 f(2)=4e . 1 2 5 3 2 11.已知 f(x)=x + mx -2m x-4(m 为常数,且 m>0)有极大值- ,求 m 的值. 2 2 解 ∵f′(x)=3x +mx-2m =(x+m)(3x-2m), 2 令 f′(x)=0,则 x=-m 或 x= m. 3 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
2 2 -2

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生活的色彩就是学习

x f′(x) f(x)

(-∞,-m) +

-m 0 极大值

?-m,2m? ? 3 ? ? ?


2 m 3 0 极小值

?2m,+∞? ?3 ? ? ?


1 3 3 3 ∴f(x)极大值=f(-m)=-m + m +2m -4 2 5 =- , 2 ∴m=1. 12.设 a 为实数,函数 f(x)=x -x -x+a. (1)求 f(x)的极值; (2)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点? 解 (1)f′(x)=3x -2x-1. 1 令 f′(x)=0,则 x=- 或 x=1. 3 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
2 3 2

x f′(x) f(x)

1 (-∞, - ) 3 + 单调递增

- 0

1 3

1 (- ,1) 3 - 单调递减

1 0 极小值

(1,+∞) + 单调递增

极大值

1 5 所以 f(x)的极大值是 f(- )= +a, 3 27 极小值是 f(1)=a-1. (2)函数 f(x)=x -x -x+a =(x-1) (x+1)+a-1, 由此可知,x 取足够大的正数时,有 f(x)>0,
2 3 2

x 取足够小的负数时,有 f(x)<0,
所以曲线 y=f(x)与 x 轴至少有一个交点. 1 5 由(1)知 f(x)极大值=f(- )= +a, 3 27

f(x)极小值=f(1)=a-1.
∵曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点, ∴f(x)极大值<0 或 f(x)极小值>0, 5 5 即 +a<0 或 a-1>0,∴a<- 或 a>1, 27 27

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生活的色彩就是学习 5 ∴当 a∈(-∞,- )∪(1,+∞)时,曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点. 27 三、探究与拓展 13.已知函数 f(x)=e -ln(x+m). (1)设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; (2)当 m≤2 时,证明 f(x)>0. (1)解 f(x)=e -ln(x+m)? f′(x)=e - 定义域为{x|x>-1},
x x x

1 1 0 ? f′(0)=e - =0? m=1, x+m 0+m

f′(x)=ex- = x+m

1

e ?x+1?-1 , x+1
x

显然 f(x)在(-1,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增. (2)证明 令 g(x)=e -ln(x+2), 则 g′(x)=e -
x x

1 (x>-2). x+2 1

h(x)=g′(x)=ex-

x+2

1 x (x>-2)? h′(x)=e + 2>0, ?x+2?

所以 h(x)是单调递增函数,h(x)=0 至多只有一个实数根, 1 1 1 1 又 g′(- )= - <0,g′(0)=1- >0, 2 3 2 e 2

? 1 ? 所以 h(x)=g′(x)=0 的唯一实根在区间?- ,0?内, ? 2 ?
设 g′(x)=0 的根为 t, 则有 g′(t)=e - 所以,e =
t t

1 ? 1 ? =0?- <t<0?, t+2 ? 2 ?
-t

1

t+2

? t+2=e ,

当 x∈(-2,t)时,g′(x)<g′(t)=0,g(x)单调递减; 当 x∈(t,+∞)时,g′(x)>g′(t)=0,g(x)单调递增; 所以 g(x)min=g(t)=e -ln(t+2)=
t

1 ?1+t? +t= >0, t+2 t+2
2

当 m≤2 时,有 ln(x+m)≤ln(x+2), 所以 f(x)=e -ln(x+m)≥e -ln(x+2) =g(x)≥g(x)min>0.
x x

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