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黑龙江省哈尔滨市第六中学2013届高三上学期第四次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案


哈尔滨市第六中学 2013 届高三上学期第四次模拟考试

数学文试题
考试说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.做答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效. 3.做答第Ⅱ卷时,请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题 卷上答题无效. 4.保持答题卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准用涂改液、修正带、刮纸刀.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U= {x ? N | x ? 9} ,集合 A ? {3,4,5} , B ? {1,3,6} ,则 (CU A) ? (CU B ) ? ( )

(A) {0,2,7,8 } 2.已知复数 z ? (A) ? 3

(B) {0,2,7}

(C) {0,2,8} ) (C)3

(D) {0,2}

?3?i ,则 z 的虚部为( i3
(B)

3i

(D) ? 3i

3.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PC 与底面垂直,若该四棱锥的正视图和侧视图都 是腰长为 1 的等腰直角三角形,则该四棱锥中最长的棱的长度为( )

(A)1

(B)

2

(C)

3

(D) 2

4.函数 f ( x) ? ( ) ?
x

1 3

x 的零点所在的区间为( 1 1 3 2
(C) ( ,1)

) (D) (1,2) )

(A) (0, )

1 3

(B) ( , )

1 2

5.执行如图所示的程序框图,若输入的 p ? 5, q ? 6 ,则输出的 a, i 的值分别为( (A) 5,1 6.已知 cos(? (B) 30,3 (C) 15,3 (D)30,6

? 3 ? )? ,则 sin 2? 的值为 ( 4 3
(B) ?



(A) ?

2 3

1 3

(C)

1 3

(D)

7.若 f ( x) ? 2 cos(?x ? ? ) ? m 对任意实数都有 f (t ? (A) ? 1 (B)

?

2 3

?3

) ? f (?t ) ,且 f ( ) ? ?1 ,则实数 m 的值等于( 4 8
(D)-1 或 3

?

)

(C)-3 或 1

8.设 F1 , F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,若双曲线上存在点 A 使得 ?F1 AF2 ? 90 ? ,且 a 2 b2
) (C)

AF1 ? 3 AF2 ,则双曲线的离心率为(
(A)

5 2

(B)

10 2

15 2

(D) 5

9.已知函数 f ( x) ? a x ? 2 , g ( x) ? log a x ( a ? 0, 且a ? 1) ,且 f ( 2011) ? g ( ?2012) ? 0 ,则 y ? f (x) , y ? g (x) 在同一坐标系下的大致图像是( )

(A)

(B)

(C)

(D)

(A)

?
9

(B)

?
6

(C)

6 ? 6

(D) ?

2 3

11.直线 4kx ? 4 y ? k ? 0 与抛物线 y 2 ? x 交于 A, B 两点,若 AB ? 4 ,则弦 AB 的中点到直线 x ? 距离等于( (A) ) (B)2 (C)

1 ?0 的 2

7 4

9 4

(D)4

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答,第 22 题~24 题 为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.利用独立性检验来判断两个分类变量 X 和 Y 是否有关系时,通过查阅下表来确定 X 和 Y 有关系可信度, 如果 K 2 ? 6.024 ,那么最大有 ______ % 的把握认为 X 和 Y 有关系.

?x ? y ? 2 ? 0 ? 14.已知实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z ? y ? ax( a ? R ) 取得最大值时的唯一最优解是 ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?

(1,3) ,则实数 a 的取值范围是 ________
15.已知平面向量 a, b 的夹角为 60 ,且 a ? 2, b ? 1, 则向量 a 与 a ? 2b 的夹角为 _______
?

16.在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,已知 sin( 2 A ?

?
6

)?

1 3 , b ? 1 , ?ABC 的面积为 ,则 2 2

b?c 的值为 ________ sin B ? sin C

三、解答题:本大题共 70 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 ? 1, an ? 0, S n 是 数 列 {an } 的 前 n 项 和 , 对 任 意 的 n ? N * , 有

2 S n ? 2 an ? an ? 1 .
2

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 2 an

18. (本小题满分 12 分) 如图所示,在 ?ABC 中, AC ? 1, AB ? 3, ?ACB ? 面互相垂直, CD ? 2 . (1)求证: AD // 平面PCE ; (2)求三棱锥 P ?

?
2

, P 为 AB 的中点且 ?ABC 与矩形 BCDE 所在的平

ACE 的高.

19. (本小题满分 12 分)

某高校组织自主招生考试,共有 2000 名优秀学生参加笔试,成绩介于 195 分到 275 分之间,从中随机抽取 50 名学生的成绩进行统计,将统计结果按如下方式分成 8 组:第一组 [195,205) ,第二组 [ 205,215) ,…,第

八组 [ 265,275] .如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图,且笔试成绩在 260 分(含 260 分)以上的同 学进入面试. (1) (2) 估计所有参加笔试的 2000 名学生中,参加面试的学生人数; 面试时,每位考生抽取二个问题,若两个问题全答错,则不能取得该校的自主招生的资格;若二个问题 均回答正确且笔试成绩在 270 分以上,则获得 A 类资格;其它情况下获 B 类资格.现已知某中学有两 人获得面试资格,且仅有一人笔试成绩为 270 分以上,在回答两个面试问题时,两人对每一个问题正确 回答的概率均为

1 ,求恰有一位同学获得该高校 B 类资格的概率. 2

20. (本小题满分 12 分)

21. (本小题满分 12 分) 已知 a ? R ,函数 f ( x) ?

a ? ln x ? 1, g ( x) ? (ln x ? 1)e x ? x . x

(1)判断函数 f (x) 在 (0, e] 上的单调性; (2) 是否存在实数 x0 ? (0,??) , 使曲线 y ? g (x) 在点 x 值,若不存在,请说明理由.

? x0 处的切线与 y 轴垂直? 若存在,求出 x0 的

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所选的第一题记分.做题时用 2B 铅笔在答题卡上 把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲

如图,圆 O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线交于点 P , E 为圆 O 上一点, AE 求证: ?PDE ? ?POC .

? AC ,

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数

f ( x) ? 2 x ? a ? a .

(1)若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 {x | ?2 ? x ? 3} ,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若存在实数 n 使 f ( n) ? m ? f ( ? n) 成立,求实数 m 的取值范围.

18.

.
(2)三棱锥 P ?

ACE 的高为

6 3

(12 分)

19.

其中角标中的 1 表示正确,0 表示错误,如 N10 表示 N 同学第一题正确,第二题错误, 将两位同学的答题情况列表如下:

M 11

M 10

M 01

M 00

N11 N10 N 01 N 00
A 类资格, N 8 1 校 B 类资格的概率为 ? . 16 2
表中 AB 表示 M 获

AB

BB

BB

CB

AB

BB

BB

CB

AB

BB

BB

CB

AC

BC

BC

CC

获 B 类资格;BC 表示 M 获 B 类资格, N 没有获得资格.所以恰有一位同学获该高 12 分

20.

22.

23.

24.


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