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常数函数与幂函数的导数及导数公式表


已知:函数f ( x )是可导的奇函数,求证:其导函

数 f ?( x ) 是偶函数。

f ? ? x ? ?x ? ? f ? ? x ? 证明:f ?(? x) ? lim ?x ?0 ?x ? f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ? lim ?x ?0 ?x f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ? lim ?x ?0 ??x ? f ?( x) 所以是偶函数。

已知:函数f ( x )是可导的偶函数,求证:其导函

数 f ?( x ) 是奇函数。

f ? ? x ? ?x ? ? f ? ? x ? 证明:f ?(? x) ? lim ?x ?0 ?x f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ? lim ?x ?0 ?x f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ? ? lim ?x ?0 ?x ? ? f ?( x) 所以是奇函数。

1.2.1常数函数和幂函数的导数











一、知识新授:1、常数函数与幂函数的导数

公式1: C ? ? 0 (C为常数)

设y ? f ( x) ? C , C是常数, f ? x ? ?x ? ? f ? x ? C ?C C ? ? lim ? lim ?0 ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x 即C ? ? 0, 常数函数的导数为0。
几何意义:常数函数在任何一点处的切线平行 于x轴。

公式2: x? ? 1
设y ? f ? x ? ? x f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ? x ? ?x ? ? x ? 1 x? ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x 即x? ? 1 在同一平面直角坐标系中,

探 究 ?

画出y=2x,y=3x,y=4x的 图象,并根据导数定义, 求它们的导数。

(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一 个增加的最慢?(3)函数y=kx(k≠0)增(减) 的快慢与什么有关?函数y=kx(k≠0)的导数是?

公式3:

? ? lim f ? x ? ?x ? ? f ? x ? 设y ? f ? x ? ? x , ? x ? ?x ? 0 ?x
2 2

( x )? ? 2 x
2
2

x ? ?x ? ? x 2 ? ? lim ? lim ? 2 x ? ?x ? ? 2 x ?x ? 0 ?x ? 0 ?x 2 ? 即 x ? 2x

? ?

? ? lim f ? x ? ?x ? ? f ? x ? 设y ? f ? x ? ? x , ? x ? ?x ?0 ?x
3 3

? ? 3x 2 公式4: ? x ?
3

? x ? ?x ? ? lim
?x ?0 3

3

?x

3

?x

? lim ? 3 x ? 3 x?x ? ?x ? ? 3x
2 2 ?x ?0

2

? ? 3x 2 即? x ?

f ? x ? ?x ? ? f ? x ? 1 1 ?? ? 设y ? f ? x ? ? ? x ? 0 ? , ? ? ? lim x ?x ? x ? ?x?0 1 ? 1 1? ?1 1 ? lim ? ? ? ? lim ?? 2 ?x ?0 ?x x ? ?x x ? ?x?0 x ? x ? ?x ? x ? ? 1 ?1? 即? ? ? ? 2 ? x ? 0 ? x ? x?

1 1 公式5: ( )? ? ? 2 x x

公式6:

( x )? ?

1
?x

设y ? f ? x ? ?

2 x f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ? x ? x ? 0 ? , ? x ? ? lim ?x ?0

x ? ?x ? x ? lim ? lim ?x ?0 ?x ? 0 ?x ?x

?

?x x ? ?x ? x

?

? x ? ?x ? x ? 1 ? 即? x ? ? ? x ? 0? 2 x
?x ?0

? lim

1

?

1 2 x
P/15注意事项:

注意事项:
1、,在求导数时,当 ?x ? 0 时, 是不变 的,视为常数,常数的极限是这个常数本身。 2、求极限的四则运算法则: 若 lim f ? ?x ? ? A, lim g ? ?x ? ? B ? B ? 0 ? ,

x

则 lim f ? ?x ? ? g ? ?x ? ? A ? B
?x ? 0

?x ? 0

?x ? 0

lim f ? ?x ??g ? ?x ? ? A?B

?x ? 0

f ? ?x ? A lim ? ?x ? 0 g ? ?x ? B

常数函数和幂函数的导数公式:

公式1: C ? ? 0 (C为常数)

? ? nxn?1 n ? N 公式2: ? x ? ? ??
n

? ? ? x ? ?1 ? ? Q 公式3: ? x ? ? ?
?

练习1:求下列函数的导数。

1 (1) y ? 2 x ? 1 (2)y ? 2 (3)y ? x (4)y ? x
3

5

x

3

(1)解:y' ? 2 ? 3x

3?1

? 6x

2

1 2 ?2 ? 2 ?1 ?3 (2) 解 : y ' ? ( 2 )' ? ( x )' ? ?2( x) ? ?2 x ? ? 3 x x 1 1 ? 1 x 2 2 (3)解:y' ? ( x )' ? ( x )' ? ( x) ? 2 2x
3 ?5 3 3 5 (4)解:y' ? ( x )' ? ( x )' ? ( x) ? 2 5 5 5 x
3 5 2

练习2:求下列函数的导数

(1) y=5x2-4x+1
(2) y=-5x2+3x+7

(3) y=(2+x)(3-x) (4) y=(2x-1)(3x+2)

(5)y=x2-cosx

1.2.2导数公式表及数学软件的应用











二、基本初等函数导数公式表(九个公式)

C ? ? 0(C为常数);

? ?

n ? n ?1 x ? nx ? n ? N ? ?

1 (log a x )? ? ; x ln a x x (a )? ? a ln a; (sin x )? ? cos x;

? ? ? x ? ?1 ( ?为实数); (x ) 1 (ln x )? ? ; x x ? ? ex; (e ) (cos x )? ? ? sin x;
?

推导:函数f ( x) ? x n ? N?)的导数。 (
n

解: y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ( x ? ?x) ? x ?
n

n
n

? x ?C x
n 1 n

n?1

?x ? C x
2 n

n ?2

(?x) ? ...? (?x) ? x
2 n

?C x
1 n

n?1

?x ? C x
2 n

n ?2

(?x) ? ... ? (?x)
2

n

?y 1 n ?1 2 n?2 n ?1 ? ? Cn x ? Cn x ?x ? ... ? (?x) ?x

?y 1 n ?1 n ?1 ? f ' ( x ) ? lim ? Cn x ? nx ?x ? 0?x

( x )' ? n( x)
n

n ?1

(n? Q)

公式的推广: 1、 n ? b) ' ? a ? nx n ?1 (其中a, b为常数) (ax 2、若y ? f ? x ? ? x ? ? x ? 0, ? ? 0, ? ? Q ?, 则y? ? ? x
? ?1

, ?为有理数

? ? lim sin ? x ? ?x ? ? sin x 证明: x ? ? sin ?x ? 0 ?x ?x ? ?x ? 2 cos ? x ? ? sin 2 ? 2 ? sin x ? lim ?x ? 0 lim ?x x ?0 x ?x sin 2 ? lim cos ? x ? ?x ? ? lim ?x ? 0 ?x ? 0 ?x 2 ? cos x

?1

? ? lim cos ? x ? ?x ? ? cos x 证明:cos x ? ? ?x ? 0 ?x ?x ? ?x ? ?2sin ? x ? ? sin 2 ? 2 ? sin x ? lim ?x ? 0 lim ?x x ?0 x ?x sin 2 ? ? lim sin ? x ? ?x ? ? lim ?x ? 0 ?x ? 0 ?x 2 ? ? sin x

?1

? ? lim ln ? x ? ?x ? ? ln x 证明:ln x ? ? ?x ?0 ?x ? ?x ? x ? ?x 1 ln ?1 ? ? ln x ? ? ?x ? ?x x ? lim ? ? lim ? lim ln ?1 ? ? ?x ? 0 ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x x ? ?
x ? ? ?x ? ? ? ? 1 ? ? ? 1 1 ? x ? lim ?ln ?1 ? ? ? ? ln e ? ?x ?0 x ? ? x ? ? ? ? ?x ? ? ? ? 1 x

? 1? lim ?1 ? ? ? e x ?? ? x?

x

ln x ?? 1 ? ?? 证明: a x ? ? ? log ? ? ? ln a ? x ln a x ? x 证明:a ? a ln a

? ?
x

令y ? a , 两边取以e为底的对数,得 ln y ? x ln a 1 两边同时取关于x的导数, ? y? ? ln a x y ? ? y ? ln a ? a x ln a ? yx
? ? ex 特别的, ? ?e
x

练习1、求下列函数导数。

(1) y ? x 、

?5

(2) y ? 4 、
(3) y ? 、

x

x x x

(4) y ? o 、 g l

3

x

?1 (5) y ? 、 ( x ? 0,a ? 0,a,x ? 1) 1 o x( ) g l a

? (6) 、y=sin( +x) 2 ?
(7) 、y=sin

3

练习2:求下列函数的导数。
(1)下列函数在点x=0处没有切线的是( D ) (A)y=x3+sinx (C)y=xsinx (B)y=x2-cosx (D)y= x+cosx

1 f ?( x ) ? 2 , 则f(x)可能是下式中的( (2)若 B ) x 1 x ?1 1 ?3 ( A) ( B) ? (C ) ? 2 x ( D) ? x x 2x3

(3)点P在曲线y=x3-x+2/3上移动时,过点P的曲线的 切线的倾斜角的取值范围是( D )
3? 3? ? ? 3? ? 3? ( A)[0, ] ( B )[ , ? ) (C )[0, ) ? ( , ] ( D)[0, ] ? [ , ? ) 4 4 2 2 4 2 4

例3.求下列函数的导数. (1) y ? x ? sin x ? cosx
3

x x (2) y ? 2sin ? cos ? 2x 2 ? 1 2 2

例3.求下列函数的导数. (1) y ? x ? sin x ? cosx
3

x x (2) y ? 2sin ? cos ? 2x 2 ? 1 2 2
3

(1)解 : y' ? ( x ? sin x ? cos x)' ? ( x )'?(sin x)'?(cosx)'
3

? 3x ? cos x ? sin x
2

x x (2)解; y ' ? (2 sin cos ? 2 x 2 ? 1)' ? (sin x)'?(2 x 2 )'?1' ? cos x ? 4 x 2 2

1 例4、求在曲线y=cosx上一点P( ,)处 3 2

?

的切线方程

变式: 已知点P在函数y=cosx上,(0≤x≤2π), 且在点P处的切线斜率大于0,求点P的 横坐标的取值范围。

例5、若直线y=-x+b为函数

1 y? x

图象的切线,求b及切点的坐标

1 变式:直线 y ? x ? 3 能作为下列函数图象的切线 2
吗?若能,求出切点的坐标,若不能,简述理由

1 (2) f ( x) ? ? x (4)f(x)=ex (3) f(x)=sinx

1 (1) f ( x) ? x

例6.求曲线y ? x ? x ? 3的斜率为6的切线方程.
4 2

分析:函数在某处的导数的几何意义 是相应曲线在该处切线的斜率由于切线 . 的斜率已知,可以利用导数求出切点的 横坐标.
解:设切点为P( x0 , y0 ) 则y' ? (x4 ? x2 ? 3)' ? 4x3 ? 2x

?y'

x? x0

? 4x ? 2x0 ? 6
3 0

? x0 ? 1

4 ? y0 ? x0 ? 2x0 ? 3 ? 6, 故P的坐标(1,6).

?所求的切线方程为 y ? 6 x


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