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高二立体几何小题强化复习卷


高二立体几何小题强化复习卷
一、选择题(题型注释) 1.已知 m , n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,则下列命题正确的是( (A)若 ? , ? 垂直于同一平面,则 ? 与 ? 平行 (B)若 m , n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 (C)若 ? , ? 不平行,则在 ? 内不存在与 ? 平行的直线 (D)若 m , n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 2.已知 m 为平面 α 内的一条直线,则“ ? ? ? ”是“ m ? ? ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

3.设 m, n 是平面 ? 内的两条不同直线; l1 , l2 是平面 ? 内的两条相交直线,则 ? // ? 的 一个充分而不必要条件是( A. m // ? 且l1 // ? ) C. m // ? 且n // ? D. m // ? 且n // l2

B. m // l1且n // l2

?ABC ? 4. 在梯形 ABCD 中, 2? 3

?
2

,AD / / BC, BC ? 2 AD ? 2 AB ? 2 . 将梯形 ABCD ) (D) 2?

绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( (A) (B)

4? 3

(C)

5? 3

5. 【2015 新课标】一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则 截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )

A.

1 8 1 6

B.

1 7 1 5

C.

D.

6. 【2015 重庆】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A、

1 ?? 3 1 ? 2? 3

B、

2 ?? 3 2 ? 2? 3

C、

D、

7.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视 图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面 积为 16 + 20 ? ,则 r=( ) (A)1 (C)4 (B)2 (D)8

试卷第 1 页,总 4 页

8.某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6 的线 段, 在该几何体的侧视图与俯视图中, 这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段, 则a ?b 的最大值为( ) A. 2 2 B. 2 3 C.4 D. 2 5

ABC 上的射影为 9.已知三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的侧棱与底面边长都相等, A 1 在底面 BC 的中点,则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为(
A、 )

3 4 7 4

B、

5 4
3 4

C、

D、

10.如图,已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC,PA=2AB,则下列 结论正确的是( ) A、PB⊥AD B、平面 PAB⊥平面 PBC
0

C、 直线 BC∥平面 PAE D、 直线 PD 与平面 ABC 所成角为 45 11.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列结论错误 的是( ) .. A. AC ∥平面 A1 BC1 C. AC1 ? BD B. BC1 ⊥平面 A1 B1CD

D.异面直线 AD1 与 DC1 所成的角为 45

0

12.如图,正方体 ??CD ? ?1?1C1D1 的棱线长为 1 ,线段 ?1D1 上有两个动点 ? , F , 且 ?F ?

2 ,则下列结论中错误的是( 2



A. ?C ? ?? B. ?F// 平面 ?? CD C.三棱锥 ? ? ??F 的体积为定值 D.异面直线 ?? , ? F 所成的角为定值 13. 【2015 浙江】如图,已知 ?ABC , D 是 AB 的中点,沿直 线 CD 将 ?ACD 折成 ?A?CD ,所成二面角 A? ? CD ? B 的平 面角为 ? ,则( ) A. ?A?DB ? ? C. ?A?CB ? ? B. ?A?DB ? ? D. ?A?CB ? ?

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二、填空题 14.已知 a , b 是两条不重合的直线,? , ? , ? 是三个两两不重合的平面,给出下列四个命 题:①若 a ? ? , a ? ? ,则 ? // ? ③若 ? // ? , a ? ? , b ? ? , 则a // b 其中正确命题的序号有________. 15. 【2015 上海】若正三棱柱的所有棱长均为 a ,且其体积为 16 3 ,则 a ? . ②若 ? ? ?, ? ? ?, 则? // ? ④若 ? // ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b, 则a // b

16. 【2015 四川】如图,四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形,它们所在的平面互相垂直, 动点 M 在线段 PQ 上,E、F 分别为 AB、BC 的中点。设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 ? , 则 cos ? 的最大值为 .

17. 【2015 浙江】如图,三棱锥 A ? BCD 中,

AB ? AC ? BD ? CD ? 3, AD ? BC ? 2 ,点 M , N 分别是 AD, BC 的中点,则异面直
线 AN , CM 所成的角的余弦值是 .

18.三菱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等, BAA1=CAA1=60°则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________.

19.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是正方形 ADD1A1 和 ABCD 的中心,G 是 CC1 的中点。设 GF,C1E 与 AB 所成的分别为 ? , ? ,则 ? ? ? ?

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20.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,则直线 AB1 和 BC1 所 成的角是 .

21. 在边长为 a 的等边三角形 ABC 中, AD⊥BC 于 D, 沿 AD 折成二面角 B﹣AD﹣C 后, 这时二面角 B﹣AD﹣C 的大小为 .



22.如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, M 、 N 分别是 CD 、 CC1 的中点,则异 面直线 A1M 与 DN 所成角的大小是_________.

D1 A1 D A B1

C1 N C B

M

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参考答案 1.D 【解析】由 A ,若 ? , ? 垂直于同一平面,则 ? , ? 可以相交、平行,故 A 不正确;由 B , 若 m , n 平行于同一平面,则 m , n 可以平行、重合、相交、异面,故 B 不正确;由 C , 若 ? , ? 不平行,但 ? 平面内会存在平行于 ? 的直线,如 ? 平面中平行于 ? , ? 交线的直 线;由 D 项,其逆否命题为“若 m 与 n 垂直于同一平面,则 m , n 平行”是真命题,故 D 项正确.所以选 D. 【考点定位】1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用. 【名师点睛】空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断,常采用画图(尤其是 画长方体) 、现实实物判断法(如墙角、桌面等) 、排除筛选法等;另外,若原命题不太容易 判断真假,可以考虑它的逆否命题,判断它的逆否命题真假,原命题与逆否命题等价. 2.B 【解析】 【错解分析】本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念. 【正解】 由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面 α 内的一条直线, m ? ? ,则 ? ? ? , 反过来则不一定.所以“ ? ? ? ”是“ m ? ? ”的必要不充分条件. 3.B 【解析】要得到 ? // ? , 必须是一个平面内的两条相交直线分别与另外一个平面平行。若两 个平面平行,则一个平面内的任一直线必平行于另一个平面。对于选项 A,不是同一平面的 两直线,显既不充分也不必要;对于选项 B,由于 l1 与 l 2 时相交直线,而且由于 l1 //m 可得

l2 // ? ,故可得 ? // ? , ,充分性成立,而 ? // ? 不一定能得到 l1 //m,它们也可以异面,故
必要性不成立,故选 B.对于选项 C,由于 m,n 不一定的相交直线,故是必要非充分条件.对 于选项 D,由 n // l2 可转化为 C,故不符合题意。综上选 B. 4.C 【解析】 直角梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面 半径为 1,母线长为 2 的圆柱挖去一个底面半径同样是 1、高为 1 的圆锥后得到的组合体,
2 2 所以该组合体的体积为: V ? V圆柱 ? V圆锥 ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 1 ? 1 ?

1 3

5 ? 3

故选 C. 【考点定位】1、空间几何体的结构特征;2、空间几何体的体积. 【名师点睛】 本题考查了空间几何体的结构特征及空间几何体的体积的计算, 重点考查了圆 柱、圆锥的结构特征和体积的计算,体现了对学生空间想象能力以及基本运算能力的考查, 此题属中档题. 5.D 【解析】 由三视图得, 在正方体 ABCD ? A 截去四面体 A ? A1B1D1 , 如图所示, , 1B 1C1D 1 中,

答案第 1 页,总 9 页

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1 1 3 1 3 1 5 ? a ? a ,故剩余几何体体积为 a 3 ? a 3 ? a 3 , 3 2 6 6 6 1 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ,故选 D. 5
设正方体棱长为 a ,则 VA? A1B1D1 ?

D1

C1

A1 D

B1 C

A

B

【考点定位】三视图. 【名师点睛】本题以正方体为背景考查三视图、几何体体积的运算,要求有一定的空间想象 能力,关键是能从三视图确定截面,进而求体积比,属于中档题. 6.A 【 解 析 】 这 是 一 个 三 棱 锥 与 半 个 圆 柱 的 组 合 体 ,

1 1 1 1 V ? ? ?12 ? 2 ? ? ( ??1? 2) ? 1 ? ? ? ,选 A. 2 3 2 3
【考点定位】组合体的体积. 【名师点晴】本题涉及到三视图的认知,要求学生能由三视图画出几何体的直观图,从而分 析出它是哪些基本几何体的组合, 应用相应的体积公式求出几何体的体积, 关键是画出直观 图,本题考查了学生的空间想象能力和运算求解能力. 7.B 【解析】由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半 径都为 r, 圆柱的高为 2r, 其表面积为 20 ? ,解得 r=2,故选 B. 【考点定位】简单几何体的三视图;球的表面积公式、圆柱的测面积公式 【名师点睛】 本题考查简单组合体的三视图的识别, 是常规提, 对简单组合体三三视图问题, 先看俯视图确定底面的形状,根据正视图和侧视图,确定组合体的形状,再根据“长对正, 宽相等,高平齐”的法则组合体中的各个量. 8.C 【解析】通过构造几何体为长方体,

1 ? 4? r 2 ? ? r ? 2r ? ? r 2 ? 2r ? 2r = 5? r 2 ? 4r 2 =16 + 2

答案第 2 页,总 9 页

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不妨设长方体的三边长分别为

x, y, z,?6 ? x2 ? y 2 , a2 ? y 2 ? z 2 , b2 ? x2 ? z 2 ,因此 x2 ? y 2 ? z 2 ? 7,

a?b a 2 ? b2 8 ? ? ,a ?b ? 4 6 ? a ? b ? 14, a ? b ? 8, 2 2 2
2 2 2 2

9.D 【解析】 【错解分析】

AB 与 CC1 所成 【正解】设 BC 的中点为 D,连结 A 1 D,AD,易知 ? ? ?A 1 AB 即为异面直线
的角,由三角余弦定理,易知 cos ? ? cos ?A1 AD ? cos ?DAB ?

AD AD 3 ? ? .故选 D A1 A AB 4

10.D 【解析】 【错解分析】本小题主要考查线面角的求法 【正解】由正六边形的性质得 AD= 2AB,又 PA=2AB 所以 AD=PA,由 PA⊥平面 ABC 得 PA⊥AD 则△PAD 为等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 试题分析:A.? AC // A1C1 , AC ? 平面 A1 BC1 , A1C1 ? 平面 A1 BC1 ,所以 AC // 平面

A1 BC1 , 正 确 ; B . BC1 ? B1C, BC1 ? A1 B1 , 所 以 BC1 ⊥ 平 面 A1 B1CD , 正 确 ;
C. BD ? AC, BD ? CC1 ,所以 BD ? 平面 ACC1 , AC ? 平面 ACC1 ,所以 BD ? AC1 , 正确;D.异面直线 AD1 与 DC1 所成的角为 BC1 与 DC1 所成角,即 ?DC1 B ,因为 ?DC1 B 是等边三角形,所以 ?DC1 B ? 60 ,那么异面直线 AD1 与 DC1 所成的角为 60 ,故选 D.
0
0

答案第 3 页,总 9 页

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考点:1.线线,线面的位置关系;2.异面直线所成角. 12.D 【解析】 试题分析:因为正方体中

?C ? 面BB1D1D , 又 BE ? 面BB1D1D , 因 此 ?C ? ? ? ;

?F//AD , AD ? 平面 ?? CD , EF ? 平面 ?? CD ,所以 ?F// 平面 ?? CD ; ?到面??F 的
距离就为

?到面BB1D1D ,为定值,而三角形 BEF 中 B 到直线 EF,即 B1D1 距离为定值,又底

?F ?

2 E ? D1 时, 2 为定值, 所以其面积也为定值, 从而三棱锥 ? ? ??F 的体积为定值; 当

异面直线 ?? , ? F 所成的角为 线 ?? , ? F 所成的角为

?C1BO ,其中 ?1D1 中点 O,当 E ? ?1D1 中点 O 时,异面直

?A1 AO ,两角值不同,因此选 D.

考点:线面关系判定,三棱锥体积,异面直线所成角 【名师点睛】 1.求异面直线所成的角常用方法是平移法, 平移的方法一般有三种类型: 利用图中已有的平 行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移. 2.求异面直线所成的角的三步曲为:即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意,但要 灵活,经常选择“端点、中点、等分点”,通过作三角形的中位线,平行四边形等进行平移, 作出异面直线所成角,转化为解三角形问题,进而求解.

? π? 3.异面直线所成的角范围是?0, ?. 2? ?
13.B. 【解析】 试题分析: 设 ?ADC ? ? , 设 AB ? 2 , 则由题意 AD ? BD ? 1 , 在空间图形中, 设 A?B ? t , 在 ?A?CB 中, cos ?A?DB ?

A?D 2 ? DB 2 ? AB 2 12 ? 12 ? t 2 2 ? t 2 ? ? , 2 A?D ? DB 2 ? 1? 1 2

在空间图形中,过 A? 作 AN ? DC ,过 B 作 BM ? DC ,垂足分别为 N , M , 过 N 作 NP/ /MB ,连结 A?P ,∴ NP ? DC ,

答案第 4 页,总 9 页

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则 ?A?NP 就是二面角 A? ? CD ? B 的平面角,∴ ?A?NP ? ? , 在 Rt ?A?ND 中, DN ? A?D cos ?A?DC ? cos ? , A?N ? A?D sin ?A?DC ? sin ? , 同理, BM ? PN ? sin ? , DM ? cos ? ,故 BP ? MN ? 2 cos ? , 显然 BP ? 面 A?NP ,故 BP ? A?P , 在 Rt ?A?BP 中, A?P2 ? A?B2 ? BP2 ? t 2 ? (2cos? )2 ? t 2 ? 4cos2 ? , 在

?A?NP


2



c ??

?A?

?

A?

2 ? ? ? s o N? 2 A? ?

N ?? s

? t ? i P 2N ? ? ?
2

N2 ? c s N

2

n

P o i

?

2 ? 2cos 2 ? ? t 2 2 ? t2 cos 2 ? 1 cos 2 ? ? ? ? ? cos ? A DB ? , 2sin 2 ? 2sin 2 ? sin 2 ? sin 2 ? sin 2 ? cos 2 ? 1 ? ? 0 ? 0 ,∴ cos ? ? cos ?A?DB (当 ? ? 时取等号) , , 2 2 sin ? 2 sin ?



∵ ? , ?A?DB ?[0, ? ] ,而 y ? cos x 在 [0, ? ] 上为递减函数,∴ ? ? ?A?DB ,故选 B.

【考点定位】立体几何中的动态问题 【名师点睛】本题主要考查立体几何中的动态问题,属于较难题,由于 ?ABC 的形状不确 定, ?A ' CB 与 ? 的大小关系是不确定的,再根据二面角的定义即可知 ?A?DB ? ? ,当且仅当 AC ? BC 时,等号成立 以立体几何为背景的创新题是浙江高考数学试卷的热点问题,12 年,13 年选择题压轴题均 考查了立体几 何背景的创新题,解决此类问题需在平时注重空间想象能力的培养,加强此类问题的训练. 14.①④ 【解析】 【错解分析】此题容易错选为③,错误原因是没有考虑到 a,b 异面的情况 【正解】②中 ?, ?可能平行可能相交 。③ a,b可能平行可能异面. 15. 4 【解析】 a ?
3 2 a ? 16 3 ? a 3 ? 64 ? a ? 4 4

【考点定位】正三棱柱的体积 【名师点睛】简单几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点,解决这类问题,首先 要熟练掌握各类简单几何体的表面积和体积计算公式, 其次要掌握平几面积计算方法. 柱的
答案第 5 页,总 9 页

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3 2 1 a V ? Sh 3 ;熟记正三角形面积为 4 体积为 V ? Sh , 区别锥的体积 ,正六边形的面积为 6? 3 2 a 4 .

16.

2 5
??? ?

【解析】 建立坐标系如图所示.设 AB ? 1 ,则 AF ? (1, , 0), E ( , 0, 0) .设 M (0, y,1)(0 ? y ? 1) ,

1 2

1 2

则 EM ? ( ?

???? ?

1 ? , y,1) , 由 于 异 面 直 线 所 成 角 的 范 围 为 (0, ] , 所 以 2 2

1 1 ? ? y 2(1 ? y ) 2 2 cos ? ? ? 1 1 5 ? 4 y2 ? 5 1? ? ? y2 ?1 4 4



[

2(1 ? y) 4y ? 5
2

]2 ? 1 ?

8 y ?1 4 y2 ? 5





8y ?

1? t

8y ? 1 1 6 1 ? ? , 当 t ?1 时 取 等 号 . 所 以 , ?1 t, 则 ? 92 4 y ? 5 t ? 81 ? 2 5 t

1 1 ? ? y 2(1 ? y ) 1 2 2 2 2 cos ? ? ? ? ? ? ,当 y ? 0 时,取得最大值. 2 5 1 1 5 5 5 ? 4 y ? 5 1? ? ? y2 ?1 4 4

答案第 6 页,总 9 页

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z Q M P

A E B F x

D

y

C

【考点定位】1、空间两直线所成的角;2、不等式. 【名师点睛】空间的角与距离的问题,只要便于建立坐标系均可建立坐标系,然后利用公式 求解.解本题要注意,空间两直线所成的角是不超过 90 度的.几何问题还可结合图形分析 何时取得最大值.当点 M 在 P 处时,EM 与 AF 所成角为直角,此时余弦值为 0(最小) ,当 M 点向左移动时,EM 与 AF 所成角逐渐变小,点 M 到达 Q 点时,角最小,从而余弦值最大. 17.

7 . 8

【解析】 试题分析:如下图,连结 DN ,取 DN 中点 P ,连结 PM , PC ,则可知 ?PMC 即为异 面直 线 AN , CM 所成角(或其补角)易得 PM ?

1 AN ? 2 , 2

PC ? PN 2 ? CN 2 ? 2 ?1 ? 3 , CM ? AC2 ? AM 2 ? 2 2 ,
∴ cos?PMC ?

7 8? 2?3 7 ? ,即异面直线 AN , CM 所成角的余弦值为 . 8 2? 2 2 ? 2 8

【考点定位】异面直线的夹角. 【名师点睛】本题主要考查了异面直线夹角的求解,属于中档题,分析条件中出现的中点, 可以考虑利用
答案第 7 页,总 9 页

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三角形的中位线性质利用平移产生异面直线的夹角, 再利用余弦定理的变式即可求解, 在复 习时应了解两 条异面直线夹角的范围,常见的求异面直线夹角的方法等知识点. 18.

6 3

【 解 析 】 如 图 设

AA 1 ? a, AB ? b, AC ? c,

设 棱 长 为

1 , 则

AB1 ? a ? b, BC1 ? a ? BC ? a ? c - b , 因 为 底 面 边 长 和 侧 棱 长 都 相 等 , 且
0 ?BAA 1 ? ?CAA 1 ? 60 所 以 a ? b ? a ? c ? b ? c ?

1 , 所 以 AB1 ? (a ? b) 2 ? 3 , 2

BC1 ? (a ? c - b) 2 ? 2 , AB1 ? BC1 ? (a ? b) ? (a ? c - b) ? 2 ,设异面直线的夹角
为 ? ,所以 cos? ?

AB1 ? BC1 AB1 BC1

?

2 2? 3

?

6 . 3

19.

? 2

【解析】 试题分析:取正方形 B1C1CB 的中点为点 O,连结 OC1 , OE, 取 BC 的中点为点 A ,连结 GH ,

FH ,通过分析可知 OC1 // GH , OE // FH
得 平 面 C1 EO // 平 面 G F H , 设 正 方 形 边长 为 2 , 在 ?GFH 中 , GH ?

2 , FH ? 1 ,

GF ? 3 ,则 sin ? ?

2 3

, cos? ?

1 3

, 在 ?C1 EO 中, OE ? 2, C! E ? 6 , OC1 ? 2 ,

则 sin ? ?

2 6 ?

?

1 3 2 3

,

cos ? ?

2 6

, 所以 ? ? ? ?

? 。 2

考点:直线与平面所成角,面面平行问题。 20.60° 【解析】 试题分析:由题意补成正方体,由正三角形的性质可得. 解:不妨设 AB=BC=AA1=a,由题意可补成棱长为 a 的正方体, (如图) ∵AD1∥BC1,∴∠B1AD1 就是直线 AB1 和 BC1 所成的角, 在正三角形 AB1D1 中易得∠B1AD1=60 故答案为:60°

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考点:异面直线及其所成的角. 21.60° 【解析】 试题分析:根据已知中 AD⊥BC 于 D,易得沿 AD 折成二面角 B﹣AD﹣C 后,∠BDC 即为二面角 B﹣AD﹣C 的平面角,解三角形 BDC 即可求出二面角 B﹣AD﹣C 的大小. 解:∵AD⊥BC ∴沿 AD 折成二面角 B﹣AD﹣C 后, AD⊥BD,AD⊥CD 故∠BDC 即为二面角 B﹣AD﹣C 的平面角 又∵BD=CD= ,

∴∠BDC=60° 故答案为:60° 考点:二面角的平面角及求法. 22. 90 0 【解析】 试题分析:以点 D 为原点建立空间直角坐标系, DA, DC, DD1 分别为 x, y , z 轴,设棱长为 2 ,

D?0, 0, 0?

N ?0, 2, 1?

,

M ?0, 1, 0?

,

A1 ?2, 0, 2?

,





A1M ? ?? 2, 1 , ? 2? , DN ? ?0, 2, 1? , A1M ? DN ? ?? 2?? 0 ? 1? 2 ? ?? 2??1 ? 0 , 故两直线
垂直,异面直线所成角是 90 . 考点:异面直线所成角
0

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