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天津市南开中学高二数学必修5导学案:2.2等差数列(1)


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复习 2:数列有几种表示方法?分别是哪几种方法?

二、新课导学 ◆ 学习探究 探究任务一:等差数列的概念 问题 1:请同学们仔细观察,看看以下四个数列有什么共同特征? ① 0,5,10,15,20,25,… ② 48,53,58,63 ③ 18,15.5,13,10.5,8,5.5 ④ 10072,10144,10216,10288,10360

新知: 1.等差数列:一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它 等于同一 个常数, 这个数列就叫做等差数列, 这个常数就叫做等差数列的 用字母 表示. 2.等差中项: 由三个数 a, A,b 组成的等差数列, 这时数 等差中项,用等式表示为 A= 叫做数

一项的 ,常





探究任务二:等差数列的通项公式 问题 2:数列①、②、③、④的通项公式存在吗?如果存在,分别是什么? 若一等差数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公差是 d,则据其定义可得:
a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? a4 ? a3 ?

,即: a2 ? a1 ? , 即: a3 ? a2 ? d ? a1 ? ,即: a4 ? a3 ? d ? a1 ?

…… 由此归纳等差数列的通项公式可得:
an ?

∴已知一数列为等差数列,则只要知其首项 a1 和公差 d,便可求得其通项 an . ◆ 典型例题 例 1 ⑴求等差数列 8,5,2…的第 20 项;
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⑵ -401 是不是等差数列-5,-9,-13…的项?如果是,是第几项?

变式: (1)求等差数列 3,7,11,……的第 10 项.

(2)100 是不是等差数列 2,9,16,……的项?如果是,是第几项?如果不是, 说明理由.

小结:要求出数列中的项,关键是求出通项公式;要想判断一数是否为某一数列 的其中一项,则关键是要看是否存在一正整数 n 值,使得 an 等于这一数. 例 2 已知数列{ an }的通项公式 an ? pn ? q ,其中 p 、 q 是常数,那么这个数列是 否一定是等差数列?若是,首项与公差分别是多少?

变式: 已知数列的通项公式为 an ? 6n ? 1 , 问这个数列是否一定是等差数列?若是, 首项与公差分别是什么?

小结:要判定 ?an ? 是不是等差数列,只要看 an ? an ?1 (n≥2)是不是一个与 n 无关 的常数. 例 3. 在等差数列 ?an ? 中,
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⑴已知 a1 ? 2 ,d=3,n=10,求 an ;

⑵已知 a1 ? 3 , an ? 21 ,d=2,求 n;

⑶已知 a1 ? 12 , a6 ? 27 ,求 d;

⑷已知 d=- , a7 ? 8 ,求 a1

1 3

◆ 动手试试 练 1. 等差数列 1,-3,- 7,-11,…,求它的通项公式和第 20 项.

练 2.在等差数列 ?an ? 的首项是 a5 ? 10, a12 ? 31 ,

求数列的首项与公差.

练 3.三个数成等差数列,它们的和为 18,它们的平方和为 116,求这三个数.

三、学习小结 1. 等差数列定义: an ? an ?1 ? d (n≥2); 2. 等差数列通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d (n≥1).
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◆知识拓展 1. 等差数列通项公式为 an ? a1 ? (n ? 1)d 或 an ? am ? (n ? m)d . 分析等差数列的通项 公式,可知其为一次函数,图象上表现为直线 y ? a1 ? ( x ? 1)d 上的一些间隔均匀 的孤立点. 2. 若三个数成等差数列,且已知和时,可设这三个数为 a ? d , a, a ? d . 若四个数 成等差数列,可设这四个数为 a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d .

3. 等差数列的第 1 项是 7,第 7 项是-1,则它的第 5 项是( A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

).

4. 在△ABC 中,三个内角 A,B,C 成等差数列,则∠B=

.

5. 等差数列的相邻 4 项是 a+1,a+3,b,a+b,那么 a=

,b=

.

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