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2015年湖南省高考理科数学试卷及答案(精校WORD版)


湖南师大附中张天平整理

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 理科数学 本试题包括选择题,填空题和解答题三部分,共 6 页,时间 120 分钟,满分 150 分. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,贼每小题给出的四个选项中,只有 一项是复合题目要求的. 1.已知 A. 1 ? i

(1 ? i) 2 ? 1 ? i ( i 为虚数单位) ,则复数 z ? ( z
B. 1 ? i C. ? 1 ? i

) D. ? 1 ? i

【解析】由题意得,得 z ? 考点:复数的运算.

(1 ? i)2 ?2i ? ? ?1 ? i .故选 D. 1? i 1? i

2.设 A , B 是两个集合,则“ A A.充分不必要条件 C.充要条件 【解析】由题意得, A 选 C. 考点:集合的关系.

B ? A ”是“ A ? B ”的(
B.必要不充分条件

)

D.既不充分也不必要条件

B ? A ? A ? B ,反之, A ? B ? A ? B ? A ,故为充要条件.故

3.执行如图 1 所示的程序框图,如果输入 n ? 3 ,则输出的 S ? (

) D.

6 A. 7

3 B. 7

8 C. 9

4 9

【解析】由题意得,输出的 S 为数列 ?

?

? 1 ? 的前三 ? (2n ? 1)(2n ? 1) ?

项和,而

1 1 1 1 ? ( ? ) ,所以 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

Sn ?

1 1 n 3 (1 ? )? ,从而 S 3 ? .故选 B. 2 2n ? 1 2n ? 1 7

考点:程序框图,裂项相消求数列的和.

? x ? y ? ?1 ? 4.若变量 x , y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 1 ,则 z ? 3x ? y 的 ?y ? 1 ?
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最小值为( ) A. ? 7 B. ? 1 C.1 D.2 【解析】如图所示,画出线性约束条件所表示的区域,即可行域, 从而可知当 x ? ?2 , y ? 1 时, z ? 3x ? y 的最小值是 ? 7 .故选 A. 考点:线性规划.

5. 设函数 f ( x) ? ln( 1 ? x) ? ln(1 ? x) ,则 f ( x) 是( A. 奇函数,且在 (0, 1) 是增函数 C. 偶函数,且在 (0, 1) 是增函数

)

B. 奇函数,且在 (0, 1) 是减函数 D. 偶函数,且在 (0, 1) 是减函数

【解析】试题分析:显然, f ( x ) 定义域为 (?1,1) ,关于原点对称, 又∵ f (? x) ? ln(1? x ) ? ln(1? x ) ? ? f (x ),∴ f ( x ) 为奇函数,显然 f ( x ) 在 (0,1) 上单调 递增.故选 A. 考点:函数的性质.

6.已知 ( x ? A. 3

a x

) 的展开式中含 x 的项的系数为 30,则 a ? (
5

3 2

) D. ? 6

B. ? 3
5 ?r 2

C.6

r 【解析】 Tr ?1 ? C5 (?1)r a r x

,令 r ? 1 ,可得 ?5a ? 30 ,从而 a ? ?6 .故选 D.

考点:二项式定理. 7. 在如图 2 所示的正方形中随机投掷 10000 个点,则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布

N (0, 1) 的密度曲线)的点的个数的估计值为(
A.2386 B.2718

) D.4772

C.3413

附:若 X ~ N (?, ? 2 ) ,则

P(? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826, P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544.
【解析】根据正态分布的性质, P(0 ? x ? 1) ? 考点:正态分布.
2 2 8. 已知点 A , B , C 在圆 x ? y ? 1 上运动,且 AB ? BC . 若点 P 的坐标为 ( 2, 0) ,

1 P(?1 ? x ? 1) ? 0.3413 .故选 C . 2

则 | PA ? PB ? PC | 的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】由题意得 AC 为圆的直径,故可设 A(m, n) , B(?m, ?n) , C ( x, y) ,
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∴ PA ? PB ? PC ? ( x ? 6, y) ,而 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 37 ? 12 x ? 49 ,∴ | PA ? PB ? PC | 的最 大值为 7.故选 B . 考点:圆的性质,平面向量数量积. 9. 将函数 f ( x) ? sin 2 x 的图象向右平移 ? (0 ? ? ?

?
2

) 个单位后得到函数 g ( x) 的图象,

若对满足 | f ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 2 的 x1 , x2 ,有 | x1 ? x 2 | min ? A.

?
3

,则 ? ? ( D.

)

5? 12

B.

? 3

C.

? 4

? 6

【解析】向右平移 ? 个单位后,得到 g ( x) ? sin(2 x ? 2? ) ,又∵ | f ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 2 ,∴不 妨设 2 x1 ?

?
2 ?

? 2k? , 2 x2 ? 2? ? ?

?
2

? 2m? ,∴ x1 ? x2 ?

?
2

? ? ? (k ? m)? ,又∵

x1 ? x2

?
3

min

,∴

?
2

?? ?

?
3

?? ?

?
6

.故选 D.

考点:三角函数的图象和性质. 10. 某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成体积尽可能大的长方体新工 件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料的利用率

?

新工件的体积 )( 原工件的体积

) B.

A.

8 9?

16 9?

C.

2 ( 4 2- 1 )

?
1 2

D.

2 12 ( 2-1)

?
1 2

【解析】问题等价于圆锥的内接长方体的体积,如下图所示, 则有

x 2?h ? ,∴ h ? 2 ? 2 x , 1 2
2 2

∴长方体的体积为 x h ? (2 x) (2 ? 2 x)

2 正视图

2 侧视图

? 4 x x (2 ? 2 x) ? 4(
x ? 2 ? 2 x即x ?

x ? x ? 2 ? 2 x 3 32 ) ? ,当且仅当 3 27
俯视图

2 时,等号成立, 3 32 27 ? 16 .故选 A. ∴利用率为 1 2 ? 1 2 9? 3
考点:圆锥内接长方体,基本不等式求最值.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.

? ( x ? 1)dx ? __________.
0

2

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【解析】

? ( x ? 1)dx ? 2 x
0

2

1

2

2 ? x |0 ? 0.

考点:定积分的计算.

12.在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)茎叶图如图所示.

若将运动员按成绩由好到差编为 1-35 号, 再用系统抽样的方法从中抽取 7 人, 则其中成绩 在区间 [139, 151 ] 上的运动员的人数是_________.

] 的人数为 20 ,再由系统抽样的性质可知人数为 【解析】由茎叶图可知,在区间 [139,151
20 ? 7 ? 4 人. 35

考点:系统抽样,茎叶图.

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点,若 C 上存在点 P ,使线段 PF 的中点恰为 a2 b2 其虚轴的一个端点,则 C 的离心率为________.
13.设 F 是双曲线 C : 【解析】根据对称性,不妨设 F (c, 0) ,短轴端点为 (0, b) ,从而可知点 (?c, 2b) 在双曲线

c c 2 4b 2 上,∴ 2 ? 2 ? 1 ,从而 e ? ? 5 . a a b
考点:双曲线的标准方程及其性质. 14 . 设 S n 为 等 比 数 列 {an } 的 前 n 项 和 , 若 a1 ? 1 , 且 3S1 , 2S 2 , S 3 成 等 差 数 列 , 则

an ? ___________.
【解析】 等比数列 {an } 中 S2 ? a1 ? a1q ? 1 ? q , ∴4 1 ( ? ) q3 ?1? ? ? q q S3 ? 1 ? q ? q2 , 解得 q ? 3 ,∴ an ? 3n?1 . 考点:等比、等比数列的通项公式及其前 n 项和.
2



15.已知函数 f ( x) ? ?

? x 3 , x ? a, ? ,若存在实数 b ,使函数 g ( x) ? f ( x) ? b 有两个零点, 2 ? ?x , x ? a
3 2

则 a 的取值范围是___________. 【解析】 分析题意可知问题等价于方程 x ? b( x ? a) 与方程 x ? b( x ? a) 的根的个数为 2 ,

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? 1 3 ?b ? a ? 若两个方程各有一个根:则可知关于 b 的不等式组 ? b ? a 有解,从而 a ? 1 ; ? ?? b ? a ?
若 方 程 x3 ? b( x ? a) 无 解 , 方 程 x 2 ? b( x ? a) 有 2 个 根 : 则 可知 关 于 b 的 不等 式 组

? 1 ?b 3 ? a 有解,从而 a ? 0 ; ? ? ?? b ? a
综上,实数 a 的取值范围是 (??,0) ? (1,??) . 考点:函数与方程,分类讨论的数学思想. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 本小题有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个选做题,请考生任选两题 作答,并将解答过程写在答题卡中相应题 .... 号的答题区域内,如果全做,则按所做的前两题计分. Ⅰ. (本小题满分 6 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图,在⊙O 中,相交于点 E 的两弦 AB,CD 的中点分别是 M,N,直线 MO 与直线 CD 相 交于点 F.证明: ( i ) ?MEN ? ?NOM ? 180 ; ( ii ) FE ? FN ? FM ? FO . 【解析】( i )如图,因为 M,N 分别是两弦 AB,CD 的中点,所以
?
A F C M E N D

O OM ? AB , ON ? CD , 即 ?OME ? ?ONE ? 90? , 因 此 ? ? ?OME ? ?ONE ? 180 , 又 四 边 形 的 内 角 和 等 于 360 , 故 B ? ?MEN ? ?NOM ? 180 . ( ii ) 由( i )知, O,M,E,N 四点共圆,故由割线定理即得 FE ? FN ? FM ? FO .

Ⅱ . (本小题满分 6 分)选修 4-4 坐标系与参数方程

? 3 x ? 5? t, ? ? 2 已知直线 l : ? (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐 ? y ? 3 ? 1 t. ? 2 ? 标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos? . ( i )将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; ( ii )设点 M 的直角坐标为 (5, 3 ) ,直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求 | MA | ? | MB | 的
值. 【解析】 ( i ) ? ? 2 cos? 等价于

? 2 ? 2? cos? ,将 ? 2 ? x 2 ? y 2 , ? cos? ? x 代入上
2 2

式即得曲线 C 的直角坐标方程是 x ? y ? 2 x ? 0 .

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? 3 x ? 5? t, ? ? 2 代入 x 2 ? y 2 ? 2x ? 0 得 t 2 ? 5 3t ? 18 ? 0 .设这个方程的两个实根 ( ii ) 将 ? ?y ? 3 ? 1 t ? ? 2 分别为 t1 , t 2 ,则由参数 t 的几何意义知 | MA | ? | MB | = | t1t 2 |? 18.
Ⅲ . (本小题满分 6 分)选修 4-5 不等式选讲 设 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? b ? (i )a ? b ? 2;
2 2

1 1 ? ,证明: a b

( ii ) a ? a ? 2 与 b ? b ? 2 不可能同时成立.

1 1 a?b ? ? , a ? 0, b ? 0 得 ab ? 1 a b ab ( i )由基本不等式及 ab ? 1 ,有 a ? b ? 2 ab ? 2 ,即 a ? b ? 2 . 2 2 2 ( ii ) 设 a ? a ? 2 与 b ? b ? 2 同时成立,则由 a ? a ? 2 及 a ? 0 可得 0 ? a ? 1 ,同理 2 2 0 ? b ? 1, 从而 0 ? ab ? 1 这与 ab ? 1 相矛盾, 故 a ? a ? 2 与 b ? b ? 2 不可能同时成立.
【解析】 由 a ? b ? 17.(本小题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , a ? b tan A ,且 B 为钝角. (Ⅰ )证明: B ? A ?

?

2 (Ⅱ ) 求 sin A ? sin C 的取值范围.
【解析】 (Ⅰ )由 a ? b tan A 及正弦定理,得



sin B ? sin(

?
2

? A) . 又 B 为钝角,

?

sin A a sin A ? ? ,所以 sin B ? cos A ,即 cos A b sin B

(Ⅱ ) 由(Ⅰ )知 C ? ? ? ( A ? B ) ?

?
2

? A ? ( , ? ) ,故 B ? ? A ,即 B ? A ? . 2 2 2 2 ? 2 A ? 0 , 所以 A ? (0,

?

?

?

?

sin A ? sin C ? sin A ? sin(

?
2

4

) . 于是

? 2 A) ? sin A ? cos 2 A

1 9 ? sin A ? 1 ? 2 sin 2 A ? ?2(sin A ? ) 2 ? . 4 8 ? 2 2 1 9 9 因为 0 ? A ? ,所以 0 ? sin A ? ,因此 ? ?2(sin A ? ) 2 ? ? . 4 2 2 4 8 8 2 9 , ]. 由此可得 sin A ? sin C 的取值范围是 ( 2 8
18.(本小题满分 12 分) 某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中,各随机摸出 1 个球.在摸出 的 2 球中,若都是红球,则获一等奖;若只有 1 个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获 奖. (Ⅰ )求顾客抽奖 1 次能获奖的概率; (Ⅱ )若某顾客有 3 次抽奖的机会,记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X ,求 X 的分 布列和数学期望.
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【解析】 (Ⅰ )记事件 A1 ={从甲箱中摸出的一个球是红球}, A2 ={从乙箱中摸出的一个球是 红球}, B1 ={顾客抽奖一次获一等奖}, B2 ={顾客抽奖一次获二等奖},C={顾客抽奖一 次能获奖}. 由题意 A1 与 A2 相互独立, A1 A2 与 A1 A2 互斥, B1 与 B2 互斥, 且 B1 ? A1 A2 , B2 = A1 A2 + A1 A2 , C ? B1 ? B2 .

4 2 5 1 ? , P ( A2 ) ? ? , 10 5 10 2 2 1 1 所以 P( B1 ) ? P ( A1 A2 ) ? P( A1 ) P ( A2 ) ? ? ? , 5 2 5 P( B2 ) ? P( A1 A2 ? A1 A2 ) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 A2 ) 2 1 2 1 1 ? P( A1 ) P( A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? , 5 2 5 2 2 1 1 7 故所求概率为 P(C ) ? P ( B1 ? B2 ) ? P ( B1 ) ? P ( B2 ) ? ? ? . 5 2 10
又因为 P ( A1 ) ? (Ⅱ ) 顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复实验. 由(Ⅰ )知,顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为 于是 P( X ? K ) ? C 3 ( ) ( )
K K

1 1 ,所以 X ~ B (3, ) , 5 5

1 5

4 5

3? K

( K ? 0, 1, 2, 3) .
1 2 3

由此求得 X 的分布列为 X P

0

64 125 1 3 ? . 5 5

48 125

12 125

1 125

X 的数学期望为 E ( X ) ? 3 ?

19. (本小题满分 13 分) 如图, 在四棱台 ABCD ? A1 B1C1 D1 的上、 下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形,AA 1 ? 6, 且 AA1 ? 底面 ABCD ,点 P,Q 分别在棱 DD1 , BC 上. (Ⅰ ) 若点 P 是 DD1 的中点,证明: AB1 ? PQ ;
B1 A1 C1 D1 P

3 (Ⅱ ) 若 PQ // 平面 ABB , 1A 1 ,二面角 P ? QD ? A 的余弦值为 7 求四面体 ADPQ 的体积.
【解析】 解法一: (Ⅰ )如图,取 AA 1 的中点 R,连结 BR, PR , 于是由 AD // BC 知, PR // BC ,所以 P, R, B, C 四点共面.
B

A

D

Q

C

因为 AA 1 是梯形 AA 1 D1 D 的两腰,点 P 是 DD 1 的中点,所以 PR // AD , 1 , DD 由题设知 BC ? AB , BC ? AA 1 , AB ? AA 1 ? A ,所以 BC ? 平面 ABB 1A 1, 又 AB1 ? 平面 ABB 1A 1 ,因此 BC ? AB 1.
A1 B1 R C1 D1 P

AR 3 A1B1 因为 tan?ABR ? ? ? ? tan?A1 AB1 , AB 6 AA1 所以 ?ABR ? ?A1 AB1 ,
因此 ?ABR ? ?BAB 1 ? ?A 1 AB 1 ? ?BAB 1 ? 90 ,
?
B

A

D

Q

C

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于是 BR ? AB1 , 又已证得 BC ? AB1 ,所以 AB1 ? 平面 BRPC , 显然有 PQ ? 平面 BRPC , 故 AB1 ? PQ . (Ⅱ ) 如下图,过点 P 作 PM // AA1 交 AD 于点 M,则 PM // 平面 ABB 1A 1, 因为 AA1 ? 底面 ABCD ,所以 PM ? 底面 ABCD , 过点 M 作 MN ? QD 于点 N,连结 PN,则 PN ? QD ,从而
A1 B1 C1 D1 P

?PNM 是二面角 P ? QD ? A 的平面角.

3 MN 3 PM 40 ? ,从而 所以 cos ?PNM ? ,即 . ? 7 PN 7 MN 3 连结 MQ,由 PQ // 平面 ABB 1A 1 及 PM // 平面 ABB 1A 1 知, 平面 PQM // 平面 ABB 1A 1 ,所以 MQ // AB ,
又 ABCD 是正方形,所以 ABQM 是矩形,故 MQ=AB=6. 设 MD=t,则 MN ?

A

E

M N

D

. 36 ? t 2 过点 D1 作 D1 E // A1 A 交 AD 于点 E,则 AA1 D1 E 是矩形, 所以 D1 E ? AA 1 ? 6 , AE ? A 1 D1 ? 3 ,因此 DE ? AD ? AE ? 3 . PM D1 E ? ? 2 , 所以 PM ? 2MD ? 2t , 于是 MD DE MQ 2 ? MD 2
PM 40 36 ? t 2 ,解得 t ? 2 ,所以 PM ? 4 . ? ? 2t ? MN 3 6t 1 1 1 故四面体 ADPQ 的体积 V ? S ?ADQ ? PM ? ? ? 6 ? 6 ? 4 ? 24 . 3 3 2
从而 解法二:由题设知 AA 1 , AD, AB G 两两垂直,以 A 为 坐标原点,AB,AD, AA 1 所在直线分别为 x 轴,y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系,如图,则相关各点的坐标 为 A(0, 0, 0) , B1 (3, 0, 6) , D(0, 6, 0) , D1 (0, 3, 6) ,
B1 A1 z D1 C1 P y D

MQ ? MD

B

?

6t

Q

C

Q(6, m, 0) ,其中 BQ ? m , 0 ? m ? 6 . 9 (Ⅰ) 若点 P 是 DD1 的中点,则 P (0, , 3) , 2 9 PQ ? (6, m ? , ? 3) ,又 AB1 ? (3, 0, 6) , 2

A

x B

Q

C

于是 AB 1 ? PQ ? 18 ?18 ? 0 , 所以 AB 1 ? PQ ,即 AB1 ? PQ . (Ⅱ) 由题设知, DQ ? (6, m ? 6, 0) , DD1 ? (0, ? 3, 6) 是平面 PQD 内两个不共线的向量, 设 n1 ? ( x, y, z) 是平面 PQD 的一个法向量,则 ? 即?

? ?n 1 ? DQ ? 0, ? ?n1 ? DD1 ? 0

?6 x ? (m ? 6) y ? 0, 取 y ? 6 ,得 n1 ? (6 ? m, 6, 3) . ?? 3 y ? 6 z ? 0
n1 ? n2 | n1 | ? | n2 | 3 ( 6 ? m) ? 6 ? 3
2 2 2

又平面 AQD 的一个法向量是 n2 ? (0, 0,1) , 所以 cos ? n1 ,n2 ??

?

?

3 (6 ? m) 2 ? 45



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而二面角 P ? QD ? A 的余弦值为 此时 Q(6, 4, 0) .

3 3 3 ,所以 ? ,解得 m=4 或 m=8(舍去), 7 (6 ? m) 2 ? 45 7

再设 DP ? ? DD1 (0 ? ? ? 1) ,而 DD1 ? (0, ? 3, 6) , 由此得到 P(0, 6 ? 3? , 6? ) , PQ ? (6, 3? ? 2, ? 6? ) . 因为 PQ // 平面 ABB 1A 1 ,且平面 ABB 1A 1 的一个法向量是 n3 ? (0, 1, 0) ,

2 ,从而 P(0, 4, 4) . 3 于是,将四面体 ADPQ 视为 ?ADQ 为底面的三棱锥 P ? ADQ ,其高 h ? 4 , 1 1 1 故四面体 ADPQ 的体积 V ? S ?ADQ ? PM ? ? ? 6 ? 6 ? 4 ? 24 . 3 3 2
所以 PQ ? n3 ? 3? ? 2 ? 0 , ? ? 20. (本小题满分 13 分) 已知抛物线 C1 : x 2 ? 4 y 的焦点 F 也是椭圆 C 2 : 与 C 2 的公共弦长为 2 6 . (Ⅰ ) 求 C 2 的方程; (Ⅱ ) 过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A,B 两点,与 C 2 相交于 C,D 两点,且 AC 与 BD 同向. ( i ) 若 | AC |?| BD | ,求直线 l 的斜率; ( ii )设 C1 在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M,证明:直线 l 绕点 F 旋转时, ?MFD 总是 钝角三角形. 【解析】(Ⅰ) 由 C1 : x ? 4 y 知其焦点 F 的坐标为 (0,1) ,因为 F 也是椭圆 C 2 的一个焦点,
2

y2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的一个焦点, C1 a2 b2

所以 a ? b ? 1
2 2

(1)

又 C1 与 C 2 的公共弦长为 2 6 , C1 与 C 2 都关于 y 轴对称,且 C1 的方程为 x 2 ? 4 y ,由此 易知 C1 与 C 2 的公共点坐标为 (? 6 ,

3 9 6 ) ,所以 2 ? 2 ? 1 (2) 2 4a b y2 x2 2 2 ? ? 1. 联立(1) 、 (2)得 a ? 9, b ? 8 ,故 C 2 的方程为 9 8 (Ⅱ) 如图,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) .
A C

y

( i )因 AC 与 BD 同向,且 | AC |?| BD | , 所以 AC ? BD ,从而 x3 ? x1 ? x4 ? x2 , 即 x1 ? x2 ? x3 ? x4 , 于是 ( x1 ? x2 )2 ? 4x1 x2 ? ( x3 ? x4 )2 ? 4x3 x4 . 设直线 l 的斜率为 k ,则 l 的方程为 y ? kx ? 1 . 由? (3)

F M O

B D l

x

? y ? kx ? 1,
2

?x ? 4 y 所以 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4

得 x ? 4kx ? 4 ? 0 , 而 x1 , x2 是这个方程的两根,
2

(4)

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? y ? kx ? 1, ? 由 ? y2 x2 得 (9 ? 8k 2 ) x 2 ? 16kx ? 64 ? 0 ,而 x3 , x4 是这个方程的两根,所以 ?1 ? ? 8 ?9 16 k 64 x3 ? x 4 ? ? , x1 x 2 ? ? (5) 2 9 ? 8k 9 ? 8k 2 162 k 2 4 ? 64 162 ? 9(k 2 ? 1) 2 将(4)(5)代入(3)得 16(k 2 ? 1) ? ,即 , ? 16 ( k ? 1 ) ? (9 ? 8k 2 ) 2 9 ? 8k 2 (9 ? 8k 2 ) 2
6 6 ,即直线 l 的斜率为 ? . 4 4 x x ( ii )由 x 2 ? 4 y 得 y ' ? ,所以 C1 在点 A 处的切线方程为 y ? y1 ? 1 ( x ? x1 ) , 2 2 2 x x xx x 即 y ? 1 ? 1 ,令 y ? 0 得 x ? 1 ,即 M ( 1 , 0) , 2 2 2 4 2 x x 所以 FM ? ( 1 , ? 1) ,而 FA ? ( x1 , 1 ? 1) , 2 4 2 2 2 x x x 于是 FM ? FA ? 1 ? ( 1 ? 1) ? 1 ? 1 ? 0 , 2 4 4 ? 因此 ?AFM 总是锐角,从而 ?MFD ? 180 ? ?AFM 是钝角. 故直线 l 绕点 F 旋转时, ?MFD 总是钝角三角形.
所以 (9 ? 8k 2 ) 2 ? 16? 9 ,解得 k ? ? 21. (本小题满分 13 分)
ax 已 知 a ? 0 , 函 数 f ( x) ? e sin x ( x ? [0, ? ?)) , 记 xn 为 f ( x) 的 从 小 到 大 的 第

n (n ? N *) 个极值点. 证明: (Ⅰ ) 数列 { f ( xn )}是等比数列; (Ⅱ ) 若a ? ,则对一切 n ? N * , xn ?| f ( xn ) | 恒成立. e2 ?1 【解析】(Ⅰ) f ' ( x) ? aeax sin x ? e ax cos x ? e ax (a sin x ? cos x) 1 ? ? a 2 ? 1 ? e ax sin(x ? ? ) ,其中 tan ? ? , 0 ? ? ? . a 2 令 f ' ( x) ? 0 ,由 x ? 0 得 x ? ? ? m? ,即 x ? m? ? ? , m ? N * . 对 k ? N ,若 2k? ? x ? ? ? (2k ? 1)? ,即 2k? ? ? ? x ? (2k ? 1)? ? ? ,则 f ' ( x) ? 0 ; 若 (2k ? 1)? ? x ? ? ? (2k ? 2)? ,即 (2k ? 1)? ? ? ? x ? (2k ? 2)? ? ? ,则 f ' ( x) ? 0 . 因此,在区间 ((m ? 1)? , m? ? ? ) 与 (m? ? ? , m? ) 上, f ' ( x) 的符号总相反, 于是,当 x ? m? ? ? , m ? N * 时, f ( x) 取得极值,所以 x n ? n? ? ? , n ? N * . 此时, f ( xn ) ? e 且
a ( n? ?? )

1

sin(n? ? ? ) ? (?1)n?1 ea( n? ?? ) sin ? ,易知 f ( xn ) ? 0 ,

f ( xn?1 ) (?1)n? 2 ea[( n?1)? ?? ] sin ? ? ? ?ea? 是常数, n ?1 a ( n? ?? ) f ( xn ) (?1) e sin ?
a (? ?? )

故数列 { f ( xn )}是首项为 f ( x1 ) ? e (Ⅱ) 由(Ⅰ)知, sin ? ?

sin ? ,公比为 ? e a? 的等比数列.

1 a2 ?1

,于是对一切 n ? N * , xn ?| f ( xn ) | 恒成立,

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湖南师大附中张天平整理

a2 ?1 e a ( n? ?? ) (*) 等价于 恒成立 (因为 a>0) . e a ( n? ?? ) 恒成立, ? a a(n? ? ? ) a2 ?1 et et (t ? 1) (t ? 0) ,则 g '(t ) ? 设 g (t ) ? ,由 g '(t ) ? 0 得 t ? 1 , t2 t 当 0 ? t ? 1 时, g ' (t ) ? 0 ,所以 g (t ) 在 (0,1) 上单调递减; 当 t ? 1 时, g ' (t ) ? 0 ,所以 g (t ) 在 (1, ? ?) 上单调递增. 从而当 t ? 1 时,函数 g (t ) 取得最小值 g (1) ? e .
即 n? ? ? ?

1

1 a2 ?1 因此,要使(*)式恒成立,只需 . ? g (1) ? e ,即只需 a ? 2 a e ?1 1 ? ? ? 1 2 而当 a ? 时,由 tan ? ? ? e ? 1 ? 3 且 0 ? ? ? 知, ? ? ? . a 2 3 2 e2 ?1
于是 ? ? ? ?

3? 2? ? ? e 2 ? 1 ,且当 n ? 2 时, n? ? ? ? 2? ? ? ? 2 3

e2 ?1 ,

因此,对一切 n ? N * , axn ? 式也恒成立. 综上所述,若 a ?

n? ? ? e2 ?1

? 1 ,所以 g (axn ) ? g (1) ? e ?

a2 ?1 ,故(*) a

1 e2 ?1

,则对一切 n ? N * , xn ?| f ( xn ) | 恒成立.

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