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江苏省南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学


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南京市 2016 届高三年级第三次模拟考试


注意事项:

学 2016.05

1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题)、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本试卷满 分为 160 分,考试时间为 120 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题纸 ... 上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸. 参考公式 1 n 1 n 样本数据 x1,x2,?,xn 的方差 s2= ∑(xi-- x )2,其中- x = ∑xi. ni=1 ni=1 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位 置上) 1.已知全集 U={-1,2,3,a},集合 M={-1,3}.若?UM={2,5},则实数 a 的值为________ ▲ . 2.设复数 z 满足 z(1+i)=2+4i,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的共轭复数为 ▲ .

3.甲、乙两位选手参加射击选拔赛,其中连续 5 轮比赛的成绩(单位:环)如下表: 选手 甲 乙 第1轮 9.8 9.4 第2轮 9.9 10.3 第3轮 10.1 10.8 第4轮 10 9.7 第5轮 10.2 9.8

则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是________ ▲ . 4.从 2 个白球,2 个红球,1 个黄球这 5 个球中随机取出两个球,则取出的两球中恰有一个红球的概率 是________ ▲ . 5.执行如图所示的伪代码,输出的结果是▲. 6.已知 α,β 是两个不同的平面,l,m 是两条不同直线,l⊥α,m?β. 给出下列命题: ①α∥β?l⊥m;②α⊥β?l∥m; ③m∥α?l⊥β;④l⊥β?m∥α. 其中正确的命题是________ ▲ . (填 写 所有正确命题的 序号 ). . . ....... .. S←1 I←2 While

S≤100 I←I+2 S←S×I

End While Print I
(第 5 题图)

a8 7.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 Sn=2an-2,则 =▲. a6 8.设 F 是双曲线的一个焦点,点 P 在双曲线上,且线段 PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端点,则双

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曲线的离心率为________ ▲ . 9.如图,已知 A,B 分别是函数 f(x)= 3sinωx(ω>0)在 y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低 π 点,且∠AOB= ,则该函数的周期是________ ▲ . 2 10. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 当 x≥0 时, f(x)=2x-2, 则不等式 f(x-1)≤2 的解集是________ ▲ . y

A

D M x

C

O

(第 9 题图)

B

A

(第 11 题图)

B

→ → → → 11.如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=4,AD=3,CD=2, AM =2 MD .若 AC · BM =-3, → → 则 AB · AD =________ ▲ . 12.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 M:(x-a)2+(y+a-3)2=1(a>0),点 N 为圆 M 上任意一点.若以 N 为圆心,ON 为半径的圆与圆 M 至多有一个公共点,则 a 的最小值为________ ▲ . 1 ? ?x- x ,x≥a, 13.设函数 f(x)=? e g(x)=f(x)-b.若存在实数 b,使得函数 g(x)恰有 3 个零点,则实数 ? - x - 1 , x < a , ? a 的取值范围为________ ▲ . x-2y 14.若实数 x,y 满足 2x2+xy-y2=1,则 2 的最大值为________ ▲ . 5x -2xy+2y2 二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写 在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分 14 分) 在△ABC 中,已知 a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边.若向量 m=(a,cosA),向量 n=(cosC,c), 且 m·n=3bcosB. (1)求 cosB 的值; 1 1 (2)若 a,b,c 成等比数列,求 + 的值. tanA tanC

16.(本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 为棱 BC 上一点. (1)若 AB=AC,D 为棱 BC 的中点,求证:平面 ADC1⊥平面 BCC1B1;

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BD (2)若 A1B∥平面 ADC1,求 的值. DC
A1 B1 C1

A D B (第 16 题图)

C

17. (本小题满分 14 分) x2 y2 2 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 , a b 2 点(2,1)在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与圆 O:x2+y2=2 相切,与椭圆 C 相交于 P,Q 两点. ①若直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F,求△OPQ 的面积; ②求证: OP⊥OQ.
y

P

O

F Q

x

(第 17 题图)

18.(本小题满分 16 分) 如图,某森林公园有一直角梯形区域 ABCD,其四条边均为道路,AD∥BC,∠ADC=90° ,AB=5 千米,BC=8 千米,CD=3 千米.现甲、乙两管理员同时从 A 地出发匀速前往 D 地,甲的路线是 AD,速度为 6 千米/小时,乙的路线是 ABCD,速度为 v 千米/小时.

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(1)若甲、乙两管理员到达 D 的时间相差不超过 15 分钟,求乙的速度 v 的取值范围; (2)已知对讲机有效通话的最大距离是 5 千米.若乙先到达 D,且乙从 A 到 D 的过程中始终能用 对讲机与甲保持有效通话,求乙的速度 v 的取值范围. B C

A
(第 18 题图)

D

19.(本小题满分 16 分) 设函数 f(x)=-x3+mx2-m(m>0). (1)当 m=1 时,求函数 f(x)的单调减区间; (2)设 g(x)=|f(x)|,求函数 g(x)在区间[0,m]上的最大值; (3)若存在 t≤0,使得函数 f(x)图象上有且仅有两个不同的点,且函数 f(x)的图象在这两点处的两 条切线都经过点(2,t),试求 m 的取值范围.

20.(本小题满分 16 分) Sn+1 已知数列{an}的前 n 项的和为 Sn,记 bn= . n (1)若{an}是首项为 a,公差为 d 的等差数列,其中 a,d 均为正数. a ①当 3b1,2b2,b3 成等差数列时,求 的值; d ②求证:存在唯一的正整数 n,使得 an+1≤bn<an+2. bt t+2 (2)设数列{an}是公比为 q(q>2)的等比数列,若存在 r,t(r,t∈N*,r<t)使得 = ,求 q 的 br r+2 值.

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数学附加题 2016.05
注意事项: 1.附加题供选修物理的考生使用.

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2.本试卷共 40 分,考试时间 30 分钟. 3.答题前,考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题 .. 纸 上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸. . 21.【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 卷纸指定区域 . ...... 内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知半圆 O 的半径为 2,P 是直径 BC 延长线上的一点,PA 与半圆 O 相切于点 A,H 是 OC 的 中点,AH⊥BC. (1)求证:AC 是∠PAH 的平分线; (2)求 PC 的长. B A

O



H C

P

(第 21 题 A 图)

B.选修 4—2:矩阵与变换 已知曲线 C: x2+2xy+2y2=1, 矩阵 A=?

?12 ?所对应的变换 T 把曲线 C 变成曲线 C , ? 1 求曲线 C1 的方程. ?10 ?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合.已知椭圆 C 的参数方程为
?x=2cosθ, π ? (θ 为参数),点 M 的极坐标为(1, ).若 P 是椭圆 C 上任意一点,试求 PM 的最大值, 2 ?y=sinθ

并求出此时点 P 的直角坐标.

D.选修 4—5:不等式选讲

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求函数 f(x)=5 x+ 8-2x的最大值.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答 卷卡指定区域内 作答.解答应写出 . ....... 文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 从 0,1,2,3,4 这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数,记 X 为所组成的三位数各位数字之 和. (1)求 X 是奇数的概率; (2)求 X 的概率分布列及数学期望.

23.(本小题满分 10 分)
n n 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(x0,y0)在曲线 y=x2(x>0)上.已知 A(0,-1),Pn(x0 ,y0 ),n∈N*.记

直线 APn 的斜率为 kn. (1)若 k1=2,求 P1 的坐标; (2)若 k1 为偶数,求证:kn 为偶数.

南京市 2016 届高三年级第三次模拟考试 数学参考答案及评分标准
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制 订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影 响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位 置上) 1.5 2.3-i 3.0.02 3 4. 5 5.8 6.①④

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7.48. 5 1 13.(-1- 2,2) e

9.410.[-1,3] 14. 2 4

3 11. 12.3 2

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写 在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分 14 分) 解:(1)因为 m·n=3bcosB,所以 acosC+ccosA=3bcosB. 由正弦定理,得 sinAcosC+sinCcosA=3sinBcosB,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 所以 sin(A+C)=3sinBcosB,所以 sinB=3sinBcosB. 1 因为 B 是△ABC 的内角,所以 sinB≠0,所以 cosB= .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 3 (2)因为 a,b,c 成等比数列,所以 b2=ac. 由正弦定理,得 sin2B=sinA· sinC.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 1 2 2 因为 cosB= ,B 是△ABC 的内角,所以 sinB= .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 3 3 又 = sinC+sinA· cosC 1 1 cosA cosC cosA· + = + = tanA tanC sinA sinC sinA· sinC sin(A+C) sinB sinB 1 3 2 = = = = .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 sinA· sinC sinA· sinC sin2B sinB 4

16.(本小题满分 14 分) 证明:(1)因为 AB=AC,点 D 为 BC 中点,所以 AD⊥BC.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 BB1⊥平面 ABC. 因为 AD?平面 ABC,所以 BB1⊥AD.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 因为 BC∩BB1=B,BC?平面 BCC1B1,BB1?平面 BCC1B1, 所以 AD⊥平面 BCC1B1. 因为 AD?平面 ADC1,所以平面 ADC1⊥平面 BCC1B1.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (2)连结 A1C,交 AC1 于 O,连结 OD,所以 O 为 AC1 中点.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 因为 A1B∥平面 ADC1,A1B?平面 A1BC,平面 ADC1∩平面 A1BC=OD, 所以 A1B∥OD.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 因为 O 为 AC1 中点,所以 D 为 BC 中点, 所以=1.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 17.(本小题满分 14 分) c 2 4 1 解:(1)由题意,得 = , 2+ 2=1,解得 a2=6,b2=3. a 2 a b

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x2 y2 所以椭圆的方程为 + =1.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 6 3 (2)①解法一椭圆 C 的右焦点 F( 3,0). 设切线方程为 y=k(x- 3),即 kx-y- 3k=0, |- 3k | 所以 2 = 2,解得 k=± 2,所以切线方程为 y=± 2(x- 3).· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 k +1

?x= 5 , ?x= 5 , ? ?y= 2(x- 3), 由方程组?x2 y2 解得? 或? + =1, - 6+6 - 6-6 ? 6 3 ? y= , y= .
4 3+3 2 4 3-3 2

?

5

?

5

4 3+3 2 - 6+6 4 3-3 2 - 6-6 所以点 P,Q 的坐标分别为( , ),( , ), 5 5 5 5 6 6 所以 PQ= .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 5 6 3 因为 O 到直线 PQ 的距离为 2,所以△OPQ 的面积为 . 5 6 3 因为椭圆的对称性,当切线方程为 y=- 2(x- 3)时,△OPQ 的面积也为 . 5 综上所述,△OPQ 的面积为 6 3 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 5

②解法二椭圆 C 的右焦点 F( 3,0). 设切线方程为 y=k(x- 3),即 kx-y- 3k=0, |- 3k | 所以 2 = 2,解得 k=± 2,所以切线方程为 y=± 2(x- 3).· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 k +1 把切线方程 y= 2(x- 3)代入椭圆 C 的方程,消去 y 得 5x2-8 3x+6=0. 8 3 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则有 x1+x2= . 5 由椭圆定义可得,PQ=PF+FQ=2a-e( x1+x2)=2× 6- 2 8 3 6 6 × = .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 2 5 5

6 3 因为 O 到直线 PQ 的距离为 2,所以△OPQ 的面积为 . 5 6 3 因为椭圆的对称性,当切线方程为 y=- 2(x- 3)时,所以△OPQ 的面积为 . 5 综上所述,△OPQ 的面积为 6 3 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 5

②解法一:(i)若直线 PQ 的斜率不存在,则直线 PQ 的方程为 x= 2或 x=- 2. 当 x= 2时,P ( 2, 2),Q( 2,- 2). → → 因为 OP ·OQ=0,所以 OP⊥OQ. 当 x=- 2时,同理可得 OP⊥OQ.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

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(ii) 若直线 PQ 的斜率存在,设直线 PQ 的方程为 y=kx+m,即 kx-y+m=0. 因为直线与圆相切,所以 |m| 2 2 2= 2,即 m =2k +2. 1+k

将直线 PQ 方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0. 2m2-6 4km 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则有 x1+x2=- ,x x = .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 1+2k2 1 2 1+2k2 → → 因为 OP ·OQ=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2 2m2-6 4km =(1+k2)× )+m2. 2 +km×(- 1+2k 1+2k2 → → 将 m2=2k2+2 代入上式可得 OP ·OQ=0,所以 OP⊥OQ. 综上所述,OP⊥OQ.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分
2 2 解法二:设切点 T(x0,y0),则其切线方程为 x0x+y0y-2=0,且 x0 +y0 =2.

(i)当 y0=0 时,则直线 PQ 的直线方程为 x= 2或 x=- 2. 当 x= 2时,P ( 2, 2),Q( 2,- 2). → → 因为 OP ·OQ=0,所以 OP⊥OQ. 当 x=- 2时,同理可得 OP⊥OQ.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 (ii) 当 y0≠0 时, x+y0y-2=0, ? ?x0 2 2 2 2 2 2 由方程组?x y 消去 y 得(2x0 +y0 )x -8x0x+8-6y0 =0. + = 1 , ?6 3 ?
2 8-6y0 8x0 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则有 x1+x2= 2 2,x1x2= 2 2.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2x0+y0 2x0+y0 2 (2-x0x1)( 2-x0x2) -8(x02+y0 )+16 → → 所以 OP ·OQ=x1x2+y1y2=x1x2+ = . 2 2 2 2 y0 y0 (2x0+y0 )

→ → 2 2 因为 x0 +y0 =2,代入上式可得 OP ·OQ=0,所以 OP⊥OQ. 综上所述,OP⊥OQ.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 18.(本小题满分 16 分) 解:(1)由题意,可得 AD=12 千米. 12 16 1 由题可知| - |≤ ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 6 v 4 64 64 解得 ≤v≤ .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 9 7 (2)解法一:经过 t 小时,甲、乙之间的距离的平方为 f(t). 16 由于先乙到达 D 地,故 <2,即 v>8.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 v ①当 0<vt≤5,即 0<t≤时, f(t)=(6t)2+(vt)2-2×6t×vt×cos∠DAB=(v2-v+36)t2.

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因为 v2-v+36>0,所以当 t=时,f(t)取最大值, 15 所以(v2-v+36)×()2≤25,解得 v≥ .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 4 ②当 5<vt≤13,即<t≤时, f(t)=(vt-1-6t)2+9=(v-6)2 (t-)2+9. 因为 v>8,所以<,(v-6)2>0,所以当 t=时,f(t)取最大值, 39 39 所以(v-6)2 (-)2+9≤25,解得 ≤v≤ .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 8 4 ③当 13≤vt≤16,≤t≤时, f(t)=(12-6t)2+(16-vt)2, 因为 12-6t>0,16-vt>0,所以当 f(t)在(,)递减,所以当 t=时,f(t)取最大值, 39 39 (12-6×)2+(16-v×)2≤25,解得 ≤v≤ . 8 4 39 因为 v>8,所以 8<v≤ .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 16 分 4 解法二:设经过 t 小时,甲、乙之间的距离的平方为 f(t). 16 由于先乙到达 D 地,故 <2,即 v>8.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 v 以 A 点为原点,AD 为 x 轴建立直角坐标系, 4 3 ①当 0<vt≤5 时,f(t)=( vt-6t)2+( vt)2. 5 5 4 3 4 3 25 5 由于( vt-6t)2+( vt)2≤25,所以( v-6)2+( v)2≤ 2 对任意 0<t≤ 都成立, 5 5 5 5 t v 4 3 15 所以( v-6)2+( v)2≤v2,解得 v≥ .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 5 5 4 ②当 5<vt<13 时,f(t)=(vt-1-6t)2+32. 5 13 由于(vt-1-6t)2+32≤25,所以-4≤vt-1-6t≤4 对任意 <t< 都成立, v v

?v-6≤ t , 5 13 即? 3 对任意 ≤t≤ 都成立, v v ?- t ≤v-6, ?v-6≤13, 39 39 所以? 解得 ≤v≤ .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 3v 8 4 - ≤ v - 6 , ? 13
13 16 ③当 13≤vt≤16 即 ≤t≤ ,此时 f (t)=(12-6t)2+(16-vt)2. v v 39 78 78 由①及②知:8<v≤ ,于是 0<12-6t≤12- ≤12- =4, 4 v 39 4 又因为 0≤16-vt≤3,所以 f (t)=(12-6t)2+(16-vt)2≤42+32=25 恒成立. 39 综上①②③可知 8<v≤ .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 16 分 4 19.(本小题满分 16 分) 5v

5

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解:(1)当 m=1 时,f(x)=-x3+x2-1.f ′(x)=-3x2+2x=-x(3x-2). 2 由 f ′(x)<0,解得 x<0 或 x> . 3 2 所以函数 f(x)的减区间是(-∞,0)和( ,+∞).· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 3 (2)依题意 m>0. 因为 f(x)=-x3+mx2-m,所以 f ′(x)=-3x2+2mx=-x(3x-2m). 2m 由 f ′(x)=0,得 x= 或 x=0. 3 2m 2m 当 0<x< 时,f ′(x)>0,所以 f(x)在(0, )上为增函数; 3 3 当 2m 2m <x<m 时,f ′(x)<0,所以 f(x)在( ,m)上为减函数; 3 3

2m 4 所以,f(x)极大值=f( )= m3-m.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 3 27 4 3 6 4 ①当 m3-m≥m,即 m≥ ,ymax= m3-m.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 27 2 27 4 3 6 ②当 m3-m<m,即 0<m< 时,ymax=m. 27 2 4 3 6 m -mm≥ , ?27 2 =? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 3 6 0<m< . ?m 2
3

综上,ymax

(3)设两切点的横坐标分别是 x1,x2.则函数 f(x)在这两点的切线的方程分别为 y-(-x13+mx12-m)=(-3x12+2mx1)(x-x1), y-(-x23+mx22-m)=(-3x22+2mx2)(x-x2).· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 将(2,t)代入两条切线方程,得 t-(-x13+mx12-m)=(-3x12+2mx1)(2-x1),t-(-x23+mx22-m)=(-3x22+2mx2)(2-x2). 因为函数 f(x)图象上有且仅有两个不同的切点, 所以方程 t-(-x3+mx2-m)=(-3x2+2mx)(2-x)有且仅有不相等的两个实根.· · · · · · · · · · · 12 分 整理得 t=2x3-(6+m)x2+4mx-m. 设 h(x)=2x3-(6+m)x2+4mx-m,h ′(x)=6x2-2(6+m)x+4m=2(3x-m)(x-2). ①当 m=6 时,h ′(x)=6(x-2)2≥0,所以 h(x)单调递增,显然不成立. m ②当 m≠6 时, h ′(x)=0,解得 x=2 或 x= . 3 m 列表可判断单调性,可得当 x=2 或 x= , 3 m 1 2 h(x)取得极值分别为 h(2)=3m-8,或 h( )=- m3+ m2-m. 3 27 3

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要使得关于 x 的方程 t=2x3-(6+m)x2+4mx-m 有且仅有两个不相等的实根, 1 2 则 t=3m-8,或 t=- m3+ m2-m.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 27 3 1 2 因为 t≤0,所以 3m-8≤0,(*),或- m3+ m2-m≤0.(**) 27 3 8 解(*),得 m≤ ,解(**),得 m≤9-3 6或 m≥9+3 6. 3 8 因为 m>0,所以 m 的范围为(0, ]∪[9+3 6,+∞).· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 16 分 3 20.(本小题满分 16 分) 解:(1)①因为 3b1,2b2,b3 成等差数列, 3a+3d 4a+6d 所以 4b2=3b1+b3,即 4× =3(2a+d)+ , 2 3 a 3 解得, = .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 d 4 ②由 an+1≤bn<an+2, (n+1)nd (n+1)a+ 2 得 a+nd≤ <a+(n+1)d, n

?n -n- d ≤0, 整理得? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 2a n + n - > 0 , ? d
2 2

2a

-1+ 解得 1+ 由于

8a 1+ d 2 1+ 8a d

1+ <n≤ -1+

1+ 2

8a d

,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 8a 1+ d >0.

2



8a 1+ d 2

-1+ =1 且

2

因此存在唯一的正整数 n,使得 an+1≤bn<an+2.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 a1(1-qt 1) + + t(1-q) t+2 qt 1-1 qr 1-1 bt (2)因为 = = ,所以 = . br a1(1-qr+1) r+2 t(t+2) r(r+2) r(1-q)


qn 1-1 设 f(n)= ,n≥2,n∈N*. n(n+2)


qn 2-1 qn 1-1 qn 1[(q-1)n2+2(q-2)n-3]+2n+3 则 f(n+1)-f(n)= - = , (n+1)(n+3) n(n+2) n(n+1)(n+2)(n+3)
+ + +

因为 q>2,n≥2,所以(q-1)n2+2(q-2)n-3>n2-3≥1>0, 所以 f(n+1)-f(n)>0,即 f(n+1)>f(n),即 f(n)单调递增.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 所以当 r≥2 时,t>r≥2,

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qt 1-1 qr 1-1 qt 1-1 qr 1-1 则 f(t)>f(r),即 > ,这与 = 互相矛盾. t(t+2) r(r+2) t(t+2) r(r+2)
+ + + +

qt 1-1 q2-1 所以 r=1,即 = .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 3 t(t+2)


q4-1 q2-1 q2+1 q2-1 qt 1-1 q2-1 若 t≥3,则 f(t)≥f(3)= = · > ,即 > , 15 3 5 3 3 t(t+2)


qt 1-1 q2-1 与 = 相矛盾. 3 t(t+2)


q3-1 q2-1 于是 t=2,所以 = ,即 3q2-5q-5=0. 8 3 5+ 85 又 q>2,所以 q= .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 16 分 6

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南京市 2016 届高三年级第三次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2016.05
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制 订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影 响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 21.【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 卷卡指定区域 . ...... 内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . A.选修 4—1:几何证明选讲 证明:(1)连接 AB. 因为 PA 是半圆 O 的切线,所以∠PAC=∠ABC. 因为 BC 是圆 O 的直径,所以 AB⊥AC. 又因为 AH⊥BC,所以∠CAH=∠ABC,所以∠PAC=∠CAH, 所以 AC 是∠PAH 的平分线.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (2)因为 H 是 OC 中点,半圆 O 的半径为 2,所以 BH=3,CH=1. 又因为 AH⊥BC,所以 AH2=BH· HC=3,所以 AH= 3. 在 Rt△AHC 中,AH= 3,CH=1,所以∠CAH=30° . 由(1)可得∠PAH=2∠CAH=60° ,所以 PA=2 3. 由 PA 是半圆 O 的切线,所以 PA2=PC· PB, 所以 PC· (PC+BC)=(2 3)2=12,所以 PC=2.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 B.选修 4—2:矩阵与变换 解:设曲线 C 上的任意一点 P(x,y),P 在矩阵 A=? 则?

?12 ?对应的变换下得到点 Q(x′,y′). ? ?10 ?

?12 ?10

??x?=?x′?,即 x+2y=x′,x=y′, ??y? ?y′? ?

x′-y′ 所以 x=y′,y= .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 2 代入 x2+2xy+2y2=1,得 y′2+2y′· x′-y′ x′-y′ 2 +2( ) =1,即 x′2+y′2=2, 2 2

所以曲线 C1 的方程为 x2+y2=2.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

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C.选修 4—4:坐标系与参数方程 π 解:M 的极坐标为(1, ),故直角坐标为 M(0,1),且 P(2cosθ,sinθ), 2 所以 PM= (2cosθ)2+(sinθ-1)2= -3sin2θ-2sinθ+5,sinθ∈[-1,1].· · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 1 4 3 2 2 当 sinθ=- 时,PMmax= ,此时 cosθ=± . 3 3 3 4 3 4 2 1 所以,PM 的最大值是 ,此时点 P 的坐标是(± ,- ).· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 3 3 3 D.选修 4—5:不等式选讲 解:函数定义域为[0,4],且 f(x)≥0. 由柯西不等式得[52+( 2)2][( x)2+( 4-x)2)]≥(5· x+ 2· 4-x)2,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 即 27×4≥(5· x+ 2· 4-x)2,所以 5 x+ 8-2x≤6 3. 100 当且仅当 2 x=5 4-x,即 x= 时,取等号. 27 所以,函数 f(x)=5 x+ 8-2x的最大值为 6 3.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.(本小题满分 10 分) 解:(1)记“X 是奇数”为事件 A, 能组成的三位数的个数是 48.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 28 7 X 是奇数的个数有 28,所以 P(A)= = . 48 12 7 答:X 是奇数的概率为 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 12 (2) X 的可能取值为 3,4,5,6,7,8,9. 4 1 当 X=3 时,组成的三位数只能是由 0,1,2 三个数字组成,所以 P(X=3)= = ; 48 12 4 1 当 X=4 时,组成的三位数只能是由 0,1,3 三个数字组成,所以 P(X=4)= = ; 48 12 8 1 当 X=5 时,组成的三位数只能是由 0,1,4 或 0,2,3 三个数字组成,所以 P(X=5)= = ; 48 6 10 5 当 X=6 时,组成的三位数只能是由 0,2,4 或 1,2,3 三个数字组成,所以 P(X=6)= = ; 48 24 10 5 当 X=7 时,组成的三位数只能是由 0,3,4 或 1,2,4 三个数字组成,所以 P(X=7)= = ; 48 24 6 1 当 X=8 时,组成的三位数只能是由 1,3,4 三个数字组成,所以 P(X=8)= = ; 48 8 6 1 当 X=9 时,组成的三位数只能是由 2,3,4 三个数字组成,所以 P(X=9)= = ; 48 8 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分

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所以 X 的概率分布列为: X P 3 1 12 4 1 12 5 1 6 6 5 24 7 5 24 8 1 8 9 1 8

1 1 1 5 5 1 1 25 E(X)=3× +4× +5× +6× +7× +8× +9× = .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 12 12 6 24 24 8 8 4 23.(本小题满分 10 分) 解:(1)因为 k1=2,所以
2 y0+1 x0 +1 = =2, x0 x0

解得 x0=1,y0=1,所以 P1 的坐标为(1,1).· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 (2)设 k1=2p(p∈N*),即
2 y0+1 x0 +1 = =2p, x0 x0

2 所以 x0 -2px0+1=0,所以 x0=p± p2-1.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 n y0 +1 x20n+1 n 1 因为 y0=x02,所以 kn= n = n =x0 + n, x0 x0 x0

所以当 x0=p+ p2-1时, 1 kn=(p+ p2-1)n+( )n=(p+ p2-1)n+(p- p2-1)n.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 p+ p2-1 同理,当 x0=p- p2-1时,kn=(p+ p2-1)n+(p- p2-1)n. ①当 n=2m(m∈N*)时, kn=2 ∑C2nkpn
k=0 m m
-2k

(p2-1)k,所以 kn 为偶数. (p2-1)k,所以 kn 为偶数.

②当 n=2m+1(m∈N)时,kn=2 ∑C2nkpn
k=0

-2k

综上, kn 为偶数.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

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