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高二级数学下册春季半期考试


1

高二级数学下册春季半期考试 数学试题
一、选择题 1.下列说法中正确的是 A. 三个点确定一个平面 B. 一条直线和一个点确定一个平面 C. 若四点不共面,则其中任意三点不共线 D. 三条平行线确定三个平面 2.空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是 A. 一定平行 B. 一定垂直 C. 一定相交 D. 不能确定 3.已知是 m, n 两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,下列命题中正确的是

A. 若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? / / ? B. 若 m ? ? , n ? ? ,则 m / / n C. 若 m / /? , n / /? ,则 m / / n D. 若 m / /? , m / / ? ,则 ? / / ? 4.已知 A, B, C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O ,下列条件中能确定点 M 与点 A, B, C 一定共面的是 ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? A. OM ? OA ? OB ? OC B. OM ? 2OA ? OB ? OC ???? ? ??? ? 1 ??? ? 1 ???? ???? ? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ???? C. OM ? OA ? OB ? OC D. OM ? OA ? OB ? OC 2 3 3 3 3 ?? ? ?? ? 1 5.若 m, n 分别是平面 ? , ? 的法向量,且 m ? (?1,1, 2), n ? (1,0, ) ,则平面 ? 与平面 ? 2 ? ? A. 所成二面角为 30 B. 所成二面角为 60 C. 平行 D. 垂直
6.在一个二面角的一个面内有一点,它到棱的距离等于到另一个面距离的 2 倍,则这个二面角的大小为

D. 60? 或 120? ? 7.已知二面角 ? ? l ? ? 的大小为 60 , m, n 为异面直线,且 m ? ? , n ? ? ,则 m, n 所成的角为
A. 30? B. 60? C. 90? D. 120?
8.某班级要从 4 名男生,2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少 1 名女生参加,那么不同选派方 案的种数为 A. 14 B. 24 C. 28 D. 48 9. AO 是平面 ? 的斜线, O 为斜足, BO 是 AO 在平面 ? 上的射影, CO 在 ? 内,
? 且 ?BOC ? ?AOB ? 45 ,则 ?AOC ?

A. 30?

B. 60?

C. 30? 或 150?

A. 30? A.

B. 60? B.

C. 75? C.

D. 90?

10.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的 2 倍,则侧棱与底面所成角的余弦值等于

2 3 D. 2 2 11.三棱锥 V ? ABC 中,侧棱 VA,VB,VC 两两垂直, P 是底面 ABC 内一点,且点 P 到三个侧面的距离分别为 2cm,3cm,6cm ,则点 P 到顶点 V 的距离是 3 cm 15 12. P 是正方体 ABCD ? A1B1C1D1 对角线 BD1 上的动点,过 P 作垂直于平面 BB1D1D 的直线,与正方体的表面 相交于 M , N 两点,设 BP ? x, MN ? y ,则函数 y ? f ( x) 的大致图像是
A. 7cm B. 7 2cm C. 3 3cm D.
y
y
D1 C1

3 6

3 4

O

x

O

x

A.
y

B.
y

A1

x
M D A

B1 P N C

B

O

x

O

x

C.

D.

2

二、填空题 13.5 人站成一排,其中甲、乙必须相邻的站法有_________种.(用数字作答) 14. (1 ? 2 x)3 (1 ? x)4 展开式中 x 的系数为_______.(用数字作答) 15.在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中,异面直线 BC 与 AD 的距离为_______.
? 16 . AD 是等腰直角三角形 ABC 斜边 BC 上的高,沿 AD 将 ?ABD 折起,使二面角 B ? AD ? C 为 60 ,则 ?BAC ? _______. 三、解答题 17. 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是棱 A1B1 的中点,求异面直线 A 1B 与 D 1E 所成的角.

D1 C1

18.已知在 ( 3 x ?

3 n ) 的展开式中,第 6 项为常数项. x 2 (1)求正整数 n 的值; (2) 求展开式中含 x 项的系数.
3

A1 E D

B1

C

A

B

19.如图,已知空间四边形 OABC 中, OA ? OB, CA ? CB , E , F , G, H 分别为 OA, OB, BC , CA 的中点,求证: 四边形 EFGH 是矩形.
A H F E O

C

20.如图,菱形 ABCD 所在平面外一点 P, PA ? 底面ABCD , E , F 分别 是 AB, PD 的中点. (1)求证: PC ? BD ;(2)求证: AF / / 平面PEC .

G B

P

F C D

A

E

B

21.如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的正方形, PD ? 底面ABCD ,且 PD ? 1 . (1)若 E , F 分别为 PB, AD 的中点,求证: EF ? 平面PBC ; (2)求二面角 B ? PA ? C 的余弦值.
P

D

C E

F

22.如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,四边形 A 1 是矩形, 1 ABB 1 是菱形,四边形 BCC1B
A

B

AB ? BC, CB ? 3, AB ? 4, ?A1 AB ? 60? . (1)求证: 平面CA 1B ? 平面A 1 ABB 1; (2)求直线 AC 1 与平面 BCC1B 1 所成角的正切值; (3)求点 C1 到平面 A1CB 的距离.

A1

C1 B1

A C

B

3 一、选择: 1-6:C、D、B、D、D、C 二、填空: 13、48 14、2 绵阳南山中学春季半期考试 7-12:B、A、B、A、A、B 15、
D1 C1

2 2

16、arccos

3 4

三、解答题: 2 2 2 17、 (12 分)解:连结 D1C CE,设棱长为 2,由题设知:CE =B1E +B1C =9 又 CD1=2

A1 E D

B1

2 ,D E= 5 ,△CD E 中余弦定理得:cos∠CD E=
1 1 1

8?5?9 10 = 2 ? 2 ? 5 10
A

C

∴异面直线 A1B 与 D1E 所成角为 arccos

10 . 10
5

B

18、 (12 分)解:①T6=
3

C

5 n

(3

x ) n ?5 (- 3 x ) 5 = ( ?3) 5 C n x

n ?10 3

由该项为常数项得 n=10

10?2 r 3 10 3 r r r r 10?r 3 ②( x ) 展开式的通项为 T R?1 = C10 ( x ) (? 3 x ) (?3) C10 x 3 3 x 10 ? 2r 2 E 令 =2 得 r=2∴该项系数为 9 C =405 10 3 A 1 1 19、证明:由已知得 EF 与 AB 平行且相等,GH 与 AB 平行且相等。 2 2 F
=

O

H

∴EF 与 GH 平行且相等 ∴四边形 EFGH 为平行四边形 作线段 AB 中点 M,连结 OM、CM ∵OA=OB、CA=CB ∴OM⊥AB、CM⊥AB ∴AB⊥平面 OMC 又 OC ? 平面 OMC ∴AB⊥OC o 又 EF∥AB、FG∥OC ∴∠EFG=90 ∴四边形 EFGH 为矩形。 20、 (12 分)证明: (1) (6 分)连结 AC、BD,由菱形 ABCD 知 AC⊥BD 又能 PA⊥平面 ABCD,∴PC 在底面的射影为 AC 从而 PC⊥BD

M C G B

P F D G

1 (2) (6 分)作线段 PC 的中点 G,连结 FG,由 F 为 PD 中点得 FG 与 AE 都平行且等于 2 ∴四边形 AEGF 为平行四边形 ∴AF∥EG,又 AF ? 平面 AEC,EG ? 平面 PEC
∴AF∥平面 PEC 21、解: (1 ) (6 分)以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系: 则 D(0,0,0) A(1,0,0) C(0,1,0) P(0,0,1) B(1,1,0) F( (

C

DC

1 2

,0,0) E

A

E

B

1 2



1 2



1 2



∴ EF =(0,-

1 2

,-

1 2



CB =(1,0,0) CP =(0,-1,1), EF · CB =0
∴EF⊥平面 PBC



EF · CP =0
P

z

∴EF⊥BC,EF⊥PC

∵CB ? CP=C

(2 ) (6 分)由(1)得:

AB · n =y=0

AB (0,1,0) AP · n =-x+z=0

AP (-1,0,1)
C E y

设平面 PAB 的法向量: n =(x、y、z)则 令 x=1 易得平面 PAB 的一个法向量为 n =(0,1,0)

AB · n =y=0 AP · n =-x+z=0
F

D

同理可求得平面 PAC 的一个法向量 m =(1,1,1)
x A B

A1

∴cos< n , m >=

n· m n· m

=

6 3

∴所求二面角的余弦值是

6 3
O D A

C1 B1

22、 (1) (4 分)证明:∵四边形 BCC1B1 是矩形 ∴BC⊥BB1 又∵AB⊥BC ∴BC⊥平面 A1ABB1 ∵BC ? 平面 CA1B ∴平面 CA1B⊥平面 A1ABB1 (2 ) (5 分)过 A1 作 A1D⊥BB1 于 D,连结 DC ∵BC⊥平面 A1ABB1 ∴BC⊥A1D ∴A1D⊥平面 BCC1B1,故∠A1CD 为直线 A1C 与平面 BCC1B1 所成的角,在矩形 BCC1B1 中,DC= o 因为四边形 A1ABB1 是菱形∠A1AB=60 CB=3 AB=4

13

C

B

4 ∴A1D=2

3 ∴tan∠A CD=
1

A1 D 2 = CD 13

39

(3 ) (5 分)解:∵B1C1∥BC, ∴B1C1∥平面 A1BC ∴C1 到平面 A1BC 的距离即为 B1 到平面 A1BC 的距离,连结 AB1,AB1 与 A1B 交于点 O ∵四边形 A1ABB1 是菱形 ∴B1O⊥A1B ∵平面 CA1B⊥平面 A1ABB1 ∴B1O⊥A1B ∵平面 CA1B⊥平面 A1ABB1 ∴B1O⊥平面 A1BC ∴B1O 即为 C1 到平面 A1BC 的距离 ∵B1O=2

3

∴C1 到平面 A1BC 的距离为 2

3.

5

6


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