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高中数学竞赛 1


浙江省高二数学竞赛模拟试卷(1) 浙江省高二数学竞赛模拟试卷( 模拟试卷 班 姓名
一、选择题(每题 6 分共 36 分) 选择题(
1.由 0,1,2,3,4,5 六个数字能组成数字不重复且百位数字不是 5 的偶数有[ ]个 A.360 B.252 C.720 D.240

2.已知数列{ an }(n≥1)满足 an + 2 = an+1 - an ,且 a2 =1,若数列的前 2005 项之和为 2006,则前 2006 项的和 等于[ ] A.2005 B.2006 C.2007 D.2008
0

3.有一个四棱锥,底面是一个等腰梯形,并且腰长和较短的底长都是 1,有一个底角是 60 ,又侧棱与底 面所成的角都是 45 ,则这个棱锥的体积是[ ]
0

A.1 4.若 ( 2 x + 4) A.0

B. 3
2n

C.

3 4

D.

3 2
]

= a0 + a1 x + a2 x 2 + ? + a2 n x 2 n (n∈N+), 则 a2 + a4 + ? + a2 n 被 3 除的余数是[
B.1 C.2 D.不能确定

5.已知 x, y ∈ ( ? 2 , 2 ) ,且 xy = 1 ,则

2 4 + 的最小值是 2 2? x 4 ? y2
D、

[

]

A、

20 7

B、

12 7

C、

16 + 4 2 7

16 ? 4 2 7

6.在边长为 12 的正三角形中有 n 个点,用一个半径为 3 的圆形硬币总可以盖住其中的 2 个点,则 n 的最 小值是[ A.17 ] B.16 C.11 D.10

二、填空题(每题 9 分共 54 分)
7.在锐角三角形 ABC 中,设 tanA,tanB,tanC 成等差数列且函数 f(x)满足 f(cos2C)=cos(B+C-A),则 f(x)的解析是为
100

8.

∑ [(10i + 1)(10i + 3)(10i + 7)(10i + 9)] 的末三位数是_______
i =1

9.集合 A 中的元素均为正整数,具有性质:若 a ∈ A ,则 12- a ∈ A , 这样的集合共有 个.

10.抛物线的顶点在原点, 焦点在 x 轴的正半轴上, 直线 x+y-1=0 与抛物线相交于 A、 两点, B 且|AB|= 在抛物线上是否存在一点 C,使△ABC 为正三角形
*

8 6 . 11

,若存在,C 点的坐标是

.

11.在数列 {a n } 中, a1 =2, a n + a n +1 = 1( n ∈ N ) ,设 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和,则

S 2007 ? 2 S 2006 + S 2005 的值为
12. 设函数 f ( x ) = 3 1 + x ? λx ,其中 λ > 0. 函数 f (x ) 在 [0,+∞ ) 上是单调递减函数; 则 λ 的取值范围是_____________________.

三、解答题(每题 20 分共 60 分)
13. 已知点 A

(

5 ,0 和曲线

)

x2 ? y 2 = 1 2 ≤ x ≤ 2 5 , y ≥ 0 上的点 P1、P 2、…、 Pn 。 4

(

)

若 P A 、 P2 A 、…、 Pn A 成等差数列且公差 d >0, 1 (1). 试将 d 表示为 n 的函数关系式. (2). 若 d ∈ ? ,

?1 1 ? ? ,是否存在满足条件的 n(n ∈ N * ) .若存在,求出 n 可取的所有值,若不存在,说明理由. 5 5? ?

14.设 a,b,c∈(1,+∞),证明:2(

log b a log c b log a c 9 + + )≥ . a+b+c a+b b + c c+a

15.定义下列操作规则:
规则 A:相邻两数 a、b,顺序颠倒为 b、a,称为一次“变换”。(如一行数 1、2、3、4 要变为 3、1、 2、4,可以这样操作: 1、2、3、4 → 1、3、2、4 → 3、1、2、4 。) 规则 B:相邻三数 a、b、c,顺序颠倒为 c、b、a,称为一次“变换”。 规则 C:相邻四数 a、b、c、d,顺序颠倒为 d、c、b、a,称为一次“变换”。 现按照顺序排列着 1、2、3、…、2004、2005,目标是:经过若干次“变换”,将这一行数变为 2005、 1、2、…、2003、2004。 问:(1)只用规则 A 操作,目标能否实现? (2)只用规则 B 操作,目标能否实现? (3)只用规则 C 操作,目标能否实现?

高二数学竞赛模拟试卷( 高二数学竞赛模拟试卷(1) 数学竞赛模拟试卷 参考答案 参考答案

一、选择题(每题 7 分共 35 分) 选择题( 1.由 0,1,2,3,4,5 六个数字能组成数字不重复且百位数字不是 5 的偶数有[ ]个 A.360 B.252 C.720 D.240 4 1 2 3 1 3 解:末位是 0 的数共有个 A5 - A4 ,末位是 2 或 4 的数共有 2( A4 A4 - A3 A3 )个.
4 1 2 3 1 3 由加法原理,共有 A5 - A4 +2( A4 A4 - A3 A3 )=252 个.

2.已知数列{ an }(n≥1)满足 an + 2 = an+1 - an ,且 a2 =1,若数列的前 2005 项之和为 2006,则前 2006 项的和等于[ ] A.2005 B.2006 C.2007 D.2008 解: an + 3 = an + 2 - an+1 =( an+1 - an )- an+1 =- an , 因此,对 n≥1, an + an+1 + an + 2 + an + 3 + an + 4 + an + 5 =0, 从而数列中任意连续 6 项之和均为 0. 2005=334×6+1,2006=334×6+2,所以前 2005 项之和为 a1 ,即 a1 =2006, 于是前 2006 项的和等于 a1 + a2 =2007.所以选(C). 3.有一个四棱锥,底面是一个等腰梯形,并且腰长和较短的底长都是 1,有一个底角是 600 , 又侧棱与底面所成的角都是 450 ,则这个棱锥的体积是[ ] A.1 B. 3 C.
3 4

D.

3 2

解:这个体积是底边和高均为 1 的正六棱锥的体积的一半,因此 V = 4.若 (2 x + 4) 2 n A.0

1 1 3 3 × × 6× = 2 3 4 4 + 2 2n = a0 + a1 x + a2 x + ? + a2 n x (n∈N ), 则 a2 + a4 + ? + a2 n 被 3 除的余数是

C.2 D.不能确定 1 1 解: a0 + a2 + a4 + ? + a2 n = [ (2 + 4) 2 n + (?2 + 4) 2 n ]= [ 6 2 n + 2 2 n ] 2 2 2 n ?1 2 n 2n 2 n ?1 a2 + a4 + ? + a2 n = 2 (3 + 1) ? 4 ≡ (?1) × 1 ? 12 n =-2 ≡ 1(mod3).所以选(B).
2 4 + 的最小值是 2 2? x 4 ? y2
D、 [ ]

B.1

5.已知 x, y ∈ ( ? 2 , 2 ) ,且 xy = 1 ,则

A、

20 7

B、

12 7

C、

16 + 4 2 7

16 ? 4 2 7

解:由已知得 y =

1 2 4 2 ,所以 + = + 2 2 x 2? x 4? y 2 ? x2

4 4? 1 x2

=

? 4 x 4 + 16 x 2 ? 2 ? 4x 4 + 9x 2 ? 2

=1 +

7x 2 = 1+ ? 4x 4 + 9x 2 ? 2

7 9 ? (4 x 2 + 2 ) x2 2 2 ,即 x = 时,取等号 2 8 x

4x 2 +

2 ≥4 2 x2

当且仅当 4 x 2 =

故当 x =

2 16 + 4 2 2 4 时, + 有最小值 2 2 8 7 2? x 4? y

所以选 C 6.在边长为 12 的正三角形中有 n 个点,用一个半径为 3 的圆形硬币总可以盖住其中的 2 个 点,则 n 的最小值是[ ] A.17 B.16 C.11 D.10 解: 如图(1), 作一个分割, 在每个交叉点上置一个点, 这时任意两点间距离不小于 4, 4>2 3 (硬 币直径),故这时硬币不能盖住其中的两个点,说明 n=10 是不够的. 如图(2),另作一个分割,得到 16 个全个等的边长为 3 的正三角形,其中“向上”的三角形 共有 10 个,它们的外接圆的半径正好是 3 . 借助图(3)可以证明:只要图(2)中的 10 个“向上”的三角形都用硬币覆盖,则三角形 ABC 完 全被覆盖,这时若在三角形 ABC 内置 11 个点,则必有一个硬币可以至少盖住其中的 2 个点. A 故 n 的最小值是 11,所以选(C). A

二、填空题(每题 8 分共 40 分)

B

(1)

C

B

(2)

C

(3)

6. 设函数 f : R → R, 满足f (0) = 1 ,且对任意 x, y ∈ R, 都有
f ( xy + 1) = f ( x) f ( y ) ? f ( y ) ? x + 2 ,则 f ( x) =_____________________。
解:∵对?x, y ∈ R, 有f ( xy + 1) = f ( x) f ( y ) ? f ( y ) ? x + 2,

∴ 有f ( xy + 1) = f ( y ) f ( x) ? f ( x) ? y + 2
∴ f ( x ) f ( y ) ? f ( y ) ? x + 2 = f ( y ) f ( x ) ? f ( x) ? y + 2
即 f ( x) + y = f ( y ) + x, 令y = 0, 得f ( x) = x + 1 。

7.在锐角三角形 ABC 中,设 tanA,tanB,tanC 成等差数列且函数 f(x)满足 f(cos2C)=cos(B+C-A),则 f(x)的解析是为 解:tanA=-tan(B+C),tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,tanA+tanC=2tanB, 于是有 3tanB=tanAtanBtanC,因为 B 为锐角,所以 tanB≠0,所以 tanAtanC=3, 1+ x 9 9(1 + x) 9 令 cos2C=x,则 cos 2 C = ,所以 tan 2 A = = = 2 1 2 1? x tan C ?1
cos 2 C

所以 cos(B+C-A)=cos( π -2A)=-cos2A=1-2 cos 2 A =1即 f(x)=
100 i =1

4 + 5x . 5 + 4x

2 4 + 5x = , 2 1 + tan A 5 + 4 x

8. ∑ [(10i + 1)(10i + 3)(10i + 7)(10i + 9)] 的末三位数是_______ 解:(10i+1)(10i+3)(10i+7)(10i+9)=[100 i 2 +100i+9][100 i 2 +100i+21] =10000 i 2 (i + 1) 2 +3000i(i+1)+189 ≡ 189(mod1000).

所以 ∑ [(10i + 1)(10i + 3)(10i + 7)(10i + 9)] ≡
i =1

100

100

∑189 =189×100 ≡ 900(mod1000).
i =1

所以末三位是 900 9.集合 A 中的元素均为正整数,具有性质:若 a ∈ A ,则 12- a ∈ A , 这样的集合共有 个. 解:从集合 A 的性质可得,A 必然是六个集合{1,11},{2,10},{3,9},{4,8},{5,7},{6}, 1 2 3 4 5 6 中某几个的并集,因此符合要求的 A 共有 C6 + C6 + C6 + C6 + C6 + C6 = 2 6 -1=63 个. 10.抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴的正半轴上,直线 x+y-1=0 与抛物线相交于 A、B 两点, 8 6 且|AB|= .在抛物线上是否存在一点 C,使△ABC 为正三角形 ,若存在,C 点的 11 . 坐标是 8 6 解:设所求抛物线方程为 y 2 = 2 px( p > 0) ,由弦长|AB|= 建立关于 p 的方程. 11 2 24 4 (舍去),故抛物线方程为 y 2 = x . 解得 p= 或 p=11 11 11 设 AB 的中点为 D(x0,y0),抛物线上存在满足条件的点 C(x3,y3), 由于△ABC 为正三角形.所以 CD⊥AB,|CD|=
3 12 3 |AB|= . 2 11 12 3 24 由 CD⊥AB 得 x3 ? y3 = 15 ① 由 | CD |= ② 得 | x3 + y3 ? 1 |= 11 11 11 25 10 1 14 解①②得 x3 = , y3 = 或x3 = , y = ? 11 11 11 11 1 14 25 10 但点( ,? ) 不在抛物线上.故抛物线上存在一点( , ) 11 11 11 11
*

11.在数列 {a n } 中, a1 =2, a n + a n +1 = 1( n ∈ N ) ,设 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和,则

S 2007 ? 2 S 2006 + S 2005 的值为 解:当 n 为偶数时, a1 + a 2 = a3 + a 4 = ? = a n?1 + a n = 1 ,故 S n = n 2 n ?1 n + 3 = 2 2

当 n 奇数时, a1 = 2 , a 2 + a 3 = a 4 + a 5 = ? = a n ?1 + a n = 1 ,故 S n = 2 + 故 S 2007 ? 2 S 2006 + S 2005 = 1005 ? 2 × 1003 + 1004 = 3

12. 设函数 f ( x ) = 3 1 + x ? λx ,其中 λ > 0. 函数 f ( x ) 在 [0,+∞ ) 上是单调递减函数; 则 λ 的取值范围是_____________________. 解:(1)设 0 ≤ x1 < x 2 < +∞ , 则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = ( x1 ? x 2 )[

1
3

(1 + x1 ) + 3 1 + x1 ? 3 1 + x 2 + 3 (1 + x 2 ) 2
2
2

? λ ].

设 M = 3 (1 + x1 ) + 3 1 + x1 ? 3 1 + x 2 + 3 (1 + x 2 ) ,则显然 M > 3 .
2

∵ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) > 0 ,∴ λ > 数;

1 1 1 1 ,∵ < ,∴只需要 λ ≥ ,就能使 f (x) 在 [0,+∞ ) 上是单调递减函 M M 3 3

三、解答题(每题 20 分共 60 分) 13. (1). ∵d>0,故为递增数列
∴ P A 最小, Pn A 最大 1

由方程

x2 ? y 2 = 1 2 ≤ x ≤ 2 5 , y ≥ 0 知 A( 5 ,0) 是它的右焦点, 4
4 是它的右准线, ∴ P A = 5 ? 2 1 5


(

)

L: x =

Pn A = 3

于是 3 = ( 5 ? 2) ? ( n ? 1) d

d=

5? 5 (n > 1) n ?1

(2) ∵ d ∈ ( ,

1 1 ) 5 5



1 5? 5 1 < < 5 n ?1 5
又∵ n ∈ N
*

设 n ∈ (5 5 ? 4,26 ? 5 5 )

∴ n 取最大值 14, n 取最小值 8.

∴ n 可取 8、9、10、11、12、、13、14 这七个值。

log b a log c b log a c 9 + + )≥ . a+b+c a+b b+c c+a 证明:∵a,b,c∈(1,+∞),logba,logcb,logac,都是正数,并且它们的乘积等于 1, log b a ? log c b ? log a c log b a log c b log a c 3 ∴ + + ≥3 3 = , (a + b)(b + c)(c + a) 3 (a + b)(b + c)(c + a ) a+b b+c c+a

14.设 a,b,c∈(1,+∞),证明:2(

又∵2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a)≥3 3 (a + b)(b + c)(c + a) , 1 3 3 ∴ ≥ = , 3 ( a + b)(b + c )(c + a ) (a + b) + (b + c) + (c + a ) 2(a + b + c)
log b a log c b log a c 9 + + ≥ , 2( a + b + c ) a+b b+c c+a log b a log c b log a c 9 2( + + )≥ . a+b+c a+b b+c c+a





15.解答:(1)能,实行如下操作: 解答:
1、、 、 、 、 2 ? 2003 2004 2005 → 1、、 、 、 、 2 ? 2003 2005 2004 → 1、、 、 、 、 2 ? 2005 2003 2004 → ? → 1、 、、 ?、 、 2005 2 3、 2003 2004 → 2005、1、2、 、2003、2004 ?
(2)不能,从左到右,把数所占的位置编上号,按照规则 B,若数 m 在 k 号位置,一次变换后可能是

k ? 2、k、k + 2 号位置,所以操作过程中数 m 所占位置的奇偶性不会改变。而 1、2、3、…、2004、2005
中 1 在 1 号位,目标 2005、1、2、…、2003、2004 中 1 是 2 号位,这不可能。 (3)能,通过如下操作(记为“*操作”):

a、b、c、d、e → d、c、b、a、e → d、e、a、b、c → b、a、e、d、c → b、c、d、e、a → e、d、c、b、a → e、a、b、c、d
可以将一个数往前提 4 个位置,而其他各数的顺序不变。 将 2001、2002、2003、2004、2005 通过“*操作”,可以变为 2005、2001、2002、2003、2004,再对 1997,1998,1999,2000,2005 施行“*操作”,变为 2005、1997、1998、1999、2000,如此反复,1、2、 3、…、2004、2005 可以变为 1、2、3、4、2005、5、6、…、2004,最后对 1、2、3、4、2005 施行“*操 作”得到 2005、1、2、…、2003、2004。


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